全等三角形证明经典50题含答案60326.docx
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全等三角形证明经典50题含答案60326
全等三角形证明经典50题（含答案）60326
1.已知：
AB=4AC=2D是BC中点，AD是整数，求AD
解：
延长AD至UE,使AD=DED是BC中点二BD=DC
在厶ACDfyBDE中
AD=DEBDEWADCBD=DCAACD^BDE
•••AC=BE=2在厶ABE中AB-BEVAE即4-2<2AD<4+21VAD<3•AD=2
2.已知：
D是AB中点，/ACB=90，求证：
延长CD与P,使D为CP中点。
连接AP,BP
*DP二DC,DA二DBACBP为平行四边形又/ACB=90・平行四边形ACBP为矩形
•AB=CP=1/2AB
3.已知：
BC=DEZB二/E,/C=ZD,F是CD中点，求证：
/仁/2
证明：
连接BF禾口EFvBC=ED,CF=DF/BCFWEDF
•三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）
•BF=EF,ZCBFWDEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF
•/EBF玄BEF*/ABCWAED•/ABEWAEB
•AB=AE在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,
/ABF玄ABEWEBF玄AEBWBEF玄AEF
•三角形ABF和三角形AEF全等。
•/BAF玄EAF
（/1二/2）
4.已知：
/仁/2,CD=DEEF//AB，求证：
EF=AC
过C作CG/EF交AD的延长线于点G
CG/EF,可得，/EFD=CGDDEDC/FDE=ZGDC（对顶角）
•△EFD^ACGDEF=CG/CGI^ZEFD又，EF//AB
•，/EFD=Z1/仁/2•/CG&Z2
•△AGC为等腰三角形，AC=CG又EF=CG.EF=AC5.已知：
AD平分/BACAC=AB+B,求证：
/B=2ZC
全等三角形证明经典50题（含答案）60326
证明：
延长AB取点E,使AE^AC连接DE
vAD平分/BAC
•••/EAD=ZCAD
vAE=ACAD=AD
•△AED^AACD（SAS
••ZE=ZC
vAC=AB+BD
•AE=AB+BD
vAE=AB+BE
•BD=BE
vZABC=ZE+ZBDE
•ZABC=2ZE
•ZABC=2ZC
6.已知：
AC平分ZBADCELAB,ZB+ZD=180，求证：
AE二AD+BE
证明：
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
vCELAB
•ZCEB=ZCEF=90°
vEB=EF,CE=CE
•△CEB^ACEF
•ZB=ZCFE
vZB+ZD-180°,ZCF曰ZCFA=180°
•ZD=ZCFA
vAC平分ZBAD
•ZDAC=ZFAC
•ZBDE=ZE
vAC=AC
12.如图，四边形ABCD中,/BCD且点E在AD上。
AB||ED得：
ZEAB+ZAEDZBDEZABD=180度,
全等三角形证明经典50题（含答案）60326
•••△ADC2AAFC（SAS
•••AD=AF
•AE^AF+FE=AMBE
AB//DCBECE分别平分/ABC求证：
BC=AB+DC
vBE平分/ABC
•/ABE2FBE
又vBE二BE
•/ABE^/FBE（SAS
•/A+ZD=180o
vZBFE+ZCFE=180o
•ZD=ZCFE
又vZDCEZFCE
CE平分ZBCD
CE=CE
•/DCE2/FCE（AAS
•CD=CF
•BC=BF+CF=AB+CD
13.已知：
AB//ED,ZEABZBDEAF二CDEF二BC求证:
ZF=ZC
全等三角形证明经典50题（含答案）60326
•••/AEDWABD
•••四边形ABDE是平行四边形。
•得:
AE=BD
vAF=CD,EF=B,C
•三角形AEF全等于三角形DBC
•/F=ZCo
14.已知：
AB二CD/A=ZD,求证：
/B=ZC
证明：
设线段AB,CD所在的直线交于E,（当ADvBC寸，E点是射线BA,CD的交点，当AD>B（时，E点是射线AB,DC的交点）。
则：
△AED是等腰三角形。
•AE=DE
而AB=CD
•BE=CE等量加等量，或等量减等量）
•△BEC是等腰三角形
•/B=/C.
15.P是/BAC平分线AD上一点，AC>AB求证：
PC-PB在AC上取点E,
使AE=AB
vAE=AB
AP=AP
/EAP=ZBAE
•△EAP^ABAP
•PE=PB
PCXEOPE
•PCX（AC-AE+PB
•PC-PB全等三角形证明经典50题（含答案）60326
16.已知/ABC=2C,/仁/2,BELAE求证：
AC-AB=2BE
v作AG/BD交DE延长线于G
•AGE全等BDE
•AG=BD=5
•AG臼CDF
AF=AG=5
•DC二CF=2
ADLBC
证明：
在AC上取一点D,使得角DBC角C
vZABC=2C
:
丄ABDZABCZDBC=ZC-ZC=2/C;vZADBZC+ZDBC=ZC;
•••AB=AD
•••AC-AB=AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中,AE是角BAD勺角平分线,
•AE垂直BD
vBE!
