与名师对话文抛物线二.docx

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与名师对话文抛物线二

第九节　抛物线

（二）

高考概览：

1.能够把直线与抛物线位置关系问题转化为研究方程的解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题；2.进一步体会数形结合分类讨论的思想．

[知识梳理]

1．直线与抛物线的位置关系

联立得k2x2＋2（mk－p）x＋m2＝0.

（1）相切：

k2≠0，Δ＝0；

（2）相交：

k2≠0，Δ>0；

（3）相离：

k2≠0，Δ<0.

2．焦点弦的重要结论

抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：

（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.

（2）|AF|＝x1＋＝；

|BF|＝x2＋＝；

|AB|＝x1＋x2＋p＝.

（3）抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．

（4）S△AOB＝.

（5）＋为定值.

（6）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

（7）以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切．

（8）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．

[辨识巧记]

　一个关注点

直线与抛物线相交有两种情况，一是直线与抛物线的对称轴平行（或重合），此时有一个交点；二是直线与抛物线有两个交点．

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．（　　）

（2）所有的焦点弦中，以通径的长为最短．（　　）

（3）直线l过（2p,0），与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB．（　　）

（4）过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）√

2．过点（0,1）作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有（　　）

A．1条B．2条C．3条D．4条

[解析]　由图形可知y轴是y2＝4x的一条切线，与y2＝4x仅有一个公共点，设y＝kx＋1，与y2＝4x联立，得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0，当k＝0时，y＝1与y2＝4x只有一个交点．当k≠0时，由Δ＝（2k－4）2－4k2＝0得k＝1，k＝1时直线和抛物线只有一个交点，故选C．

[答案]　C

3．（2019·甘肃张掖诊断）过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝（　　）

A．9B．8C．7D．6

[解析]　抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），准线方程为x＝－1，根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B．

[答案]　B

4．（2019·湖南郴州模拟）如图，过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（　　）

A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝x

[解析]　设A，B在准线l上的射影分别为A1，B1，如图，由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线AB的斜率为，

故|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6，

从而|BF|＝1，|AB|＝4，

故＝＝，即p＝，

从而抛物线的方程为y2＝3x，故选C．

[答案]　C

5．（2019·长沙调研）设F为抛物线C：

y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________．

[解析]　由抛物线焦点弦的性质可得|AB|＝＝＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝sin30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.

[答案]　

考点一　直线与抛物线的位置关系

【例1】　

（1）过点（0,3）的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则直线l的方程为__________________________________．

（2）已知抛物线C：

x2＝2py，直线l：

y＝－，M是l上任意一点，过M作C的两条切线l1，l2，其斜率为k1，k2，则k1k2＝________.

[思路引导]　

（1）→→→

（2）→→→

[解析]　

（1）当直线l的斜率不存在时，x＝0，满足题意；当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx＋3，代入y2＝4x，得k2x2＋（6k－4）x＋9＝0.当k＝0时，x＝，满足题意，直线l的方程为y＝3；当k≠0时，Δ＝（6k－4）2－36k2＝0，得k＝，直线l的方程为y＝x＋3.

（2）设切线斜率为k，M，则切线方程为y＋＝k（x－x0）代入x2＝2py中得x2－2pkx＋2pkx0＋p2＝0.Δ＝0，∴k2p2－2px0·k－p2＝0.k1、k2是以上方程的两个根，∴k1·k2＝－1.

[答案]　

（1）y＝x＋3或y＝3或x＝0　

（2）－1

（1）直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切，这主要体现在抛物线和双曲线的情况．

（2）在讨论时应注意全面，不要忽略二次项的系数为零的情况．

[对点训练]

在直角坐标系xOy中，直线l：

y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：

y2＝2px（p>0）于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.

（1）求；

（2）除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？

说明理由．

[解]　

（1）由已知得M（0，t），P.

又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为y＝x，代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝.因此H.

所以N为OH的中点，即＝2.

（2）直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：

直线MH的方程为y－t＝x，即x＝（y－t）．

代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．

考点二　焦点弦问题

【例2】　已知抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2）是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：

（1）y1y2＝－p2，x1x2＝；

（2）＋为定值；

（3）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

[思路引导]　→→

[证明]　

（1）由已知得抛物线焦点坐标为.

由题意可设直线AB方程为x＝my＋，

代入y2＝2px，得y2＝2p，

即y2－2pmy－p2＝0.（*）

则y1，y2是方程（*）的两个实数根，所以y1y2＝－p2.

因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，

所以x1x2＝＝＝.

（2）＋＝＋

＝.

