与名师对话文抛物线二.docx

1、与名师对话文抛物线二第九节抛物线(二)高考概览：1.能够把直线与抛物线位置关系问题转化为研究方程的解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题；2.进一步体会数形结合分类讨论的思想 知识梳理1直线与抛物线的位置关系联立得k2x22(mkp)xm20.(1)相切：k20，0；(2)相交：k20，0；(3)相离：k20，0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为，则有下列性质：(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AF|x1；|BF|x2；|AB|x1x2p.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦(4)SAOB.(5)为定值.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切(7)以AF(或BF)为直径

2、的圆与y轴相切(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上辨识巧记一个关注点直线与抛物线相交有两种情况，一是直线与抛物线的对称轴平行(或重合)，此时有一个交点；二是直线与抛物线有两个交点 双基自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y22px交于A、B两点，O为原点，则OAOB()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点()答案(1)(2)(3)(4)2过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的

3、直线有()A1条 B2条 C3条 D4条解析由图形可知y轴是y24x的一条切线，与y24x仅有一个公共点，设ykx1，与y24x联立，得k2x2(2k4)x10，当k0时，y1与y24x只有一个交点当k0时，由(2k4)24k20得k1，k1时直线和抛物线只有一个交点，故选C答案C3(2019甘肃张掖诊断)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|()A9 B8 C7 D6解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1，根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.故选B答案B4(2019湖南郴州模拟)如图，

4、过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29x By26x Cy23x Dy2x解析设A，B在准线l上的射影分别为A1，B1，如图，由于|BC|2|BF|2|BB1|，则直线AB 的斜率为，故|AC|2|AA1|2|AF|6，从而|BF|1，|AB|4，故，即p，从而抛物线的方程为y23x，故选C答案C5(2019长沙调研)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析由抛物线焦点弦的性质可得|AB|12，结合图象可得O到直线AB的

5、距离dsin30，所以OAB的面积S|AB|d.答案考点一直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l与抛物线y24x只有一个公共点，则直线l的方程为_(2)已知抛物线C：x22py，直线l：y，M是l上任意一点，过M作C的两条切线l1，l2，其斜率为k1，k2，则k1k2_.思路引导(1)(2)解析(1)当直线l的斜率不存在时，x0，满足题意；当直线l的斜率存在时，设方程为ykx3，代入y24x，得k2x2(6k4)x90.当k0时，x，满足题意，直线l的方程为y3；当k0时，(6k4)236k20，得k，直线l的方程为yx3.(2)设切线斜率为k，M，则切线方程为yk(xx0

6、)代入x22py中得x22pkx2pkx0p20.0，k2p22px0kp20.k1、k2是以上方程的两个根，k1k21.答案(1)yx3或y3或x0(2)1(1)直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切，这主要体现在抛物线和双曲线的情况(2)在讨论时应注意全面，不要忽略二次项的系数为零的情况对点训练在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解(1)由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，O

7、N的方程为yx，代入y22px，整理得px22t2x0，解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点考点二焦点弦问题【例2】已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切思路引导证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为.由题意可设直线AB方

8、程为xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因为x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值)(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解对点训练设

9、抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点O.证明设直线AB的方程为xmy，代入p22px，得y22pmyp20.由根与系数的关系，得yAyBp2，即yB.BCx轴，且C在准线x上，C.则kOCkOA直线AC经过原点O.考点三抛物线的综合问题【例3】(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.思路引导(1)(2)解(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的坐标为(2,2)或(2，2

10、)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根

11、与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解决对点训练已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B，C两点当直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y(x4)，即x2y4，联立消去x，得2y2(8p)y80，y1y2，

12、y1y24，由4，y24y1，由韦达定理及p0可得y11，y24，p2，抛物线G的方程为x24y.(2)由题意知直线l的斜率存在，且不为零，设l：yk(x4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0，由0得k0，x02k，y0k(x04)2k24k，BC中垂线方程为y2k24k(x2k)，b2(k1)2，b2.故b的取值范围为(2，)创新交汇系列利用导数求解抛物线的切线问题素养解读：焦点在y轴上的抛物线可以看作二次函数的图象，可以借助二次函数的性质解决抛物线问题，比如可以用导数求曲线上一点的切线【典例】(2019湖北襄阳联考)动点P到定点F(0,1)的距离比它到直线y2的距离小1

