（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。
（此时
称X服从以p为参数的几何分布）
（2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y得分布律。
（此时称Y服从以r,p为参数的帕斯卡分布或负二项分布）
（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%。
以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取得偶数的概率
解：
（1）k=1,2,3,……
P（X=k）=.
（2）k=r+1,r+2,r+3,
P（Y=k）=口-'J
（3）k=1,2,3,……
P（X=k）=0.45（0占5）H,
设p为X取得偶数的概率
P=P{X=2}+P{X=4}+……+P{X=2k}
=0.45〔0占5）1+0.45（U.55y......+0.450.55严
=
5.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
有一只鸟自开着的窗子飞入了
房间，它只能从开着的窗子飞出去。
鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。
假定鸟是没有记
忆的，它飞向各扇窗子是随机的。
（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。
（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。
以Y表示这
只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数。
如户主所说是确实的，试求Y的分布律。
⑶求试飞次数X小于Y的概率和试飞次数Y小于X的概率。
解：
1/3，飞不出窗子的概率为2/3，且各次选
（1）由题意知，鸟每次选择能飞出窗子的概率为择之间是相互独立的，故X的分布律为：
（2）Y的可能取值为1,2,3,其分布律为方法一：
1
P（Y=1）=3
21I
P（Y=2）=§*
P（Y=3）=
方法二：
由于鸟飞向各扇窗户是随机的，鸟飞出指定窗子的尝试次数也是等可能的。
Y
1
2
3
i
2K
3
即P（X=1）=P（Y=2）=P（X=3）
（3）设试飞次数X小于Y为事件A,Y小于X为事件B。
普通鸟和聪明鸟的选择是独立的
X小于Y的情况有：
①X=1,Y=2②X=1,Y=3③X=2,Y=3
故P（A）=P（X=1）*P（Y=2）+P（X=1）*P（Y=3）+P（X=2）*P（Y=3）
112
111
33~扩
^a+3*3=
27
6.一大楼装有5台同类型的供水设备。
设各台设备是否被使用相互独立。
调查表明在任一时刻t每台设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻，
（1）恰有2台设备被使用的概率是多少？
（2）至少有3台设备被使用的概率是多少？
（3）至多有3台设备被使用的概率是多少？
（4）至少有1台设备被使用的概率是多少？
解：
设同一时刻被使用的设备数为X,试验次数为5且每次试验相互独立，显然X满足二次
分布X
（1）P（X=2）='=0.0729
⑵P（X>3）=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=橈71'*0少+鹽**0勺+0.F=0.00856
⑶P（X<3）=-P（X=4）-P（X=5）=1-°7”*WU.l=0.99954
（4）P（X>1）=4P（X=0）=1-°勺=0.40951
（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。
（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。
解：
设进行5次重复独立试验指示灯发出信号为事件B,进行7次重复独立试验指示灯发出
信号为事件C。
用X表示n次重复独立试验中事件A发生的次数，则
P（X=k）=席',k=1,2,3
（1）P（B）=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=|爲申0,虻「0.163
或:
P（B）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=2）=1-
U.7Ld*D,沪-梯7川*（\仁0.163
&甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7.今各投三次，求：
（1）两人投中次数相等的概率
（2）甲比乙投中次数多的概率
解：
记投三次后甲投中次数为X,乙投中次数为Y,,设甲投中a次，乙投中b次的概率为
P（X=a,Y=b）
（1）设两人投中次数相等为事件A
因为甲、乙两人每次投篮相互独立且彼此投篮相互独立
则P（A）=P（X=0,Y=0）+P（X=1,Y=1）+P（X=2,Y=2）+P（X=3,Y=3）
[cix0.6X〔0.4）2xCJX0,7x（0,3）2
cix⑴⑹2X（）.4XdX（0.7）2X+（0.6）（0.7）冃
=0.321
（2）设甲比乙投中次数多为事件B
则P（B）=P（X=1,Y=0）+P（X=2,Y=0）+P（X=3,Y=0）+P（X=2,Y=1）+P（X=3,Y=1）+P（X=3,Y=2）
<1X0.6X（O.4）2X（0.3）^
+側X⑴⑹
2X0.4X（0.3）3+
（0.6）3X（0.3）3
+
x（0.6）2X0.4xCjxOJx（OS）2+
（0.6）3XCjX0.7X（03）3
+
（0,6）JxCjx（0.7）2X0.3
=0.243
9.有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：
从中任取10件，经检验无次品接受
这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中
（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率
（2）需作第二次检验的概率
（3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率
（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率
（5）这批产品被接受的概率
解：
记第一次检验抽取的10件中次品个数X,则X〜B（10,0.1）第二次检验抽取的5件
中次品个数Y,则丫〜B（5,0.1）
（1）设事件A为“这批产品第一次检验就能接受”，
P（A）二；0.349
（2）设事件B为“需作第二次检验”，即第一次检验次品数为1或2