因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，

代入上式，

得＋＝＝（定值）．

（3）设AB的中点为M（x0，y0），分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝（|AC|＋|BD|）＝（|AF|＋|BF|）＝|AB|.

所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．

[对点训练]

设抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：

直线AC经过原点O.

[证明]　设直线AB的方程为x＝my＋，

代入p2＝2px，

得y2－2pmy－p2＝0.

由根与系数的关系，得yAyB＝－p2，

即yB＝－.

∵BC∥x轴，且C在准线x＝－上，

∴C.

则kOC＝＝＝＝kOA．

∴直线AC经过原点O.

考点三　抛物线的综合问题

【例3】　（2018·全国卷Ⅰ）设抛物线C：

y2＝2x，点A（2,0），B（－2,0），过点A的直线l与C交于M，N两点．

（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

（2）证明：

∠ABM＝∠ABN.

[思路引导]　

（1）→

（2）→→→

[解]　

（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为（2,2）或（2，－2）．

所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.

（2）证明：

当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.

当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k（x－2）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0.

由得ky2－2y－4k＝0，

可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.

直线BM，BN的斜率之和为

kBM＋kBN＝＋＝.①

将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2（y1＋y2）＝＝＝0.

所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，

所以∠ABM＝∠ABN.

综上，∠ABM＝∠ABN.

　解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法

（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．

（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

（3）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解决．

[对点训练]

已知过点A（－4,0）的动直线l与抛物线G：

x2＝2py（p>0）相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，＝4.

（1）求抛物线G的方程；

（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

[解]　

（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），当直线l的斜率是时，l的方程为y＝（x＋4），即x＝2y－4，

联立消去x，得2y2－（8＋p）y＋8＝0，

y1＋y2＝，y1y2＝4，

由＝4，∴y2＝4y1，

由韦达定理及p>0可得y1＝1，y2＝4，p＝2，

∴抛物线G的方程为x2＝4y.

（2）由题意知直线l的斜率存在，且不为零，

设l：

y＝k（x＋4），BC中点坐标为（x0，y0），

由得x2－4kx－16k＝0，

由Δ>0得k<－4或k>0，

∴x0＝＝2k，y0＝k（x0＋4）＝2k2＋4k，

BC中垂线方程为y－2k2－4k＝－（x－2k），

∴b＝2（k＋1）2，∴b>2.

故b的取值范围为（2，＋∞）．

创新交汇系列⑧——利用导数求解抛物线的切线问题

素养解读：

焦点在y轴上的抛物线可以看作二次函数的图象，可以借助二次函数的性质解决抛物线问题，比如可以用导数求曲线上一点的切线．

【典例】　（2019·湖北襄阳联考）动点P到定点F（0,1）的距离比它到直线y＝－2的距离小1.设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A，B两个不同的点，过点A，B分别作曲线C的切线，且两切线相交于点M.

（1）求曲线C的方程；

（2）求证：

·＝0.

[切入点]　定义法求C的方程．

[关键点]　看到曲线的切线，想到导数的几何意义．

[规范解答]　

（1）由已知得动点P在直线y＝－2的上方，条件可转化为动点P到定点F（0,1）的距离等于它到直线y＝－1的距离，∴动点P的轨迹是以F（0,1）为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，故其方程为x2＝4y.

（2）证明：

设直线AB的方程为y＝kx＋1.

则得x2－4kx－4＝0.

设A（xA，yA），B（xB，yB），则xA＋xB＝4k，xAxB＝－4.

由x2＝4y得y＝x2，∴y′＝x.

∴直线AM的方程为y－x＝xA（x－xA），①

直线BM的方程为y－x＝xB（x－xB）．②

①－②，得（x－x）＝（xA－xB）x＋（x－x），

∴x＝＝2k.将x＝代入①，得

y－x＝xA＝xAxB－x，

∴y＝xAxB＝－1，∴M（2k，－1）．

∵＝（－2k,2），＝（xB－xA，k（xB－xA）），

∴·＝－2k（xB－xA）＋2k（xB－xA）＝0.