AE
•••点E一定在直线BD上,在等腰三角形ABD中,AB=ADAE垂直BD
•••点E也是BD的中点
•BD=2BE
vBD二CD二ACB
•AGAB=2BE
18.如图，在△ABC中,BD=DCZ仁Z2,求证:
解：
延长AD至BC于点E,
vBD=DC•△BDC是等腰三角形
•ZDBCZDCB
又vZ1=Z2•ZDBCZ仁ZDCBZ2
即ZABCZACB
•△ABC是等腰三角形
•AB=AC
在厶ABD^H^ACD中
{AB=AC
Z仁Z2
BD=DC
•△ABDffiAACD是全等三角形（边角边）
•ZBADZCAD
•AE是厶ABC勺中垂线
•AE1BC
•ADLBC
17.已知，E是AB中点，AF=BDBD=5AC=7求DC
全等三角形证明经典50题（含答案）60326
19.如图，OM平分/POQMALOP,MB_OQA、B为垂足,AB交OM于点N.
求证：
/OABhOBA
o
TOM平分/POQ
•••/POW/QOM
tMALOPMBLOQ
•/MA8/MBW90
tOM=OM
•△AOIWABOM（AAS
•OA=OB
tON=ON
•△AOI^ABON（SAS
•/OAB/OBA/ONA/ONB
•/ONA=ZONB=90
•OMLAB
20.（5分）如图，已知AD//BC/PAB的平分线与/CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证：
AD+BC=AB
做BE的延长线，与AP相交于F点,
tPA//BC
•/PAB/CBA=180，又t,AE,BE均为/PAB和/CBA的角平分线
•/EAB/EBA=90•/AEB=90,EAB为直角三角形
在三角形ABF中，AE!
BF,且AE为/FAB的角平分线
•三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中,
/EBC/DFE且BE=EF/DEF/CEB
•三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，•DF=BC
•AB=AF=AD+DF=AD+BC
t/ONA/ON圧180
（1）连接BE,DF.
21.如图，△ABC中,AD是/CAB勺平分线，且AB二AC+C,求证：
/C=2/B
vDELAC于E,BF丄AC于F,
•/DEC/BFA=90,DE//BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中，
A
vAF=CEAB=CD
•Rt△DEC2Rt△BFA（HL）,
•DE二BF
•四边形BEDF是平行四边形.
C一
DB延长AC到E
使AE二AC连接ED
•MB=M,ME=M；
（2）连接BE,DF.
vDELAC于E,BFLAC于F,
•/AB=AC+CD
•/DEC/BFA=90,DE//BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中，
•••CD=CE
可得/B=/E
vAF=CEAB=CD
•Rt△DEC2Rt△BFA（HL）,
△CDE为等腰
/ACB=/B
•DE二BF
•四边形BEDF是平行四边形.
•MB=M,ME=M.F
22.（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DELAC于E,BFLAC于F,若AB=CDAF=CEBD交AC于点M
23.已知：
如图，DC/AB且DC=AEE为AB的中点，
（1）求证：
MB=MDME二MF
（1）求证：
△AED^AEBC
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？
若成立请给予证明；若不成立请说明理由.
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBO,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.（直接写出结果，不要求证明）：
证明：
vDOIAB
•CD吕/AED
VD^DE,DOAE
/.AAEI^AEDC
VE为AB中点
••ABBE
•••BBDC
vDOIAB
•DC吕/BEC
•C日CE
/.AEBC^AEDC
/.AAEI^AEBC
24.（7分）如图，△ABGhZBAC=9（K,AB=AQBD是/ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
求证：
BD=2CE
证明：
VZCEByCAB=90
「•ABC刨点共元
vZABE=ZCBE
•••AE二CE
/.ZECAMEAC
取线段BD的中点G连接Aq贝y：
AG=BG=DG
••/GABhABG
而：
/ECAWGBA（同弧上的圆周角相等）
二ZECAMEACHGBAhGAB
而:
AC=AB
/.AAEC^AAGB
/.EC=BG=DG
/.BE=2CE
25、如图：
DF二C匕AD=BQZD=ZQ求证：
△AEI^ABFC
证明：
TDF=CE
•••DEEF二CE-EF,
即DE=CF
在厶AED^BFC中，
vAD=BC/D二/C,DE=CF
•△AED^ABFC（SAS
26、（10分）如图：
AEBC交于点MF点在AM上,BE//CF,BE=CF
求证：
AM是△ABC的中线。
•/E=ZCFM/EBMhFCM
vBE=CF
•△BEMmCFM
•BM=CM
•AM是△ABC的中线.
