流体动力学基本方程.docx
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流体动力学基本方程
Chapter3流体动力学基本方程
例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：
流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）
决定。
本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。
I质量连续性方程（质量守恒方程）
I-1方程的导出物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。
质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。
在此假设下，对物质体有dd0。
根据输
dt
运定理，设t时刻该系统所占控制体为CV，对应控制面CS，则有
CV
ò
CS
dsv0——质量守恒方程积分形式。
1）d——流体微团密度随时间的变化率；定常流动dt
可压缩流动const.。
0；不可压缩流动d0；均质流体的不tdt
2）由dm0（m为微团的质量）知1ddtdt
1d
1ddt（为该微团t时刻体积），从而知
上式亦表明，CV内单位时间内的质量减少=CS上的质量通量。
由奥高公式得òvds
（v）d，
于是有
（v）d0。
CS
CV
CVt
考虑到的任意性，故有
t
（v）
（v）
0，即
d
v
v
0——
质量守恒方程微分形式
dt
I-2各项意义分析：
流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。
dv
3）不可压缩流体d0，故有vv0。
dt
由奥高公式有òvvdsvvvd，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有òvvdsv0。
òCVòCSCS
不可压缩流动满足的vv0或òvvdvs0是对速度场的一个约束
CS
例1、1）定常流场中取一段流管，则由òvvdsv0易知：
CS
1V1S12V2S2；如为均质不可压缩流动，则V1S1V2S2。
2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）
则有4r2V（r,t）m（t），
2
即V（r）r2，其中m（t）代表点源强度（单位时间发出的流体
体积）。
例2、均质不可压缩流体（密度为）从圆管（半径为R）入口端以
速度V0流入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即
。
通
常称这种流动为圆管的入口流。
试求当管内流动发展为抛物型剖面时的最大速度Vm。
解：
如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：
ò界面VvdSv0，由于管壁无渗透故上式
2R
可写为：
V0R2V2rdr，可得Vm2V0。
II动量方程流体团所受合外力=该流体团的质量
II-1方程的导出
1直角坐标系下推导微分形式的动量定理
t时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，该流体微团刻所占控制体CV，其边界CS。
受力分析：
v
体力合力=Fd
面力合力
于是有
v
x
v
x
px
x
2
y,z
sx
p
xx
x2
y,z
sx
v
y
v
y
py
x,y
2y,z
sx
p
yx,y
2y,z
sy
v
x
v
z
pz
x,y,z
2
sx
p
zx,y,z
2
sz
v
x
v
x
px
x
2
y,z
sx
p
x2
y,z
sx
v
y
v
y
py
x,y
2y,z
sx
py
x,y
2y,z
sy
v
x
v
z
pz
x,y,z
2
sx
pz
x,y,z
2
sz
v
v
v
px
py
pz
x
y
z
vdV
vF
vpx
vpy
vpz
dt
x
y
z
vF
vpx
vpy
vpz
。
x
y
z
òCSpvndS
即dVv
dt
分量形式：
dvx
dt
Fx
dvy
dt
dvz
dt
x
y
z
pxy
pyy
pzy
x
y
z
pxx
pyx
pzx
pxxpyx
pzx
Fy
x
y
z
或写成
dvi
Fipji
dt
xj
vdV
v
或
F
P。
dt
Fz
P意义：
单位体积流体团所受面力的合力。
2积分形式的动量定理的导出
考虑体系，该流体团t时刻所占控制体
CV，
其边界CS。
由动量定理有
ddt
vVd
CV
v
Fd
òCSvpndS