利用导数的几何意义解决抛物线中的切线问题优于判别式法，避免较复杂的计算，体现导数的“工具”作用．

[感悟体验]

1．（2018·东城区期末）已知抛物线C1：

y＝x2（p>0）的焦点与双曲线C2：

－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝（　　）

A．B．C．D．

[解析]　由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为，双曲线右焦点坐标为（2,0），所以两个焦点连线的直线方程为y＝－（x－2）．设M（x0，y0），则有y′＝x0＝⇒x0＝p.因为y0＝x，所以y0＝.又M点在抛物线的切线上，即有＝－⇒p＝，故选D．

[答案]　D

2．（2018·天津静海模拟）已知点A为抛物线C：

x2＝4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则∠ABF为（　　）

A．锐角B．直角C．钝角D．不确定

[解析]　设A（x0≠0）．又y＝x2，则y′＝x，则抛物线C在点A处的切线方程为y－＝x0（x－x0）．令y＝0，解得B.又F（0,1），所以·＝·＝－＋＝0，则∠ABF为直角，故选B．

[答案]　B

课后跟踪训练（五十八）

基础巩固练

一、选择题

1．（2019·广东汕头质检）已知抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝（　　）

A．B．C．－D．－

[解析]　∵抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，∴点F的坐标为（1,0）．又∵直线y＝2x－4与C交于A，B两点，∴A，B两点坐标分别为（1，－2），（4,4），则＝（0，－2），＝（3,4），∴cos∠AFB＝＝＝－.故选D．

[答案]　D

2．（2018·全国卷Ⅰ）设抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，过点（－2,0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝（　　）

A．5B．6C．7D．8

[解析]　由题知直线MN的方程为y＝（x＋2）．

联立抛物线与直线方程解得

设M（1,2），N（4,4），由题可得F（1,0），

∴＝（0,2），＝（3,4），∴·＝8.故选D．

[答案]　D

3．（2019·广东广州联考）已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为（　　）

A．B．－C．－2D．2

[解析]　设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝4.由得＝2，即4kAB＝2，∴kAB＝.故选A．

[答案]　A

4．（2019·山东青岛模拟）已知点A是抛物线C：

x2＝2py（p>0）的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则p的值为（　　）

A．B．1C．D．2

[解析]　设过点A与抛物线相切的直线方程为y＝kx－.

由得x2－2pkx＋p2＝0.

Δ＝4k2p2－4p2＝0，可得k＝±1.不妨设Q，P，

所以△APQ的面积S＝×2p×p＝4，解得p＝2.故选D．

[答案]　D

5．（2019·山西孝义模拟）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点．若|AF|＝5，则△AOB的面积为（　　）

A．5B．C．D．

[解析]　抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0）．设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y＝k（x－1），由消去x，得y2＝－y－4＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可得y1y2＝－4.根据抛物线的定义，得|AF|＝x1＋＝x1＋1＝5，解得x1＝4，代入抛物线方程得y＝4×4＝16，解得y1＝±4.

当y1＝4时，由y1y2＝－4得y2＝－1；当y1＝－4时，由y1y2＝－4得y2＝1，所以|y1－y2|＝5，即A，B两点纵坐标差的绝对值等于5.

因此△AOB的面积为S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|y1|＋|OF||y2|＝|OF||y1－y2|＝×1×5＝.故选B．

[答案]　B

二、填空题

6．（2019·武汉模拟）抛物线y2＝4x的焦点为F，倾斜角等于45°的直线过F交该抛物线于A，B两点，则|AB|＝__________.

[解析]　由抛物线焦点弦的性质，得|AB|＝＝＝8.

[答案]　8

7．（2019·西安八校联考）已知抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，直线y＝（x－1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点．若＝m，则m的值为________．

[解析]　由题意知F（1,0），由

解得

由A在x轴上方，知A（3,2），B，则A＝（－2，－2），F＝，因为A＝m，所以m＝3.

[答案]　3

8．（2018·广东广州联考）过抛物线C：

y2＝2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点．若|AF|＝6，|BF|＝3，则p的值为________．

[解析]　由题意，得＋＝＝，所以p＝4.

[答案]　4

三、解答题

9．（2019·河北沧州百校联盟）已知抛物线C：

y2＝2px（p>0）的焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为2，|PF|＝3.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．

[解]　

（1）由抛物线定义可知，|PF|＝2＋＝3，∴p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.

（2）由y2＝4x，得F（1,0），∴过点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝（x－1）．联立y2＝4x，消去x得y2－4y－4＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝4，y1y2＝－4.

∴S△OAB＝S△OAF＋S△OFB＝|y1－y2|＝×＝4.

10．（2018·广西柳州模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两不同点．

（1）若＝3，求直线AB的斜率；

（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为点C，求四边形OACB面积的最小值．

[解]　

（1）依题意可得，抛物线的焦点为F（1,0），设直线AB：

x＝my＋1，将直线AB与抛物线联立⇒y2－4my－4＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

∵＝3⇒y1＝－3y2⇒m2＝，∴斜率为＝或－.

（2）S四边形OACB＝2S△AOB＝2×|OF||y1－y2|＝|y1－y2|＝＝≥4.

当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4.

