高中数学 142 正弦函数余弦函数的性质备课资料 新人教A版必修4.docx

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高中数学142正弦函数余弦函数的性质备课资料新人教A版必修4

2019-2020年高中数学1.4.2正弦函数、余弦函数的性质备课资料新人教A版必修4

一、近几年三角函数知识的变动情况

三角函数一直是高中固定的传统内容,但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日,国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容,其中的调整意见第（7）条为:

“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式,不要求记忆”.xx年全国高考数学卷中,已尽可能减少了这8个公式的出现次数,在仅有的一次应用中,还将公式印在试卷上,以供查阅.而当时调整意见尚未生效（应在xx年生效）,这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了.但是,如果认为这次调整的仅仅是8个公式,仅仅是降低了对8公式的要求,那就太表面、太肤浅了.

我们知道,三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一,相当部分的三角题都是围绕它们而设计的,它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力.现在要求降低了,有关的题目已不再适合作为例（习）题选用了.这样一来,三角部分还要我们教些什么呢?

又该怎样教?

立刻成了部分教师心头的一大困惑.有鉴于此,我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系,理清新的教学思路,以便真正落实这次调整的意见,实现“三个有利于（有利于减轻学生过重的课业负担,有利于深化普通高中的课程改革,有利于稳定普通高中的教育教学秩序）”的既定目标.

1.是“三角”还是“函数”

应当说,三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的.三角本是几何学的衍生物,起始于古希腊的希帕克,经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科,历史上的很长一段时期,只有《三角学》盛行于世,却无“三角函数”之名.“三角函数”概念的出现,自然是在有了函数概念之后,从时间上看距今不过300余年.但是,此概念一经引入,立刻极大地改变了三角学的面貌,特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作,致使三角函数可以完全独立于三角形之外,而成为分析学的一个分支,其中的角也不限于正角,而是任意实数了.有的学者甚至认为可将它更名为角函数,这是有见地的,所以,作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在.现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局,将三角并入了代数内容.这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重.

从《代数学》的历史演变来看,在相当长的历史时期内,“式与方程”一直是它的核心内容,那时的教材都是围绕着它们展开的.所以,书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍,所在皆是.这是由当时的数学认知水平决定的.而现在,函数已取代了式与方程成为代数的核心内容,比起运算技巧和变形套路来,人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时,首要强调的是“形式演算能力”,1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”.现行高中《代数》课本中,充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用,对这三种代数式的变形却轻描淡写.所以,三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的,这也是国际上普遍认可的观点.

2.是“图象”还是“变换”

现行高中三角函数部分,单列了一章专讲三角函数,这是与数学发展的潮流相一致的.大多数师生头脑中反映出来的,还是“众多的公式,纷繁的变换”,而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的,这一点,与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差.调整以后,降低这部分的要求,大面积地减少了题量.把“函数”作为关键词,将目光放在“图象和性质”上,应当是正确的选择,负担轻了,障碍小了,这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上,这才是“三个有利于”得以贯彻的根本.

3.国外的观点及启示

下面来看一下美国和德国的观点:

美国没有全国统一的教材和《考试说明》,只有一个《课程标准》,在《课程标准》中,他们对三角函数提出了下面的要求:

“会用三角学的知识解三角形;会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象;掌握三角函数图象;会解三角函数方程;会证基本的和简单的三角恒等式;懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”.他们还特别指出,不要在推导三角恒等式上花费过多的时间,只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了,比较复杂的恒等式就应该完全避免了.

德国在10到12年级（相当于中国的高一到高三）每年都有三角内容,10年级要求如下:

（1）一个角的弧度;

（2）三角函数sinx、cosx、tanx和它们的图象周期性;（3）三角形中角和边的计算;（4）重要关系（特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系）.另外,在11年级和12年级的“无穷小分析”中,继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限.

从以上罗列,我们可以看出下面的共同点:

第一,突出强调三角函数的图象和性质;

第二,淡化三角式的变形,仅涉及同角变换,而且要求较低,8公式根本不予介绍;

第三,明确变换的目的是为了三角形中的实际计算;

第四,注意三角函数和其他知识的联系.

这带给我们的启示还是很强烈的,美国和德国的中学教育以实用为主,并不太在乎教材体系是否严谨,知识系统是否完整;我国的教材虽作调整,怎样实施且不去细说,有一个意图是可猜到的,那就是要让学生知道教材是严谨与完整的.现在看来严谨的东西,在更高的观点下是否还严谨?

在圈内看是完整的,跳出圈子看,是否还完整?

