第5讲 经典例题一次函数教师.docx
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第5讲经典例题一次函数教师
第5讲一次函数经典题型
知识精讲
知识点1一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质
（1）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．
（3）当k＞O，b＞O时，图象经过、、象限；
当b＞O，b＜O时，图象经过、、象限；
当k﹤O，b＞0时，图象经过、、象限；
当b＜O，b＜O时，图象经过、、象限．
知识点2、由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，
由于两点确定一条直线，作一次函数图象时，描出适合关系式的两点，连成直线即可，一般选取两个特殊点：
直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-
，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.画函数图象一般分为三步：
列表、描点、连线．
知识点4用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
（1）设函数表达式为y=kx+b；
（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；
（3）求出k与b的值，得到函数表达式．
例题精讲
基本概念题
例1、当m为何值时，函数y=-（m-2）x
+（m-4）是一次函数？
[分析]某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．
解：
∵函数y=（m-2）x
+（m-4）是一次函数，
∴
∴m=-2.
∴当m=-2时，函数y=（m-2）x
+（m-4）是一次函数．
例2、一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg的物体，弹簧就伸长0．5cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判断y是否是x的一次函数．
[分析]
（1）弹簧每挂1kg的物体后，伸长0．5cm，则挂xkg的物体后，弹簧的长度y为（l5+0．5x）cm，即y=15+0．5x．
（2）自变量x的取值范围就是使函数关系式有意义的x的值，即0≤x≤18．
（3）由y=15+0．5x可知，y是x的一次函数．
解：
（l）y=15+0．5x．
（2）自变量x的取值范围是0≤x≤18．
（3）y是x的一次函数．
例3、已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x=4时，求y的值；
（3）当y=4时，求x的值．
[分析]由y-3与x成正比例，则可设y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，则可以写出关系式．
解：
（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx．
把x=2，y=7代入y-3=kx中，得
7-3＝2k，∴k＝2．
∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3．
（2）当x=4时，y=2×4+3=11．
（3）当y＝4时，4=2x+3，∴x=
.
综合应用题
综合应用包括：
（1）与方程知识的综合应用；
（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题．
例4、某移动通讯公司开设了两种通讯业务：
“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元．
（1）写出y1，y2与x之间的关系；
（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？
（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？
［分析］这是一道实际生活中的应用题，解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可得出正确结论．
解：
（1）y1=50+0．4x（其中x≥0，且x是整数）
y2=0．6x（其中x≥0，且x是整数）
（2）∵两种通讯费用相同，∴y1=y2，
即50+0．4x=0．6x．∴x＝250．
∴一个月内通话250分时，两种通讯方式的费用相同．
（3）当y1=200时，有200=50+0．4x，
∴x=375（分）．
∴“全球通”可通话375分．
当y2=200时，有200=0．6x，
∴x=333
（分）．
∴“神州行”可通话333
分．
∵375＞333
，∴选择“全球通”较合算．
探索与创新题
例5、某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，甲旅行社说：
“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：
“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．
（1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表示两家旅行社的收费；
（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
［分析］先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式，再通过比较，探究结论．
解：
（1）甲旅行社的收费y甲（元）与学生人数x之间的函数关系式为
y甲=240+
×240x=240+120x.
乙旅行社的收费y乙（元）与学生人数x之间的函数关系式为
y乙=240×60％×（x+1）=144x+144．
（2）①当y甲=y乙时，有240+120x=144x+144，
∴24x＝96，∴x=4．
∴当x=4时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可以．
②当y甲＞y乙时，240+120x＞144x+144，
∴24x＜96，∴x＜4．
∴当x﹤4时，去乙旅行社更优惠．
③当y甲﹤y乙时，有240+120x﹤140x+144，
∴24x＞96，∴x＞4．
∴当x＞4时，去甲旅行社更优惠．
例6、一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为.
[分析]本题分两种情况讨论：
①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：
当x=-3，y=-5；当x=6时，y=-2，把它们代入y=kx+b中可得
∴
∴函数解析式为y=-
x-4．
②当k﹤O时则随x的增大而减小，则有：
当x=-3时，y=-2；当x=6时，y=-5，把它们代入y=kx＋b中可得
∴
∴函数解析式为y=-
x-3.
∴函数解析式为y=
x-4，或y=-
x-3.
答案：
y=
x-4或y=-
x-3.
例7、已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？
（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；
（5）设点P在y轴负半轴上，
（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．
［分析］由已知y+2与x成正比例，可设y+2=kx，把x=-2，y=0代入，可求出k，这样即可得到y与x之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m，6）在该函数的图象上，把x=m，y=6代入即可求出m的值．
解：
（1）∵y+2与x成正比例，∴设y+2=kx（k是常数，且k≠0）
∵当x=-2时，y=0．∴0+2＝k·（-2），∴k＝-1．
∴函数关系式为x+2=-x，
即y=-x-2．
（2）列表；
x
0
-2
y
-2
0
描点、连线，图象如图11－23所示．
（3）由函数图象可知，当x≤-2时，y≥0．
∴当x≤-2时，y≥0．
（4）∵点（m，6）在该函数的图象上，
∴6=-m-2,∴m＝-8．
（5）函数y=-x-2分别交x轴、y轴于A，B两点，
∴A（-2，0），B（0，-2）．
∵S△ABP=
·|AP|·|OA|=4，
∴|BP|=
.