能力提升练

11．（2017·全国卷Ⅰ）已知F为抛物线S：

y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与S交于A，B两点，直线l2与S交于C，D两点，则|AB|＋|CD|的最小值为（　　）

A．16B．14C．12D．10

[解析]　抛物线的焦点F坐标为（1,0），由题意知直线AB、CD的斜率均存在，设直线AB方程为y＝k（x－1）（k≠0），则CD方程为y＝－（x－1），分别代入y2＝4x得，k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0

及x2－x＋＝0，

∵|AB|＝xA＋xB＋p＝2＋＋2，|CD|＝xC＋xD＋p＝2＋4k2＋2，

∴|AB|＋|CD|＝8＋＋4k2≥16，当且仅当k2＝1时取等号，所以，|AB|＋|CD|的最小值为16.故选A．

[答案]　A

12．（2019·吉林长春模拟）过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于（　　）

A．B．C．D．

[解析]　设A（x1，y1），B（x2，y2），

|AB|＝x1＋x2＋p＝＝，所以x1＋x2＝.

又x1x2＝，可得x2＝p，x1＝.

则＝＝.故选A．

[答案]　A

13．（2018·江苏南京月考）已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为________．

[解析]　由抛物线定义及题意，得xA＋1＝5，解得xA＝4.又因为点A位于第一象限，所以yA＝4，所以kAF＝＝.

[答案]　

14．（2018·广州市高三第二次综合测试）已知O为坐标原点，点R（0,2），F是抛物线C：

x2＝2py（p>0）的焦点，|RF|＝3|OF|.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点R的直线l与抛物线C相交于A，B两点，与直线y＝－2交于点M，抛物线C在点A，B处的切线分别记为l1，l2，l1与l2交于点N，若△MON是等腰三角形，求直线l的方程．

[解]　

（1）因为F是抛物线C：

x2＝2py（p>0）的焦点，

所以点F的坐标为.

因为点R（0,2），|RF|＝3|OF|，所以|2－|＝3×，

解得p＝1或p＝－2（舍去），

所以抛物线C的方程为x2＝2y.

（2）解法一：

依题意，设直线l的方程为y＝kx＋2（k≠0），

由解得

所以点M.

由消去y得x2－2kx－4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝2k，x1x2＝－4.

由y＝，得y′＝x，

则抛物线C在点A处的切线l1的方程为y－y1＝x1（x－x1），

由于点A在抛物线C上，则y1＝，

所以l1的方程为y＝x1x－.①

同理可得l2的方程为y＝x2x－.②

由①②及根与系数的关系得即点N的坐标为（k，－2）．

所以kOM·kON＝×（－）＝－1，则OM⊥ON.

又△MON是等腰三角形，

所以|OM|＝|ON|，即＋4＝k2＋4，

解得k＝±2.

所以直线l的方程为y＝2x＋2或y＝－2x＋2.

解法二：

由于点A，B在抛物线C上，设A，

B，

由题易知|x1|≠|x2|，

则直线l的方程为y＝x＋2＝x＋2.

令y＝－2，得x＝－，

所以点M.

由消去y得x2－（x1＋x2）x－4＝0，

则x1x2＝－4.

由y＝，得y′＝x.

则抛物线C在点A处的切线l1的方程为y－＝x1（x－x1），

所以l1的方程为y＝x1x－.①

同理可得l2的方程为y＝x2x－.②

由①②及根与系数的关系得x＝，y＝－2，

所以点N.

所以·＝－×＋（－2）×（－2）＝0，则OM⊥ON.

又△MON是等腰三角形，

所以|OM|＝|ON|，即2＋4＝2＋4，

解得x1＋x2＝±4，

所以直线l的方程为y＝2x＋2或y＝－2x＋2.

拓展延伸练

15．（2019·河北衡水联考）抛物线有如下光学性质：

由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M（3,1）射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（　　）

A．B．－C．±D．－

[解析]　把y＝1，代入y2＝4x，得x＝，∴A.

由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F（1,0），所以直线AB的斜率k＝＝－.故选B．

[答案]　B

16．（2018·湖北武汉三模）设抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，准线为l.过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为点C，D．若|AF|＝2|BF|，且△CDF的面积为，则p的值为________．

[解析]　设A（x1，y1），B（x2，y2）．因为直线AB过焦点F，所以y1y2＝－p2.不妨设点A在第一象限，因为|AF|＝2|BF|，所以|y1|＝2|y2|，所以y1＝－2y2，所以－2y＝－p2.解得y2＝－p，所以y1＝－2y2＝p.所以S△CDF＝|y1－y2|×p＝×p2＝，解得p＝.

[答案]