27、（10分）如图：
在厶ABC中，BA二BCD是AC的中点求证：
BDLAG
证明：
•••△ABDffiABCD的三条边都相等
•△ABD=\BCD
•/ADBMCD
•/ADByCDB=90
•BDLAC
28、（10分）AB=ACDB=DCF是AD的延长线上的一点求证：
BF=CF
vBE||CF
C
•BF=FC
29、（12分）如图：
AB=CDAE=DFCE=FB求证：
AF=DE
在^ABDW^ACD中
AB=AC
BD=DC
AD二AD
•••△ABD^AACD
•••/ADBMADC
:
丄BDF2FDC在厶BDFW^FDC中BD=DC
/BDFWFDC
DF=DF
vAB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF二EF+FB
•△ABE/CDFv/DCBhABFAB=DCBF=CE
△ABF=\CDE
•AF=DE
•△FBD^AFCD
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD如图所示，其中AB//CD在ABCDBC三段路旁各有一只小石凳E,F,M且
vAF=CE,FE=EF.
•AE=CF.
全等三角形证明经典50题（含答案）60326
CF,M在BC的中点，试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
证明：
连接EF
vAB//CD
B=ZC
VM是BC中点
•••BM=CM
在厶BEMfH^CFM中
BE=CF
/B=ZC
BM=CM
•△BEMPACFM（SAS
•CF=BE
31.已知：
点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CEBE//DF,BE=DF.求证：
△ABE^ACDF
（第2题）
vDF//BE,
AEBWCFD（两直线平行，内错角相等）
vBE=DF
•ABE^ACDF（SAS
32.已知：
如图所示，AB=ADBC=DCE、F分别是DCBC的中点，求证：
AE=AF。
连接BD
vAB=ADBC=D
•/ADByABD/CDBhABD两角相加，/ADChABC
vBC=DCE\F是中点
•DE二BF
vAB=ADDE=BF
ZADChABC
•AE=AF
33.如图，在四边形ABCD^E是AC上的一点，Z仁Z2,Z3=Z4,求证：
Z5=Z6.
证明：
在厶ADC△ABC中
vAC二AC/BACKDAC/BCAMDCA
•••△ADC2AABC（两角加一边）
vAB二ADBC=CD
在厶DECW^BEC中
/BCAKDCACE=CEBC=CD
•△DEC^ABEC（两边夹一角）
•/DECKBEC
34.已知AB//DEBC//EF,D,C在AF上，且AD=CF,求证：
△ABC^ADEF
BE
ADCF
vAD=DF
•AC=DF
vAB//DE
•KA=KEDF
又vBC//EF
•KF=KBCA
•△ABC^ADEF（ASA
35.已知：
如图，AB=ACBDACCEAB垂足分别为DE,BDCE相交于点F,求证：
BE=CD
证明:
vBDLAC
•KBDC=90
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•CHAB
二ZBEC=90
二ZBDChBEC=90
VAB=AC
二ZDCBhEBC
•••BC=BC
•••RtABD^RtABEC（AAS）
••BE二CD
DHAB于
36、如图，在△ABC^,AD为/BACJ勺平分线,
E,DF丄AC于Fo
求证：
DE=DF
证明：
TAD是/BAC的平分线
二ZEADWFAD
•DHAB,DI^AC
•BFD^CFD=90/.ZAEDWZAFD=90
在△AEDWAAFD中
ZEADMFAD
AD=AD
ZAED^AFD
/.AAE[^AAFD（AA9
/.AE=AF
在△AEOWAAFO中
ZEAOhFAO
AO=AO
AE=AF
/.AAE（^AAFO（SA$
•AOEhAOF=90
•••ADLEF
37.已知：
如图，ACB罗C,DEACfE,ADABfA,BC=AE若AB=5,求AD的长？
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vADLAB
•••/BACMADE
又vACLBC于C,DELAC于E
根据三角形角度之和等于180度
•/ABCMDAE
vBC=AE^ABC^ADAE（ASA
•AD=AB=5
证明：
vAB=AC
•/B=MC
vMELABMFLAC
•/BEMMCFM=90
在厶BMEffiACMF中
vMB=MCMBEMMCFM=90ME=MF
•△BMBACMF（AAS
•MB二M.C
38.如图：
AB=ACMELABMFLAC垂足分别为E、F,ME二M。
求证：
MB二MC
A
39.如图，给出五个等量关系：
①②③④⑤.请你以其
中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明.