在一个小地方钻得太深,在另外更大的地方就可能无暇顾及.人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分,我们却热衷于在个别地方穷追不舍,这早已引起行家的注意,从这个意义上说,此次调整应当只是第一步.在中学阶段即试图严谨与完整,其实是受前苏联教育家赞可夫的三高（高速度、高难度、高理论）影响太深的缘故.

二、备用习题

1.函数y=sin（-2x）的单调减区间是（）

A.[2kπ-,2kπ+]（k∈Z）B.[4kπ-,4kπ+]（k∈Z）

C.[kπ-,kπ+]（k∈Z）D.[kπ,kπ+]（k∈Z）

2.满足sin（x-）≥的x的集合是（）

A.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}

B.{x|2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z}

C.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}

D.{x|2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z}∪{x|2kπ+≤x≤（2k+1）π,k∈Z}

3.求下列函数的定义域和值域:

（1）y=lgsinx;

（2）y=2.

4.已知函数y=f（x）的定义域是[0,],求下列函数的定义域:

（1）f（cos2x）;

（2）f（sin2x-）.

5.已知函数f（x）=|sinx-cosx|.

（1）求出它的定义域和值域;

（2）指出它的单调区间;

（3）判断它的奇偶性;

（4）求出它的周期.

6.若cos2θ+2msinθ-2m-2<0恒成立,试求实数m的取值范围.

7.求函数y=lgsin（-）的单调增区间,以下甲、乙、丙有三种解法,请给予评判.

同学甲:

令t=sin（-）,则y=lgt.

∵y=lgt是增函数,

∴原函数的单调增区间就是t=sin（-）的增区间.

又sinμ的增区间为[+2kπ,+2kπ]（k∈Z）,

∴+2kπ≤-≤+2kπ（k∈Z）,

解得4kπ-≤x≤4kπ+（k∈Z）.

∴原函数的增区间为[4kπ-,4kπ+]（k∈Z）.

同学乙:

令t=sin（-）,则y=lgt.

∵y=lgt是增函数,∴原函数的单调区间就是t的增区间.

∵t=sin（-）=cos（+）,

∴只需求出cos（+）的增区间.

由于cosμ的增区间为[2kπ-π,2kπ]（k∈Z）.

∴2kπ-π≤+≤2kπ4kπ≤x≤4kπ-（k∈Z）.

∴原函数的增区间为[4kπ,4kπ-]（k∈Z）.

同学丙:

令t=sin（-）,则y=lgt.

∵y=lgt是增函数,

∴原函数的单调增区间是使t>0且t为增函数的x的范围.

∵t=sin（-）=cos（+）,

∴只需求出使t=cos（+）>0且t为增函数的x的区间.

于是有2kπ-<+≤2kπ4kπ-

∴原函数的增区间为（4kπ-,4kπ-］（k∈Z）.

参考答案:

1.D2.A

3.解:

（1）由题意得sinx>0,

∴2kπ

故函数的定义域为[2kπ,（2k+1）π],k∈Z，值域为（-∞,0］.

（2）由题意得cos3x≥0,∴2kπ-≤3x≤2kπ+,k∈Z.

∴-≤x≤+,k∈Z.

又∵0≤cosx≤1,∴0≤2≤2.

故函数的定义域为[-,+],k∈Z,值域为[0,2].

4.解:

（1）由题意得0≤cos2x≤,∴-≤cosx≤.

利用单位圆中的三角函数线或余弦函数图象,可得

x∈[kπ+,kπ+],k∈Z.

（2）由题意得0≤sin2x-≤,∴≤sinx≤或≤sinx≤.

∴x∈[kπ+,kπ+]∪[kπ+,kπ+],k∈Z.

5.解:

f（x）=|sinx-cosx|=|2sin（x-）|.

（1）它的定义域应满足sin（x-）≠0,x-≠kπ,x≠kπ+（k∈Z）,

故定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z}.

∵|sinx-cosx|=|sin（x-）|,

∴0≤|sinx-cosx|≤2.

根据y=|t,t∈（0,+∞）是减函数,可知||sinx-cosx|≥|2=-,

故值域为［-，+∞）.

（2）函数的单调增区间是［kπ-,kπ+］（k∈Z）,单调减区间是（kπ+,kπ+］（k∈Z）.

（3）由于其定义域关于原点不对称,所以此函数非奇非偶.

（4）由于y=|sinx|的周期为π,故原函数的周期为π.

6.解:

令sinθ=t,则-1≤t≤1.

