第3节 相关性最小二乘估计与统计案例.docx
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第3节相关性最小二乘估计与统计案例
第3节 相关性、最小二乘估计与统计案例
考试要求 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）；3.了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
知识梳理
1.变量间的相关关系
（1）常见的两变量之间的关系有两类：
一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
（2）从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.
2.回归分析
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是：
（ⅰ）画散点图；（ⅱ）求回归直线方程；（ⅲ）用回归直线方程作预报.
（1）回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线.
（2）回归直线方程的求法——最小二乘法.
设具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观察值为（xi，yi）（i＝1，2，…，n），则回归直线方程y＝a＋bx的系数为：
其中＝i，y＝i，（x，y）称为样本点的中心.
（3）相关系数
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.
r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.
3.独立性检验
（1）设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：
A1,A2=；变量B：
B1,B2=.
2×2列联表
B
A
B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
构造一个随机变量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量.
（2）独立性检验
利用随机变量来判断“两个变量有关联”的方法称为独立性检验.
（3）当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断
①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
②当χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
③当χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
④当χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联.
[常用结论与微点提醒]
1.求解回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用回归直线过样本点的中心（，）.
2.根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.
3.根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大.
诊断自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.（ ）
（2）通过回归直线方程＝x＋可以估计预报变量的取值和变化趋势.（ ）
（3）只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.（ ）
（4）事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2值越大.（ ）
答案
（1）√
（2）√ （3）√ （4）√
2.（老教材选修1－2P21问题提出改编）为调查中学生近视情况，测得某校在150名男生中有80名近视，在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力（ ）
A.回归分析B.均值与方差
C.独立性检验D.概率
解析 “近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断.
答案 C
3.（老教材选修1－2P7讲解改编）两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A.模型1的相关系数r为0.98
B.模型2的相关系数r为0.80
C.模型3的相关系数r为0.50
D.模型4的相关系数r为0.25
解析 在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关系数r越近于1，模拟效果越好，在四个选项中A的相关系数最大，所以拟合效果最好的是模型1.
答案 A
4.（2019·濮阳一模）根据下表中的数据，得到的回归方程为＝x＋9，则＝（ ）
x
4
5
6
7
8
y
5
4
3
2
1
A.2B.1C.0D.－1
解析 由题意可得＝×（4＋5＋6＋7＋8）＝6，＝×（5＋4＋3＋2＋1）＝3，∵回归方程为＝x＋9且回归直线过点（6，3），∴3＝6＋9，解得＝－1.
答案 D
5.（2020·陕西联考）随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.
非一线
一线
总计
愿生
45
20
65
不愿生
13
22
35
总计
58
42
100
由χ2＝，
得χ2＝≈9.616.
则正确的结论是（ ）
A.有95%的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
B.有95%的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
C.有99%的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D.有99%的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
解析 ∵χ2≈9.616＞6.635.∴有99%的把握认为“生育意愿与城市级别有关”.
答案 C
6.（2020·昆明一中联考）x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用y＝c1ec2x拟合时的相关指数为R，用＝x＋拟合时的相关指数为R，则R，R中较大的是______.
解析 由散点图知，用y＝c1ec2x拟合的效果比＝x＋拟合的效果要好，所以R>R，故较大者为R.
答案 R
考点一 相关关系的判断
【例1】
（1）下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是（ ）
（2）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线y＝－x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A.－1B.0C.－D.1
解析
（1）观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系.故选D.
（2）完全的线性关系，且为负相关，故其相关系数为－1，故选A.
答案
（1）D
（2）A
规律方法 判断相关关系的两种方法：
（1）散点图法：
如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.
（2）相关系数法：
利用相关系数判定，|r|越趋近于1，相关性越强.
【训练1】在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图，下列结论中正确的是________（填序号）.
①人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%；
②人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%；
③人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%；
④人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%.
解析 观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%.
答案 ②
考点二 回归分析 多维探究
角度1 线性回归方程及应用
【例2－1】（2020·南昌统考）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x（单位：
万元）和收益y（单位：
万元）的数据如下表：
月份
1
2
3
4
5
6
广告投入量/万元
2
4
6
8
10
12
收益/万元
14.21
20.31
31.8
31.18
37.83
44.67
他们用两种模型①＝x＋，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：
xiyi
x
7
30
1464.24
364
（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？
并说明理由.
（2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：
（ⅰ）剔除异常数据后，求出
（1）中所选模型的回归方程；
（ⅱ）广告投入量x＝18时，
（1）中所选模型收益的预报值是多少？
附：
对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
＝＝，＝－.
解
（1）应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高.
（2）（ⅰ）剔除异常数据，即3月份的数据后，得
＝×（7×6－6）＝7.2，
＝×（30×6－31.8）＝29.64.
xiyi＝1464.24－6×31.8＝1273.44，
x＝364－62＝328.
＝＝＝＝3，
＝－＝29.64－3×7.2＝8.04.
所以y关于x的回归方程为＝3x＋8.04.
（ⅱ）把x＝18代入（ⅰ）中所求回归方程得＝3×18＋8.04＝62.04，
故预报值为62.04万元.
角度2 非线性回归方程及应用
【例2－2】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
千元）对年销售量y（单位：
t）和年利润z（单位：
千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（xi－）2
（wi－）2
（xi－）·（yi－）
（wi－）·（yi－）
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi＝，＝wi.
（1）根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）?
（2）根据
（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据
（2）的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：
对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
＝，＝－ .
解
（1）由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.
（2）令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于
＝＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
（3）①由
（2）知，当x＝49时，年销售量y的预报值
＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据
（2）的结果知，年利润z的预报值
＝0.2（100.6＋68）－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24
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