已知：
①AD=BC⑤MDABMCBA求证：
△DAB^ACBA
证明：
vAD=BCMDABMCBA
又vAB=AB
•△DAB^ACBA
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40.在厶ABC中,,，直线经过点，且于，于.
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：
①幻；②；
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，
（1）中的结论还成立吗？
若成立，请给出证明；若不成立，说明理由
（1）
①T/ADChACBMBEC=90,
•••/CAD#ACD=90，/BCE吃CBE=90,/ACD#BCE=90.
•/CAD#BCE
vAC=BC
•△ADC2ACEB
②丁厶ADC2ACEB
•CE=ADCD=BE
•DE二CE+CD二AD+BE
（2）v#ADC#CEB#ACB=90,
•#ACD#CBE
又vAC=BC
•△ACD2^CBE
•CE=ADCD=BE
•DE二CECD二ADBE
41.如图所示，已知AE!
ABAF丄ACAE=ABAF=AC求证：
（1）EC=BF
（2）ECLBF
（1）vAE!
ABAFLAC
•/BAE#CAF=90,
•/BAE#BAC#CAF#BAC
全等三角形证明经典50题（含答案）60326
即/EACWBAF
在厶ABF"AEC中,
vAE=ABZEAC=/BAFAF=AC
•••△ABF^AAEC（SAS,
•••EC=BF
（2）如图，根据（"，△ABF^AAEC
•/AEC=/ABF
vAE!
AB
•/BAE=90,
•/AECyADE=90,
vZADE=/BDM（对顶角相等），
•/ABF+ZBDM=90,
在厶BDM中,ZBMD=18°-ZABFZBDM=18°-90°=90°,
•ECLBF.
42.如图：
BE!
ACCF!
ABBM=A,CN=AB求证：
（1）AM二AN
（2）AMLAN
证明：
（1）
vBE!
ACCF!
AB
•ZABMZBAC=90,ZACNZBAC=90
•ZABMZACN
vBM=ACCN=AB
•△ABM2ANAC
•AM=AN
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•••△ABMmNAC
•••/BAMhN
vZN+ZBAN=90
•/BAMZBAN=90
即ZMAN=90
•AMLAN
ZA=ZD
AF=CD
•△ABF^ACDE（边角边）
•FB=CE
在四边形BCE冲
FB=CE
BC=EF
•四边形BCEF是平行四边形
•BCllEF
在AB上取点N,使得AN=AC
43.如图,已知ZA=ZD,AB=DE,AF=CD,BC=E求.证:
BC//EF
在厶ABF"CDE中
AB=DE
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VZCAEWEAN
•••AE为公共,
•••△CAE^AEAN
•••ZANEZACE
又VAC平行BD
•ZACEZBDE=180
而ZANEZENB=180
•ZENBZBDE
ZNBEZEBN
VBE为公共边
•△EBNmEBD
•BD=BN
•AB=AN+BN=AC+BD
45、（10分）如图，已知：
AD是BC上的中线，且DF=DE求证:
BE//CF.
证明：
VAD>AABC的中线
BD=CD
VDF=DE（已知）
ZBDEZFDC
•△BDE^AFDC
贝SZEBDZFCD
•BE//CF（内错角相等，两直线平行）。
46、（10分）已知：
如图，AB=CDDELAC；BF丄AC；E,F是垂足，.
证明：
VDELAC；BFLAC
•ZCEDZAFB=90o
又VAB=CDBF=DE
•Rt/ABF^Rt/CDE（HL）
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•••AF=CE
/BAF玄DCE
•AB//CD
47、（10分）如图，已知/仁/2,23二/4,求证：
AB=CD
在厶ACBffiADBC中
AC=DB
23=24
BC=CB
△ACB^ADBC
•AB=CD
48、（10分）如图，已知ACLABDBLABAC=BEAE=
BD试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论
v,23=24
•OB=OC
在^AOBfyDOC中
2仁22
OB=OC
2AOB2DOC
△AOB2ADOC
CE>DE当2AEB越小,则DE越小。
证明：
过D作AE平行线与AC交于F,连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且△DFB为等腰三角形。
△DFB中/DFBWDBF=（180-/FDB）/2>45°
RTAAFB中，/FBA=90-/DBF<45
/AFB=90-/FBA>45
•AB>AF
vAB=CEAF=DE
•CE>DE
50.如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，/ACB=90°,AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：
/ADC=ZBDE
图9
49、（10分）如图，已知AB=DC,AC=DBBE=CE求证:
AE=DE.
Abc^dcb
作CGLAB,交AD于H,
则/ACH=45o/BCH=45ovZCAH=90oZCDA,/BCE=90o/
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