13、.设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A，B两个不同的点，过点A，B分别作曲线C的切线，且两切线相交于点M.(1)求曲线C的方程；(2)求证：0.切入点定义法求C的方程关键点看到曲线的切线，想到导数的几何意义规范解答(1)由已知得动点P在直线y2的上方，条件可转化为动点P到定点F(0,1)的距离等于它到直线y1的距离，动点P的轨迹是以F(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，故其方程为x24y.(2)证明：设直线AB的方程为ykx1.则得x24kx40.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xAxB4k，xAxB4.由x24y得yx2，yx.直线AM的方程为yxxA(xxA)，直

14、线BM的方程为yxxB(xxB)，得(xx)(xAxB)x(xx)，x2k.将x代入，得yxxAxAxBx，yxAxB1，M(2k，1)(2k,2)，(xBxA，k(xBxA)，2k(xBxA)2k(xBxA)0.利用导数的几何意义解决抛物线中的切线问题优于判别式法，避免较复杂的计算，体现导数的“工具”作用感悟体验1(2018东城区期末)已知抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A B C D解析由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为，双曲线右焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为

15、y(x2)设M(x0，y0)，则有yx0x0p.因为y0x，所以y0.又M点在抛物线的切线上，即有p，故选D答案D2(2018天津静海模拟)已知点A为抛物线C：x24y上的动点(不含原点)，过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则ABF为()A锐角 B直角 C钝角 D不确定解析设A(x00)又yx2，则yx，则抛物线C在点A处的切线方程为yx0(xx0)令y0，解得B.又F(0,1)，所以0，则ABF为直角，故选B答案B课后跟踪训练(五十八)基础巩固练一、选择题1(2019广东汕头质检)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB()A B C D

16、解析抛物线C：y24x的焦点为F，点F的坐标为(1,0)又直线y2x4与C交于A，B两点，A，B两点坐标分别为(1，2)，(4,4)，则(0，2)，(3,4)，cosAFB.故选D答案D2(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6 C7 D8解析由题知直线MN的方程为y(x2)联立抛物线与直线方程解得设M(1,2)，N(4,4)，由题可得F(1,0)，(0,2)，(3,4)，8.故选D答案D3(2019广东广州联考)已知A，B为抛物线y22x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为()A B C2 D2解析设A

17、(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24.由得2，即4kAB2，kAB.故选A答案A4(2019山东青岛模拟)已知点A是抛物线C：x22py(p0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若APQ的面积为4，则p的值为()A B1 C D2解析设过点A与抛物线相切的直线方程为ykx.由得x22pkxp20.4k2p24p20，可得k1.不妨设Q，P，所以APQ的面积S2pp4，解得p2.故选D答案D5(2019山西孝义模拟)过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点若|AF|5，则AOB的面积为()A5 B C D解析抛物线y24x的焦

18、点为F(1,0)设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为yk(x1)，由消去x，得y2y40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得y1y24.根据抛物线的定义，得|AF|x1x115，解得x14，代入抛物线方程得y4416，解得y14.当y14时，由y1y24得y21；当y14时，由y1y24得y21，所以|y1y2|5，即A，B两点纵坐标差的绝对值等于5.因此AOB的面积为SAOBSAOFSBOF|OF|y1|OF|y2|OF|y1y2|15.故选B答案B二、填空题6(2019武汉模拟)抛物线y24x的焦点为F，倾斜角等于45的直线过F交该抛物线于A，B两点，则|AB

19、|_.解析由抛物线焦点弦的性质，得|AB|8.答案87(2019西安八校联考)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y(x1)与C交于A，B(A在x轴上方)两点若m，则m的值为_解析由题意知F(1,0)，由解得由A在x轴上方，知A(3,2)，B，则A(2，2)，F，因为Am，所以m3.答案38(2018广东广州联考)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点若|AF|6，|BF|3，则p的值为_解析由题意，得，所以p4.答案4三、解答题9(2019河北沧州百校联盟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为2，|PF|3.(1)求抛物线C的方程