∴点P与点B的距离为4．
又∵B点坐标为（0，-2）,且P在y轴负半轴上，∴P点坐标为（0，-6）.
例5、已知函数：
（1）图象不经过第二象限；
（2）图象经过点（2，-5）.请你写出一个同时满足
（1）和
（2）的函数关系式：
．
[分析]这是一个开放性试题，答案是不惟一的，因为点（2，-5）在第四象限，而图象又不经过第二象限，所以这个函数图象经过第一、三、四象限，只需在第一象限另外任意找到一点，就可以确定出函数的解析式．设经过第一、二、四象限的直线解析式为y=kx+b（k≠O），另外的一点为（4，3），把这两个点代入解析式中即可求出k，b.
∴
∴y=4x-13.
答案：
y＝4x-13
例6、人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数，另么b=0．8（220-a）．
（1）正常情况下，在运动时一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是多少？
（2）一个50岁的人运动10秒时心跳的次数为20次，他有危险吗？
[分析]
（1）只需求出当a=16时b的值即可．
（2）求出当a=50时b的值，再用b和20×
=120（次）相比较即可．
解：
（1）当a=16时，
b=0．8（220-16）＝163．2（次）．
∴正常情况下，在运动时一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是163．2次．
（2）当a=50时，
b=0．8（220-50）=0．8×170=136（次），表示他最大能承受每分136次．
而20×
=120﹤136，所以他没有危险．
∴一个50岁的人运动10秒时心跳的次数为20次，他没有危险．
例7、某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县．已知C，D两县运化肥到A，B两县的运费（元／吨）如下表所示．
（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．
［分析］利用表格来分析C，D两县运到A，B两县的化肥情况如下表．
则总运费W（元）与x（吨）的函数关系式为
W=35x+40（90-x）+30（100-x）+45[60-（100-x）]=10x+4800．
自变量x的取值范围是40≤x≤90．
解：
（1）由C县运往A县的化肥为x吨，则C县运往B县的化肥为（100-x）吨．
D县运往A县的化肥为（90-x）吨，D县运往B县的化肥为（x-40）吨．
由题意可知
W＝35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40）＝10x+4800．
自变量x的取值范围为40≤x≤90．
∴总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式为
w＝1Ox+480O（40≤x≤9O）．
（2）∵10＞0，∴W随x的增大而增大．
∴当x=40时，
W最小值=10×40+4800=5200（元）．
运费最低时，x=40，90-x=50（吨），x-40=0（吨）．
∴当总运费最低时，运送方案是：
C县的100吨化肥40吨运往A县，60吨运往B县，D县的50吨化肥全部运往A县．
例8、图11－30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题．
（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？
（2）这次比赛全程是多少千米？
（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？
［分析］本题主要考查读图能力和运用函数图象解决实际问题的能力．解决本题的关键是写出甲、乙两人在行驶中，路程y（千米）随时间x（分）变化的函数关系式，其中：
乙的函数图象为正比例函数，而甲的函数图象则是三段线段，第一段是正比例函数，第二段和第三段是一次函数，需分别求出．
解：
（1）当15≤x＜33时，设yAB=k1x+b1，把（15，5）和（33，7）代入，解得k1=
b1=
∴yAB=
x+
.∴yAB=
x+
.
当y=6时，有6=
x+
，∴x=24。
∴比赛开始24分时，两人第一次相遇．
（2）设yOD=mx,把（4，6）代入，得m=
，
当X=48时，yOD=
×48=12（千米）
∴这次比赛全程是12千米．
（3）当33≤x≤43时，设yBC=k2x+b2，把（33，7）和（43，12）代入，
解得k2=
，b2=-
.∴yBC=
x-
.
解方程组得
得
∴x=38.
∴当比赛开始38分时，两人第二次相遇．
例9、如图11－31所示，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：
1的两部分，求直线l的解析式．
[分析]设直线l的解析式为y=kx（k≠0）,因为l分△AOB面积比为2：
1，故分两种情况：
①S△AOC：
S△BOC=2：
1；②S△AOC：
S△BOC=1：
2．求出C点坐标，就可以求出直线l的解析式．
解：
∵直线y=x+3的图象与x,y轴交于A，B两点．
∴A点坐标为（-3，0）,B点坐标为（0,3）.
∴|OA|＝3，|OB|=3．∴S△AOB=
|OA|·|OB|=
×3×3=
.
设直线l的解析式为y=kx（k≠0）.
∵直线l把△AOB的面积分为2：
1，直线l与线段AB交于点C
∴分两种情况来讨论：
①当S△AOC:
S△BOC=2:
1时，设C点坐标为（x1，y1）.
又∵S△AOB=S△AOC+S△BOC=
，∴S△AOB=
=3.
即S△AOC=
·|OA|·|y1|=
×3×|y1|=3.