P（B）=P（X=1）+P（X=2）
=£缶霞〔0.9）9XO.：
I+C^x⑴月）（0.1）2
0.581
（3）设事件C为“这批产品按第二次检验的标准被接受”
P（C）=（0.9）S屯0.590
（4）设事件D为“这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过”由
（2）（3）知事件B、C相互独立
P（D）=P（B）其P（C）
之0.581X0.590
宅0.343
（5）设事件E为“这批产品被接受的概率”，其中包括事件A和事件D,A与D互斥
P（E）=P（A）+P（D）
立0.349+0.343
=0.692
10.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部
挑出来，算是试验成功一次。
（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？
（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对
的，还是他确有区分的能力（设每次试验是相互独立的）
解：
（1）设事件A为“试验成功一次”，题意为在8杯中挑4杯，恰好挑到事件A
（2）设事件B为“他连续试验10次，成功3次由于每次试验相互独立则P（B）
此概率太小在试验中竟然发生了，按实际推断原理，认为他确实有区分的能力。
11.尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的，但每年总有
一些“发明家”撰写关于仅用圆规和直尺将角三等分的文章。
设某地区每年撰写此类文章篇
数X服从参数为6的泊松分布。
求明年没有此类文章的概率。
解：
设明年没有此类文章的概率为P,又X服从泊松分布，得
（X=k）-—
令入=6，贝U卩（X一0）=-^=e_b=25xW
12•—电话总机每分钟收到呼叫的次数服从参数为4的泊松分布。
求
（1）某一分钟恰有8次呼唤的概率；
（2）某一分钟的呼唤次数大于3的概率。
解：
设每分钟收到呼叫的次数为随机变量X,呼叫k次的概率为P,同理有
4甩'4吐勺
P（X=8）0.0298
X>3,即
13.
P,时间间隔长度t=3,
某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼叫的次数X服从参数为（1/2）t的泊松
（1）
（2）
解：
求某一天中午12点至下午3点未收到紧急呼叫的概率；
求某一天中午12点至下午5点至少收到1次紧急呼叫的概率。
分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）
（1）设某一天中午12点至下午
3点未收到紧急呼叫的概率为
依题意有卩―容.攀』“逊
=1■-
k\
5
=1-e=0.9179
14.某人家中在时间间隔t（小时）内接到电话的次数X服从参数为2t的泊松分布。
（1）若他在外出计划用时10分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少？
（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，问他外出应控制最长时间是多少？
解：
⑴设其间有电话铃响一次的概率为P，t=1/6，依题意有
（21^«~21由.不1_1
P（X=1）=^7—n-=7e5=07388
外出时没有电话的概率至少为0.5,
即为
（2t）he2f（2t）%2t
p皿
（小时）
即外出时间不得超出20.79分钟.
15•保险公司在一天内承保了5000张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份，在合同有
效期内若投保人死亡，则公司需赔付3万元。
设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015,且
各投保人是否死亡相互独立。
求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率（利
用泊松定理计算）。
解：
设投保人在一年内死亡人数为X,则X~b（5000,0.0015），若公司赔付不超过30万元，
30
则死亡人数不该超过=10个人，
P{XW10}£：
】“5約（0M巧）"列笳严U"
根据泊松定理，入=np=5000X0.0015=7.5
口W7.SLr-T5
P{Xw10}宀A—一=0.8622.
16•有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概
率为0.0001。
在某天的该时间段内有1000辆汽车通过。
问出事故的车辆数不小于2的概率
是多少？
（利用泊松定理计算）
解：
设某天该时段汽车站汽车出事故的辆数为X，则X~b（1000,0.0001）,
所求为P{X>2}=1-P{X=0}-P{X=1}.
其中，根据泊松定理，入=np=1000X0.0001=0.L
P{X=k}=「———.
所以，P{X>2}=1-P{X=0}-P{X=1}~1--'''
17.
（1）设X服从（0-1）分布，其分布律为P{X=k}=pk（1-p）1-k,k=0,1,求X的分布函数,并作出其图形。
（2）求第2题
（1）中的随机变量的分布函数。
解：
（1）X服从（0-1）分布，即，当X=0,珈=1-P;当X=1,P^=P-
当x<0,F（x）=0;
当0Wxv1,F（x）=1-p;
当x>1,F（x）=（1-p）+p=1.
h0,x<0
X的分布函数为心）=1-卩』《巧1
（2）第2题
（1）中，X的分布律为
X
3
4
5心
P
0.1
0.3
0.6*-'
所以，当X
1;M
=oj
ZF（x）=0.1J
4'.■I-
5«X,F（x）=0.4+0.6=1.
所以，X的分布函数为
/
0.1,3Wx<^
F（x）=04.4Wx<5,X>5.
18.在区间［0,a］上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。
设这个质点落在］0,
a］中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例。
试求X的分布函数。
解：
当xv0,P（x）=0;
当0wxwa,P（x）=kx,（其中k表示概率与区间长度的比例关系）
由于题中说明，在区间［0,1］上任意投掷质点，所以，质点落在区间内是必然事件，所
以P（0wxwa）=ka=1,所以k=£
所以X的分布函数为
F（x）=
ltx>a
19.
X的分布
以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计）
h-VE,x>0,
函数是厂N（x）=上尤兰n求下列概率：
（1）P｛至多3分钟｝.
