模糊控制基本理论.ppt

模糊控制基本理论.ppt

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神经网络与模糊控制,智能控制理论,主讲人柏艳红,第1讲模糊理论基础,第一部分模糊控制,模糊数学模糊的英文为Fuzzy，它具有“不分明”，“边界不清”的意思。

而数学是非常严格、非常精确的东西。

模糊数学是用来描述、研究、处理事物所具有的模糊特征（即模糊概念）。

“模糊”是指它的研究对象，“数学”是指它的研究方法。

引言,模糊概念在自然语言中，常用的描述事物特征的一些概念是模糊的。

如健康状况一栏中，填“好、比较好、良好等”，至于什么样的身体属于好，什么样的属于良，很难确切地规定。

再如，将人按年龄分为“年轻人、中年人、老年人”（从宏观上把握事物的主要特征和便于处理，人为将其模糊化）。

再如，在水箱液位、温度等控制中，有经验的操作工会根据被控制量的大小（高，过高、低）操作阀门等（开大、开小）。

引言,普通数学对模糊概念的描述以年龄为例，传统的方法是规定一些域值来定义的。

用y代表年龄，y=60为“老年”。

这种方法简单，但过于绝对化。

实际上人是随着年龄的增长逐渐地由青年步入中年，再走向老年的，这些概念之间本来就没有明确的界限。

传统数学的基础是集合论，这些集合的边界必须是明确的，一个对象要么属于，要么不属于，二者必居其一。

引言,传统数学不能描述和处理这种没有明确边界的模糊概念，模糊数学便应用而生。

模糊数学诞生于1965年，它的创始人是美国的自动控制专家L.A.Zadeh教授，他创立了模糊集合论，为模糊数学奠定了基础。

模糊技术的应用领域地铁机车、机器人、过程控制、故障诊断、交通管理、医疗诊断、声音识别、图像处理、市场预测等领域。

引言,第一节模糊集合及其运算,1.1模糊集合的定义及相关概念,1模糊集合（FuzzySets）,给定论域U，U到0,1闭区间的任一映射AA：

U0,1都确定U上的一个模糊子集A，简称模糊集。

A称为模糊集合A的隶属函数（MembershipFunction）。

若论域中的元素用x表示，则A（x）称为x属于A的隶属度（degreeofmembership）。

隶属函数反映了论域中的元素属于该集合的程度。

A（x）接近1，表示x属于A的程度高；A（x）接近0，表示x属于A的程度低。

theuniverseofdiscourse,1.1模糊集合的定义及相关概念,1.1模糊集合的定义及相关概念,例如：

用论域1，100上的模糊集A、B、C表示“年轻、中年、老年”，A、B、C的隶属函数A（x）、B（x）、C（x）如图所示。

30岁的年轻程度为0.75。

40岁的人已经不太年轻（0.25），比较接近中年，但属于中年的程度还不太大（0.5），50岁正值中年

（1），即将走向“老年”。

显然，用模糊集合能够比较准确地、真实地描述人们头脑中的原有概念，而用普通集合描述模糊性反倒是不准确、不真实的。

1.1模糊集合的定义及相关概念,2台集合（Support）,模糊集合A的台集AS是一个普通集合，它由论域U中满足A（u）0的所有u组成。

即,如果模糊集合A的台集仅有一个元素u0，且A（u0）=1，则A就是单点模糊集。

3单点（singleton）模糊集,模糊集合的Zadeh表示法为,4凸模糊集,1.1模糊集合的定义及相关概念,若A为以实数R为论域的模糊子集，其隶属函数为A（x），如果对于在任意实数axb，都有,则称A为凸模糊集。

凸模糊集实质上就是隶属函数具有单峰值特性。

今后所用到的模糊集合一般均指凸模糊集。

1.2模糊集合的表示法,一、离散论域,设论域为有限集,隶属度为零的项可以不写,隶属度为零的项必须写,1.2模糊集合的表示法,例在由整数1，2，10组成的论域中，即U=1，2，10，讨论”几个”这一模糊概念，用模糊集A可表示。

根据经验，可以定量地给出它们的隶属函数，模糊集A可表示为,由上式可以看出，用“几个”表示5个、6个的可能性最大，而通常不采用“几个”表示1个、2个或9个、10个。