20、；(2)过点F且倾斜角为30的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积解(1)由抛物线定义可知，|PF|23，p2，抛物线C的方程为y24x.(2)由y24x，得F(1,0)，过点F且倾斜角为30的直线方程为y(x1)联立y24x，消去x得y24y40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，y1y24.SOABSOAFSOFB|y1y2|4.10(2018广西柳州模拟)已知抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两不同点(1)若3，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为点C，求四边形OACB面积的最小值解(1)依题意

21、可得，抛物线的焦点为F(1,0)，设直线AB：xmy1，将直线AB与抛物线联立y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.3y13y2m2，斜率为或.(2)S四边形OACB2SAOB2|OF|y1y2|y1y2|4.当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4.能力提升练11(2017全国卷)已知F为抛物线S：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与S交于A，B两点，直线l2与S交于C，D两点，则|AB|CD|的最小值为()A16 B14 C12 D10解析抛物线的焦点F坐标为(1,0)，由题意知直线AB、CD的斜率均存在，设直线A

22、B方程为yk(x1)(k0)，则CD方程为y(x1)，分别代入y24x得，k2x2(2k24)xk20及x2x0，|AB|xAxBp22，|CD|xCxDp24k22，|AB|CD|84k216，当且仅当k21时取等号，所以，|AB|CD|的最小值为16.故选A答案A12(2019吉林长春模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为120的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于()A B C D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|x1x2p，所以x1x2.又x1x2，可得x2p，x1.则.故选A答案A13(2018江苏南京月考)已知点F为抛物线y24x的

23、焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为_解析由抛物线定义及题意，得xA15，解得xA4.又因为点A位于第一象限，所以yA4，所以kAF.答案14(2018广州市高三第二次综合测试)已知O为坐标原点，点R(0,2)，F是抛物线C：x22py(p0)的焦点，|RF|3|OF|.(1)求抛物线C的方程；(2)过点R的直线l与抛物线C相交于A，B两点，与直线y2交于点M，抛物线C在点A，B处的切线分别记为l1，l2，l1与l2交于点N，若MON是等腰三角形，求直线l的方程解(1)因为F是抛物线C：x22py(p0)的焦点，所以点F的坐标为.因为点R(0,2)，|RF|

24、3|OF|，所以|2|3，解得p1或p2(舍去)，所以抛物线C的方程为x22y.(2)解法一：依题意，设直线l的方程为ykx2(k0)，由解得所以点M.由消去y得x22kx40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22k，x1x24.由y，得yx，则抛物线C在点A处的切线l1的方程为yy1x1(xx1)，由于点A在抛物线C上，则y1，所以l1的方程为yx1x.同理可得l2的方程为yx2x.由及根与系数的关系得即点N的坐标为(k，2)所以kOMkON()1，则OMON.又MON是等腰三角形，所以|OM|ON|，即4k24，解得k2.所以直线l的方程为y2x2或y2x2.解法二：由于点A

25、，B在抛物线C上，设A，B，由题易知|x1|x2|，则直线l的方程为yx2x2.令y2，得x，所以点M.由消去y得x2(x1x2)x40，则x1x24.由y，得yx.则抛物线C在点A处的切线l1的方程为yx1(xx1)，所以l1的方程为yx1x.同理可得l2的方程为yx2x.由及根与系数的关系得x，y2，所以点N.所以(2)(2)0，则OMON.又MON是等腰三角形，所以|OM|ON|，即2424，解得x1x24，所以直线l的方程为y2x2或y2x2.拓展延伸练15(2019河北衡水联考)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光

26、线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点已知抛物线y24x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为()A B C D解析把y1，代入y24x，得x，A.由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k.故选B答案B16(2018湖北武汉三模)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l.过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为点C，D若|AF|2|BF|，且CDF的面积为，则p的值为_解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为直线AB过焦点F，所以y1y2p2.不妨设点A在第一象限，因为|AF|2|BF|，所以|y1|2|y2|，所以y12y2，所以2yp2.解得y2p，所以y12y2p.所以SCDF|y1y2|pp2，解得p.答案