全国高考理科数学考试及其解析.docx

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全国高考理科数学考试及其解析

2000年全国高考理科数学考试及其解析

————————————————————————————————作者：

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2000年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.设集合A和B都是自然数集合N，映射

把集合A中的元素

映射到

集合B中的元素

，则在映射

下，象20的原象是（）

A．2B．3C．4D．5

2.在复平面内，把复数

对应的向量按顺时针方向旋转

，所得向量对应的

复数是（）

A．2

B．

C．

D．3

3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是

、

、

，这个长方体对角

线的长是（）

A．2

B．3

C．6D．

4．已知

，那么下列命题成立的是（）

A．若

、

是第一象限角，则

B．若

、

是第二象限角，则

C．若

、

是第三象限角，则

D．若

、

是第四象限角，则

5．函数

的部分图像是（）

6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额

税率

不超过500元的部分

5%

超过500元至2000元的部分

10%

超过2000元至5000元的部分

15%

…

…

某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于（）

A．800~900元B．900~1200元C．1200~1500元D．1500~2800元

7．若

，P=

，Q=

，R=

，则（）

A．R

P

QB．P

Q

RC．Q

P

RD．P

R

Q

8．以极坐标系中的点

为圆心，1为半径的圆的方程是（）

A．

B．

C．

D．

9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）

A．

B．

C．

D．

10．过原点的直线与圆

相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）

A．

B．

C．

D．

11．过抛物线

的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与

FQ的长分别是

、

，则

等于（）

A．

B．

C．

D．

12．如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分

成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（）

A．

B．

C．

D．

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．

13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种（用数字作答）

14．椭圆

的焦点为

、

，点P为其上的动点，当

为钝角时，点P横坐标的取值范围是________

15．设

是首项为1的正项数列，且

（

=1，2，3，…），则它的通项公式是

=_______

16．如图，E、F分别为正方体的面

、面

的中心，则四边形

在该正方体的面上的射影可能是_______．（要求：

把可能的图的序号都填上）

三、解答题：

本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知函数

，

．

（I）当函数

取得最大值时，求自变量

的集合；

（II）该函数的图像可由

的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

18．（本小题满分12分）

如图，已知平行六面体ABCD-

的底面ABCD是菱形，且

=

=

=

．

（I）证明：

⊥BD；

（II）假定CD=2，

=

，记面

为

，面CBD为

，求二面角

的平面角的余弦值；

（III）当

的值为多少时，能使

平面

？

请给出证明．

19．（本小题满分12分）

设函数

，其中

．

（I）解不等式

；

（II）求

的取值范围，使函数

在区间

上是单调函数．

20．（本小题满分12分）

（I）已知数列

，其中

，且数列

为等比数列，求常数

；

（II）设

、

是公比不相等的两个等比数列，

，证明数列

不是等比数列．

21．（本小题满分12分）

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=

；

写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=

；

（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？

（注：

市场售价和种植成本的单位：

元/

kg，时间单位：

天）

22．（本小题满分14分）

如图，已知梯形ABCD中

，点E分有向线段

所成的比为

，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当

时，求双曲线离心率

的取值范围．

2000年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准

一．选择题：

本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．

（1）C

（2）B（3）D（4）D（5）D（6）C（7）B（8）C（9）A（10）C（11）C（12）D

二．填空题：

本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．

（13）252（14）－

（15）

（16）②③

三．解答题

（17）本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．

解：

（Ⅰ）

y=

cos2x＋

sinxcosx＋1

=

（2cos2x－1）＋

＋

（2sinxcosx）＋1

=

cos2x＋

sin2x＋

=

（cos2x·sin

＋sin2x·cos

）＋

=

sin（2x＋

）＋

——6分

y取得最大值必须且只需

2x＋

=

＋2kπ，k∈Z，

即x=

＋kπ，k∈Z．

所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为

{x|x=

＋kπ，k∈Z}——8分

（Ⅱ）将函数y=sinx依次进行如下变换：

（i）把函数y=sinx的图像向左平移

，得到函数y=sin（x＋

）的图像；

（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的

倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x＋

）的图像；

（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的

倍（纵坐标不变），得到函数y=

sin（2x＋

）的图像；

（iv）把得到的图像向上平移

个单位长度，得到函数y=

sin（2x＋

）＋

的图像；综上得到函数y=

cos2x＋

sinxcosx＋1的图像．——12分

（18）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．

（Ⅰ）证明：

连结A1C1、AC、AC和BD交于O，连结C1O．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BD=CD．

又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，

∴△C1BC≌△C1DC

∴C1B=C1D，

∵DO=OB

∴C1O⊥BD，——2分

但AC⊥BD，AC∩C1O=O，

∴BD⊥平面AC1，

又C1C

平面AC1

∴C1C⊥BD．——4分

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）知AC⊥BD，C1O⊥BD，

∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角．

在△C1BC中，BC=2，C1C=

，∠BCC1=60º，

∴C1B2=22＋（

）2－2×2×

×cos60º=

——6分

∵∠OCB=30º，

∴OB=

BC=1．

∴C1O2=C1B2－OB2=

，

∴C1O=

即C1O=C1C．

作C1H⊥OC，垂足为H．

∴点H是OC的中点，且OH=

，

所以cos∠C1OC=

=

．——8分

（Ⅲ）当

=1时，能使A1C⊥平面C1BD

证明一：

∵

=1，

∴BC=CD=C1C，

又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD，

由此可推得BD=C1B=C1D．

∴三棱锥C－C1BD是正三棱锥．——10分

设A1C与C1O相交于G．

∵A1C1∥AC，且A1C1∶OC=2∶1，

∴C1G∶GO=2∶1．

又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，

∴点G是正三角形C1BD的中心，

∴CG⊥平面C1BD．

即A1C⊥平面C1BD．——12分

证明二：

由（Ⅰ）知，BD⊥平面AC1，

∵A1C

平面AC1，∴BD⊥A1C．——10分

当

=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，

同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C，

又BD⊥BC1=B，

∴A1C⊥平面C1BD．——12分

（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．

解：

（Ⅰ）不等式f（x）≤1即

≤1＋ax，

由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a＞0．

所以，原不等式等价于

即

——3分

所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x|0

}；

当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}．——6分

（Ⅱ）在区间[0，+∞]上任取x1、x2，使得x1＜x2．

f（x1）－f（x2）=

－

－a（x1－x2）

=

－a（x1－x2）

=（x1－x2）（

－a）．——8分

（ⅰ）当a≥1时

∵

<1

∴

－a<0，

又x1－x2<0，

∴f（x1）－f（x2）>0，

即f（x1）>f（x2）．

所以，当a≥1时，函数f（x）在区间

上是单调递减函数．——10分

（ii）当0

上存在两点x1=0,x2=

，满足f（x1）=1，f（x2）=1，即f（x1）=f（x2），所以函数f（x）在区间

上不是单调函数．

综上，当且仅当a≥1时，函数f（x）在区间

上是单调函数．——12分

（20）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．

解：

（Ⅰ）因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有

（cn+1－pcn）2=（cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1），

将cn=2n＋3n代入上式，得

[2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2

=[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]，——3分

即[（2－p）2n+（3－p）3n]2

=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][（2－p）2n－1+（3－p）3n－1]，

整理得

（2－p）（3－