dv
利用输运定理可得dV
v
V
vv
VV
vS。
dttCV
CS
于是得到积分形式动量定理：
v
VtCV
v
V
CS
v
V
v
S
CV
vv
FdòCSpndS
该定理的应用：
经常应用于求流体与边界的相互作用力。
例题1求流体作用于闸门上的力。
（设渠宽w）
解：
取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的
x方向分量方程。
x方向动量通量
V12wD1
V22wD2
x方向合外力
D1
0
wPa
g（D1
y）dy
D2
0wPag（D2y）dy（hD2）Pa
闸门受合力＝R
Pa（D1
h）
代入动量方程方程得
22
w（V2D2V1D1）
2gw（D1
故
122Rgw（D1D2）
2
22
w（V2D1V1D2）
D
注：
求R时可直接设Pa
0。
注微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如下：
vv
dvdVdVvdVVdtdtdtdt
ddm
其中ddtddtm0，因而得到
vv
dvdVdV
V
dtdtCVdt
上式表明：
流体团总动量的变化率
=组成该流体团的流体质点的动量变化率之和。
另外，乙CSpvndS
nvPdS
CS
综上可得
CV
v
dV
dt
Pd，
CV
0，再考虑到系统大小形状的任意性可得
vdVdt
P。
尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。
3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
VvV2vvv
rotVVFP
t2
II-2地转参照系下的动量方程就很多空间和时间尺度都较小的流动而言，地球参照系通常课近似看作惯性系。
但是对于大尺度的流体运动问题，必须考虑地球自转的影响。
在海洋和大气的大尺度运动问题中，通常把地心看成惯性参照系，地球相对于地心有自转运动。
我们在此介绍地转参照系下的动量方程，为将来学习物理海洋学、地球流体动力学等打基础。
地球上运动质点的绝对速度VvaVvrVve，其中Vvr代表质点相对于地球表面的运动速度，牵连速度
vvvv
Vevrv（牵连速度=地球表面上该质点所在位置绕地心的自转速度），为地球自转角速度。
绝对加速度：
wvawvrwvewvc，
vvdv
其中wvr代表相对加速度，牵连加速度wveddt
vv
vvvv
vrv，科氏加速度wvc2vVr。
动量方程：
v
dVr
dt
wvewvc
其中dVr
dt
i
xi
因为真实力与参照系无关，
般情况下可以忽略地球自转角速度的变化，
认为
dv
dt
0，于是有
v
VrVvrVvr
vvrv2vVvr。
III.能量方程
III－1能量方程的推导：
t时刻流体团所占控制体CV，其边界CS，能量平衡关系式：
d
（UV22）
vv
FV
dt
2
CV
d
V2
d
V2
U
U
dt
2
dt
2
d
V2
＝
U＋
dt
2
乙CSpvnVv
vs＝n
CS
P
vVs
乙CSnvP
乙CSkT
v
s
CS
k
T
d
V2
所以得到能量方程微分形式
：
UV
dt
2
因为
V2ddV2
U＝U
2dtdt2
vvvv
VsPVs?
PV
CSCS
vvv
FV（PV）（kT）q，
v其中（PV）
pjiVipji
（pjiVi）VipjiiVipjisji
xxxx
jjjj
pjiaji。
由于旋转运动张量
A是反对称张量，而应力张量
P是对称张量，故有pjiaji0（因pij是对称张量）
记pjisjipijsji
pjiv
P:
S。
另外VijiV（
xj
P），于是有如下形式的能量方程：
d（U
V22）
dt
vvv
FVV（P）P:
S
（kT）q。
t时刻系统能量增加率
1
外力的功率
2
其中
单位时间内通过边界流入的热量
3
单位时间内从外界吸收的其他能量
4
（1）
d
（U
V2
），U代表单位质量流体的内能（分子热运动动能+分子间相互作用势能）
dt
2
vv
vv
（2）
CV
FV
òCSpnVs
（3）
vòCSf
vs
òkTsv，fv为热流强度，根据付利叶热传导定律对各向同性流体
vf
k
T
（4）设单位时间内单位质量流体从外界吸收的辐射能为q，则（4）qd
CV
故能量方程积分形式为：
乙CSpvnVvsCSkTsvCVq
CSnCSCV
方程中各项意义分析：
d（U
V22）
dt
代表单位体积流体能量变化率；
FvVv代表作用在单位体积流体微团上的体力的功率；
Vv（P）代表作用在单位体积流体微团表面的面力的合力的功率；
（kT）q代表单位时间内单位体积流体微团通过热传导和辐射吸收从外界获得的能量。