∴y1=±2，由图示可知取y1=2．
又∵点C在直线AB上，∴2=x1+3，∴x1=-1.∴C点坐标为（-1，2）．
把C点坐标（-1，2）代人y=kx中，得
2=-1·k，∴k＝-2．∴直线l的解析式为y=-2x．
②当S△AOC:
S△BOC=1:
2时，设C点坐标为（x2,y2）．
又∵S△AOC=S△AOC+S△BOC=
∴S△AOB=
即S△AOC=
·|OA|·|y2|=
·3·|y2|=
.
∴y2=±1，由图示可知取y2=1.
又∵点C在直线AB上，∴1=x2+3，∴x2=-2.
把C点坐标（-2，1）代入y=kx中，得
1=-2k，∴k=-y2.∴直线l的解析式为y=-
x.
∴直线l的解析式为y=-2x或y=-
x.
巩固练习
1、某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．
（1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）求5年后的产值．
2、已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例．
（1）y是x的一次函数吗？
请说明理由；
（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？
［分析］判断某函数是一次函数，只要符合y=kx+b（k，b中为常数，且k≠0）即可；判断某函数是正比例函数，只要符合y=kx（k为常数，且k≠0）即可．
解：
（1）y是x的一次函数．
∵y+a与x+b是正比例函数，∴设y+a=k（x+b）（k为常数，且k≠0）
整理得y=kx+（kb-a）．
∵k≠0，k，a，b为常数，
∴y=kx+（kb-a）是一次函数．
（2）当kb-a=0，即a=kb时，y是x的正比例函数．
3、老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：
（1）x从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30？
这说明了什么？
（2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？
甲生说：
“y=6x的函数值先达到30，说明y=6x比y=2x+8的值增长得快．”
乙生说：
“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的．”
你认为这两个同学的说法正确吗？
［分析］
（1）可先画出这两个函数的图象，从图象中发现，当x＞2时，6x＞2x+8，所以，y=6x的函数值先达到30．
（2）直线y=-x与y=-x+6中的一次项系数相同，都是-1，故它们是平行的，所以这两位同学的说法都是正确的．
解：
这两位同学的说法都正确．
例2已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y的值为9；当x=2时，y的值为-3．
（1）求这个函数的解析式。
（2）在直角坐标系内画出这个函数的图象．
[分析]求函数的解析式，需要两个点或两对x，y的值，把它们代入y=kx+b中，即可求出k在的值，也就求出这个函数的解析式，进而画出这
个函数的图象．
解：
（1）由题意可知
∴
∴这个函数的解析式为x=-2x+1.
（2）列表如下：
x
0
y
1
0
描点、连线，如图11－26所示即为y=-2x+1的图象．
4、汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米／时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系用图象（如图11－28所示）表示应为（C）
[分析]本题主要考查函数关系式的表达及函数图象的知识，由题意可知,汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系式是s=400-100t，其中自变量t的取值范围是0≤t≤4，所以有0≤s≤400，因此这个函数图象应为一条线段，故淘汰掉D．又因为在S=400-100t中的k=-100＜0，∴s随t的增大而减小，所以正确答案应该是C．
5、某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：
每千克9元，由基地送货上门；乙方案：
每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．
（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；
（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？
并说明理由．
先求出两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，再通过比较，探索出结论．
（1）甲方案的付款y甲（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为y甲=9x（x≥3000）；乙方案的付款y乙（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为y乙=8x+500O（x≥3000）．
（2）有两种解法：
解法1：
①当y甲=y乙时，有9x=8x+5000，
∴x=5000．
∴当x=5000时，两种方案付款一样，按哪种方案都可以．
②当y甲﹤y乙时，有9x﹤8x+5000，
∴x＜5000．
又∵x≥3000，
∴当3000≤x≤5000时，甲方案付款少，故采用甲方案．
③当y甲＞y乙时，有9x＞8x+5000，
∴x＞5000．
∴．当x＞500O时，乙方案付款少，故采用乙方案．
解法2：
图象法，作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函数图象，如图11－24所示，由图象可得：
当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，y甲﹤y乙,即选择甲方案付款少；当购买量为5000千克时，y甲﹥y乙即两种方案付款一样；当购买量大于5000千克时，y甲＞y乙，即选择乙方案付款最少．
6、某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：
一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？
[分析]设举办乒乓球比赛的费用y（元）与租用比赛场地等固定不变的费用b（元）和参加比赛的人数x（人）的函数关系式为y=kx+b（k≠0）.
把x=20，y=1600；x=30，y=2000代入函数关系式，求出k，b的值，进而求出y与x之间的函数关系式，当x=50时，求出y的值，再求得y÷50的值即可．
解：
（1）设y1=b，y2=kx（k≠0，x＞0），
∴y=kx+b．
又∵当x=20时，y=1600；当x=30时,y=2000，
∴
∴
∴y与x之间的函数关系式为y=40x+800（x＞0）.
（2）当x=50时，y=40×50+800=2800（元）．
∴每名运动员需支付2800÷50=56（元〕
答：
每名运动员需支付56元．
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