1.2模糊集合的表示法,二、连续论域,Zadeh表示法为,“年轻”和“年老”模糊集合可以写为,1.2模糊集合的表示法,1.3模糊集合的基本运算,设论域U上的两个模糊子集A和B，它们之间的交、并、补运算定义如下。

1.F交集,A与B的交集，记作AB，有,1.3模糊集合的基本运算,3.F补集,A的补集，记作AC，有,第二节常用隶属函数,1三角型隶属函数TriangularMF,a为三角形左边底角的顶点坐标，b为顶角顶点坐标，c为右边地角顶点的坐标。

Matlab函数Trimf（x，abc）,第二节常用隶属函数,2梯型隶属函数TrapezoidalMF,a为梯形左边底角的顶点坐标，b为左边顶角顶点坐标，c为右边顶角顶点的坐标，c为右边底角顶点的坐标。

Matlab函数Trapmf（x，abcd）,第二节常用隶属函数,3高斯型隶属函数GaussMF,c为函数的中心点，a为函数曲线的宽度。

Matlab函数Gaussmf（x，ac）,第二节常用隶属函数,4Sigmoid型隶属函数,当a为正时，向右斜；a为负时，向左斜；a绝对值越大，斜率越大；c为拐点对应的坐标。

Matlab函数sigmf（x，ac）,第二节常用隶属函数,4Sigmoid型隶属函数,a绝对值越大，斜率越大；c为拐点对应的坐标。

第二节常用隶属函数,5一般的钟型隶属函数,Matlab函数Gbellmf（）,第二节常用隶属函数,6双边高斯型gauss2mf（）7Z型zmf（）8型pimf（）9两个sigmoid型函数的积psigmf（）10两个sigmoid型函数的和dsigmf（）,第三节模糊关系及其合成,3.1模糊关系的定义,1.集合的直积,设有两个集合X和Y，X和Y的直积XY定义为,它是由序偶（x，y）的全体所构成的二维论域上的集合。

一般来说XYYX。

3.1模糊关系及模糊矩阵的定义,2.模糊关系及模糊矩阵,设X、Y是两个非空集合，以直积XY为论域定义的模糊集合R称为X和Y的模糊关系，记为RXY。

（1）模糊关系RXY由其隶属函数R（x,y）完全刻画，R（x,y）表示了X中的元素x和Y中的元素y具有关系RXY的程度。

（2）当X和Y为有限离散集合时，设X=x1，x2，xn，Y=y1，y2，ym，则X和Y的模糊关系RXY可用nm阶矩阵表示，即,3.1模糊关系及模糊矩阵的定义,2.模糊关系及模糊矩阵,

（2）当X和Y为有限离散集合时，X和Y的模糊关系RXY可用nm阶矩阵表示，即,这样的矩阵称为模糊矩阵,模糊矩阵是论域为直积XY模糊集。

3.1模糊关系及模糊矩阵的定义,模糊关系和模糊矩阵举例,例：

X=10，20，40，80，Y=10，20，30，40，“x远大于y”这一模糊关系的模糊关系矩阵为,当x=40，y=20时，“x远大于y”的程度是0.8。

模糊关系为二维论域上的模糊子集，该模糊子集表示两个量之间或命题之间的某种模糊关系。

3.模糊集合的直积,3.1模糊关系及模糊矩阵的定义,若有两个模糊集A和B，其论域分别为X和Y，定义在积空间XY上的模糊集合AB称为模糊集合A和B的直积，其隶属函数为（数学定义）,或者,模糊集合A和B的直积是积空间XY上的一个模糊关系，可以表示命题之间的某种模糊关系，如“命题与”，“蕴涵关系”等，在模糊推理及模糊控制中起着十分重要的作用。

（应用）,3.2模糊关系和模糊矩阵的合成运算,由于模糊关系和模糊矩阵是定义在直积空间的模糊集合，因此它遵从一般模糊集合（并、交、补等）的运算规则。

1模糊矩阵的合成运算,设Q（nm）和R（ml）是两个模糊矩阵，它们的合成QR指的是一个n行l列的模糊矩阵S，S的第i行第k列的元素sik等于Q的第i行元素与R的第k列对应元素两两先取较小者，然后在所得的结果中取较大者，即,设合成算子“”代表两个模糊矩阵的相乘，它与线性代数中的矩阵乘积相似，只是把普通矩阵乘运算中对应的元素之间的“乘”用取小运算“”来代替，而元素间的“加”用取大运算“”来代替。