（2）P｛至少4分钟｝.
（3）P｛3分钟至4分钟之间｝.
（4）P｛至多3分钟或至少4分钟｝.
（5）P｛恰好2.5分钟｝.
解：
（1）P{至多3分钟}=P{Xw3}=「（3）=1-=1-
（2）P{至少4分钟}=P{X>4}=1-P{Xv4}=1-Ey（4）==
（3）P{3分钟至4分钟之间}=P{3wXW4}=（4）-k-（3）=（1-）-（1-，）
=-
（4）P{至多3分钟或至少4分钟}=P{XW3UX>4}=P{XW3}+P{X>4}=（1#12）+
=1+疋“I芒12
（5）P{恰好2.5分钟}=P{X=2.5}=0
'0,.x<>1
20.设随机变量X的分布函数为心（x）
ItXE骼
（1）求P{Xv2},P{0vXW3},P{2vXv2.5}.
（2）求概率密度'（x）.
解：
（1）根据连续型随机变量的分布函数的定义和性质可得
P{Xv2}=
（2）=ln2
P{0vXW3}=心（3）-心（0）=1-0=1
=ln2.5-1n2=ln1.25
P{2vXv2.5}=，（2.5）-民:
:
|
（2）
（2）根据概率密度的定义可得
21.设随机变量X的概率密度为
'x,0<
^2-x.1九其也
求X的分布函数F（x）,并画出
（2）中f（x）及F（x）的图形.
解：
（1）F（x）=P（X当xv1时，F（x）=,.匚：
「：
」、;=0
当1?
（―忑）妣=2（x+-2）当2vx时，F（x）的+J：
2仆冷）=1
（2）F（x）=P（X当xv0时，F（x）』/T卞=0
当0'-h=—
当1叫几WdtJ：
0dt=1
（Xx<0
__J
故分布函数为F（x）=
■p0Wx2x-~2ih1Wx<2
2x
F（x）和F（x）的图形如下
22.
（1）分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦（Maxwell）分布，其概率密度为:
f（x）=
.6直也
其中b=m/（2kT），k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度，m是分子的质量，试确定常数A。
（2）研究了英格兰在1875年~1951年期间，在矿山发生导致不少于10人死亡的事故的
频繁程度。
得知相继两次事故之间的时间T（日）服从指数分布，其概率密度为
求分布函数F（t），并且求概率P（50s
4
由此可得A=韦
当t>0时，衍（t）（r）dt=J'J血+J；扣血=1-£-曲|
故所求的分布函数为
（t）=
具他.
Fr
而P{5023.某种型号器件的寿命X（以小时计）具有概率密度
1000
f（x）
x>1000,
其血
现有一大批此种器件（设各种器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命
大于1500小时的概率是多少？
解：
任取一只该种器件，其寿命大于1500h的概率为
24.设顾客在某银行的窗口等待服务时间X（min）服从指数分布，其概率密度为
fI&吧耳I几（x）=（0直他
某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个
月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P（Y>1）.
解：
顾客在窗口等待服务超过10min的概率为
P=J常x<方弧=J加%忑=e2
故顾客去银行一次因未等到服务而离开的概率为尹，从而丫〜b（5,）
那么，Y的分布律为P{Y=k}槪2）"“，k=0,1,2,3,4,5.
P{Y>1}=1-P{Y=O}=10-芒'I'=0.5167
25、设K在（0,5）服从均匀分布，求x的方程4i'+4Kx+K+2=0有实根的概率。
解：
4+4Kx+K+2=0有实根
即二它「4〔'二釘；
解得K0-1或K>2
由题知K在（0,5）服从均匀分布
即；〕-亠•」
设方程4+4Kx+K+2=0有实根为事件A
P（A）=］上总、化二；¥担=?
26、设X~NQ,科
（1）求卩{2U灯5},艸-46玄训|,卩{凶A2}|,叫"}
⑵确定c使得P（X>i}=P{X⑶设d满足'\-.i-
解：
无三宁〕
f（23X35J'j
（1）P{2珂―斗V*冬10}=卩{—?
<乎冬?
=20（?
）-1=0,999h
P（|X|>2]=P{Z<_2}+卩{龙〉2}=“丁v—刃+F{亍〉一计胡―》+碓）
=0.6977
=U.5
⑵卜灯二也『弐好
（X-3c-3}（X-3c-31
即-'
（X-3—3）（^-3C-3）
1"卩|2%2}"42^~T~\=°烏
即〒=0可得c=3
rf-3
即-丁匕129
即止
则d至多为0.42
27、某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mmHg计）服从N（110,122）分布，在该地
区任选一18岁的女青年，测量她的血压X，求
（1）J<二腺i心V<1比■
⑵确定最小的，使.■■'-
解：
z=^~/V（OJ）
rx-no105-no}
（1）1:
■:
=0（-0.417）«0+3383
P{100rx-no}
-0833<———<刚叫
=2X0（0.833）-1=0.5952
I110即1.65
（2）|P{X>x}<0.05
即F
即P
>129.8
则x最小为129.8，使得:
--
28.由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数卩=10.05,（T=0.06的正态分布。
规定长
升级会员 