III－2动能方程
将动量方程
dVFv
P两边同时点积Vv得：
vdVvvvVdVFVV（P）。
dtF
dt
其中VvdVv
vv
1d（VV）
2
1dV，故有动能定理
dt
2dt
2dt
dV2vv
v
FV
V（P）。
dt2
上式表明：
单位体积流体微团动能变化率＝作用于该微团上的体力的功率＋作用于该微团上的合面力的功率。
III－3热流量方程：
dUP:
S（kT）q
dt
面力的功率包含两项VvP（P:
S），其中合面力的功率Vv（P）转化为系统的宏观运动动能，
另一部分P:
S转化为系统的内能。
尽管系统内部的应力是内力，但是粘性应力必然导致机械能的耗散。
如果系统要维持定常状态，必须有外力对系统做功，补充其机械能损耗。
参考本章后面的例题。
o-xyz到旋转后的坐标系o-xyz，二阶
IV.本构方程数学预备：
记VvE，根据二阶张量定义，将坐标系旋转，从原坐标系张量E的张量元满足变换：
Vj
xi
im
jn
其中变换矩阵
vivjvvkvkvvivjv
逆变换：
Vj
xi
Vn
minj
xm
本构方程的导出
1应力张量分解：
Pp
P——偏应力张量，代表运动流体的应力张量与各向同性应力张量（记为p）的差异。
记作PP是对称二阶张量。
2线性假设（Newton粘性定律的推广，对于剪切流动u1kx2，21u1）
x2偏应力产生于速度场的不均匀性。
线性假设：
假设偏应力张量各分量与速度梯度张量的各分量成线性关系：
uk。
ijcijkl。
xl
cijkl是四阶张量，满足变换关系cijklimjnkplqcmnpq。
cijkl是由81个系数组成的一组系数，这组系数确定了偏应力张量各张量元与速度梯度张量各张量元之间的关系，由于偏应力张量和速度梯度张量都满足二阶张量定义，于是有
cuqcul
ijimjnmnimjncmnpqimjncmnpqkplq
xpxk
可知cijklimjnkplqcmnkl。
数学上定义，由81个元素组成的量，若其元素满足该变换的则称之为四
阶张量。
3各向同性流体及其四阶张量cijkl的表达式
3－1各向同性流体：
若在原坐标系
o-xyz和旋转后的坐标系o-xyz中偏应力张量分别表示为
cijklul和ij
ulcijkl，若
ul
ul则应当有ij
ij，于是要求cijklcijkl。
xk
xk
xk
xk
考虑一个特例来理解流体粘性的各向同性：
水池中插入并移动平板引起的两个纯剪切流动的粘性应力大小与平板放置方向无关。
只要加上一个速度梯度，就对应一个粘性应力，粘性系数与速度梯度的方向无关。
ul
u1
u1
ul
u1
u1
21c21kl
c2121
21c21kl
c2121
xk
x2
x2
xk
x2
x2
3－2对于各向同性流体，可以证明（参见吴书p75）四阶张量cijkl可表示为
cijkl
ijklikjliljk，其中,,是标量，即
cijkl
whenijklwhenijklwhenikjl
wheniljk
3－3偏应力张量是对称张量cijkl
cjikl，于是
于是
cijkl
ijkl
ikjliljk。
另外，由上式还可知cijklcijlk。
4分解
ul
xk
akl，于是
ij
cijklsklcijklaklcijklskl
0。
偏应力与变形运动相关联。
如果流体只有旋转运动而没有变形运动，那么偏应力张量＝
5将cijkl的表达式带入上式，得
ijij
klskl
ikjliljkskl
skkij
2sij
最后得到：
pijpij
skkij
2sij
2sij
1s
2s
pij
skkij
skkij
pij
2sij
1s
3skkij
skkij
其中sij
1
skkij
代表无体积变化的纯剪切运动，
skki
j代表各向同性膨胀运动。
3kkij
6Stokes假设
对于不可压缩流体，
skkij＝0。
对于可压缩流体
skk
ij表示流体发生膨胀或收缩时引起的法向应力，
被称为第二粘性系数或膨胀粘性系数。
Stokes假设：
系统处于准热力学平衡状态时，可近似认为0。
7的意义
考虑纯剪切运动，uky，粘性应力212s21
u，可知
为动力学粘性系数。
8p的意义设流体满足Stokes假设，可以证明
p作用于球形微团上的法应力的平均值。
So,it'sameasureofthelocalintensityofthe“squeezing”ofthefluid.
roverall
证明：
Theaveragevalueofthenormalcomponentofthestressonasurfaceelementatpositiondirectionsofthenormalntotheelementis
pnnnPnd
4
4
nipijnjsindd.