3.2模糊关系的合成运算,例：

已知模糊关系矩阵,1模糊矩阵的合成运算,模糊矩阵的合成运算举例,设A为论域X上的模糊集合，B为论域Y上的模糊集合。

根据上述模糊集合的直积和模糊矩阵的合成的定义，当X和Y为离散论域时，A与B的直积（取小运算）为,3.2模糊关系和模糊矩阵的合成运算,设R1是X和Y的模糊关系，R2是Y和Z的模糊关系，R1和R2的合成R1R2指的是XZ上的一个模糊关系，其隶属函数为,“”表示取大运算，“”表示取小运算，因此称为最大-最小合成（max-mincomposition）。

2模糊关系的合成运算,当论域X、Y、Z为有限集时，可用模糊矩阵的合成来表示模糊关系的合成。

第四节模糊逻辑与模糊推理,4.1模糊语言变量,模糊语言变量（linguisticvariables）是自然语言中的词或句，如气温、误差等，它的取值不是通常的常数，而是用模糊语言表示的模糊集。

以下将模糊语言变量简称语言变量。

一个语言变量可由以下的五元体来表征,x为语言变量的名称；T（x）语言变量值的集合；U为x的论域；G为语法规则（用于产生各语言变量值x的名称）；M为语义规则（用于产生模糊集合的隶属函数）。

例如：

以控制系统的“误差”为语言变量x论域取U=-66T（x）=T（误差）=负很大、负大、负中、负小、零、正小、正中、正大、正很大,如上所述，每个模糊语言相当于一个模糊集合。

各模糊语言（模糊集合）的隶属函数如图。

4.2模糊命题,模糊命题（proposition）：

含有模糊概念的陈述句。

模糊命题可以用英文字母表示，如P：

误差较大。

模糊命题的真值：

模糊命题的真假程度，它是0,1区间上的一个实数。

单模糊命题：

简单的模糊陈述句，其一般形式为P：

x为Ax为模糊语言变量，A为某一模糊概念对应的模糊集合。

单模糊命题P的真值V（P），就由该变量对模糊集的隶属度来表示，即V（P）=A（x）,单模糊命题P的真值V（P）=A（x）当A（x）=0，表示命题P完全假；A（x）=1，表示命题P完全真；A（x）越接近0，命题P假的程度越大，真的程度越小；A（x）越接近1，命题P假的程度越小，真的程度越大。

例讨论模糊命题Q：

天气热。

语言变量是气温t，t-40C，50C；定义“热”的模糊集合为H，其隶属函数为H（t）。

若今日气温为t=20C，H（20）=0.4，那么该命题的真值为0.4。

也就是说，“天气热”这个命题的真实程度是0.4。

4.2模糊命题,条件模糊命题：

“IFTHEN”形式的条件语句，表达两个普通命题之间的因果关系，称为条件模糊命题。

模糊控制中的模糊控制规则通常来源于专家的知识，通常采用“IFTHEN”形式来描述。

因此，在模糊控制中，模糊控制规则也就是模糊条件句。

IF部分为规则的前提，THEN部分为规则的结论。

复合模糊命题：

把简单模糊命题通过联结词联合起来，就构成了复合模糊命题。

联接词可以是“与”、“或”、“非”、“若则”等。

4.2模糊命题,简单模糊命题之间的“与”、“或”、“非”运算,设命题P：

x为A；命题Q：

y为B。

4.2模糊命题,

（1）“与”运算：

PandQ，其真值定义为,或者,“andMethod”代数积Prod或取小Min,P、Q的真值,可见,4.2模糊命题,

（2）“或”运算：

PorQ，其真值定义为,或者,“orMethod”代数和Probor或取大Max,（3）“非”运算：

notP，其真值定义为,可见,4.3模糊蕴含（implication）关系,条件模糊命题：

“如果x是A，则y是B”令P：

x为A，Q：

y为B，则上述命题表示为PQ它表示普通命题P和Q之间有因果关系。

由于模糊集A和B的隶属函数表示了命题P和Q的真值，因此，PQ等价于模糊语言A和B之间的模糊蕴含关系AB。

AB是XY上的模糊集。

4.3模糊蕴含（implication）关系,模糊蕴涵关系的运算有许多定义，常用以下两种。

Mamdani（玛达尼）的最小运