Sincenv（sin
cos
sinsin
cos
）,
1
1
1
pnn
ni
pijnjsin
dd
pij
ijpiip
4
3
3
或者在球坐标系下
vn
（1,0,0）
ver
p
nn
1
evrP
versin
dd
prrp
4
证明：
1
1
Hence，pcharacterizingthefluidpressureinamovingfluidwhichisanalogoustothestaticfluidpressureinthesensethatit'sameasureofthelocalintensityofthe‘squeezing'ofthefluid.
（关于p与热力学压强的关系，建议学生查庄礼贤《流体力学》对应章节。
）
9关于偏应力张量P
Ageneralrelativemotionnearanypointmayberepresentedasthesuperpositionoftwosimpleshearingmotion,eachofwhichgivesrisetoatangentialstressdeterminedbyandthecorrespondingvelocitygradient,togetherwitharigidrotationandanisotropicexpansion,neitherofwhichhasaneffect（inafluidofisotropic
structure）onthenon-isotropicpartofthestress'tensoranddij
ij）mayofcauseberegarded
3ij
sijandasymmetrical
1）平板上的切应力212s21
u0，平板所受总阻力h
221bl2blu0。
21h
astheonlypossiblelineartensorialrelation,involvingonescalarparameter,betweentensordijwhosediagonalelementshavezerosum.（以上8和9）引自Batchlor,1994）本构方程（广义牛顿公式）的适用范围：
1）大多数液体；
2）非高温、非高频振动的气体；非牛顿流体：
油漆、橡胶、蜂蜜、血液、沥青等。
例1写出纯剪切流动偏应力张量各分量
例2吴书p203，23
2）y3h/2处流体内摩擦力为0。
例3吴书p203，22柱坐标系下应力张量的表达式见p190。
除przpzru外，应力张量其他非对角元均为零。
ru2管壁处的切应力przu2cr0，单位长圆管对流体的阻力prz2r04cr02。
与圆管共轴的半径为r
r0/2的单位长流体柱表面的总摩擦力
cr2。
V流体力学基本方程组
V-1完备的微分形式流体力学基本方程组
t
（V）
0,
vdV
v
P,
F
dt
dU
P:
S
（k
T）q,
dt
1
vv
PpI
2
S
IdivVIdivV,（
3
pp
T.
内能
UUT,V，
具体函数形式由热力学理论给出。
对于完全气体
UCvT。
V-2N-S方程
将PpI2（S
s3kkI）代入动量方程即得：
vdVdt
Fvp
[2（S
ΔI）]，其中Δ
3
skk。
当流场温度变化不大时，
近似为常数，
故有
[2
（S
I）]
v
V，
其中
uj
ui
uj
ui
v
V。
xi
xi
xj
xixi
xi
xj
最后得到
vdVdt
2Vv
v
V）。
又，若流体不可压缩，方程化为
N—S方程：
v
dV
dt
2Vv。
又，若流体粘性可略，方程化为理想流体Euler方程：
vdV
v
F
dt
10
V-3耗散函数
耗散函数——单位时间内粘性导致的单位体积流体机械能转化成的内能。
P:
Spijsji
pij
2
sij
vdivV
jsji
3i
psii
2sijsji
2
3
（si
i）2p
v2v2v
V2S:
S（V）2pV
3
v其中pV为压缩功，
而2
S
:
S23（
v2
V）2为粘性力的功，它将导致机械能转化成内能。
定义耗散函数
2S
:
S
2
3
v2
（V）2，
它等于单位时间内由于粘性应力做功导致的机械能转化成的
内能。
它可以化成如下形式：
22
4（s12s13
2
3[（s11s22）
（s11
s33）（s22
s33）]。
可见，恒大于或等于零。
这说明粘性力做功总是使机械能转化成内能，这个过程不可逆。
例题：
拖动上板引起的剪切运动uky，k
①写出该流动的耗散函数。
常数。
设平板面积间距h，忽略边缘效应，
k
0
0
Sk
2
0
0，
Vv0，
2
0
0
0
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