要使cos2+2msinθ-2m-2<0恒成立,即sin2θ-2msinθ+2m+1>0恒成立.

设f（t）=t2-2mt+2m+1,则只要f（t）>0在[-1,1]上恒成立即可,

由于f（t）=（t-m）2+2m+1-m2（-1≤t≤1）,所以只要f（t）的最小值大于零即可.

若m<-1,则当t=-1时,f（t）min=2+4m,令2+4m>0,得m>-,这与m<-1矛盾,故舍去;

若-1≤m≤1,则当t=m时,f（t）min=-m2+2m+1,令-m2+2m+1>0,

解得1-

若m>1,则当t=1时,f（t）min=2>0,∴m>1.

综上所述,m>1-.

7.解:

由于函数的单调区间是其定义域的子区间,该函数的定义域是使sin（-）>0的x的取值范围,甲、乙两名同学都没有考虑到定义域,因此其解法是错误的;同时,甲同学还有一处错误,即sinμ的增区间不是t的增区间（因为μ=-中μ是自变量x的减函数）.丙生既考虑了函数的定义域,也考虑到将x的系数变为正数,其解法是正确的.

（设计者:

郑吉星）

2019-2020年高中数学1.4.2正弦函数、余弦函数的性质教案新人教A版必修4

教学分析

对于函数性质的研究,在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用.

由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.

正弦、余弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图象观察,不要求证明,而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.

三维目标

1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.

2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.

重点难点

教学重点:

正弦、余弦、正切函数的主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）;深入研究函数性质的思想方法.

教学难点:

正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用.

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象,在日常生活和工作中,人们常常有这样的自我感觉,有的时候体力充沛,心情愉快,思维敏捷;有的时候却疲倦乏力,心灰意冷,反应迟钝;也有的时候思绪不稳,喜怒无常,烦躁不安,糊涂健忘,这些感觉呈周期性发生,贯穿人的一生,这就是人体节律.这种有规律性的重复,我们称之为周期性现象.请同学们举出生活中存在周期现象的例子,在学生热烈的争论中引入新课.

思路2.取出一个钟表,实际操作,我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复,这是一种周期现象.我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?

在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律,在代数式上让学生思考诱导公式:

sin（x+2kπ）=sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的.要求学生用日常语言叙述这个公式,通过对图象、函数解析式的特点的描述,使学生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上,来理解“周而复始”变化的代数刻画,由此引出周期函数的概念.

推进新课

新知探究

提出问题

问题①正弦函数、余弦函数是周期函数吗?

如果是,又是怎样周期性变化的?

问题②阅读教材并思考:

怎样从代数的角度定义周期函数?

活动:

教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象,让学生观察正弦线的变化规律,有什么新的发现?

再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的,即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的.通过研究图象,学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数.怎样变化呢?

从图1中也能看出是每隔2π就重复一次.

对问题①,学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的,至于怎样描述,学生一时很难回答.教师可引导学生思考讨论,正弦函数图象是怎样重复出现的?

对于回答对的学生给予肯定,鼓励继续探究.对于找不到思路的学生给予提示,指导其正确的探究思路.

图1

问题②,从图象上能够看出,但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述,这对学生有一定的难度.在引入正式定义之前,可以引导学生先从不同角度进行描述.例如:

对于函数f（x）自变量每增加或减少一个定值（这样的定值可以有很多个）,函数值就重复出现,那么这个函数就叫做周期函数.教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述.例如:

sin（α+2kπ）=sinα,cos（α+2kπ）=cosα,k∈Z.

这表明,正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加（k>0时）或减少（k<0时）一个定值2kπ,它的函数值就重复出现,所以正弦函数、余弦函数都是周期函数.还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念.

如果函数f（x）对于其定义域内的每一个值,都有:

f（-x）=-f（x）,那么f（x）叫做奇函数;

f（-x）=f（x）,那么f（x）叫做偶函数;

f（x+T）=f（x）,其中T是非零常数,那么f（x）叫做周期函数.

从上述定义可以看到,函数的性质是对函数的一种整体考察结果,反映了同一类函数的共同特点,它们可以从代数角度得到统一刻画.这种共同特点还可以从函数的图象上得到反映.

讨论结果:

①正弦函数、余弦函数是周期函数,每隔2π就重复一次.

②略.

定义:

对于函数f（x）,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f（x+T）=f（x）,那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.正弦函数是周期函数,2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期,最小正周期是2π.

提出问题

①怎样正确理解三角函数是周期函数的定义?

并举例说明.

②通过探求思考怎样求一些简单三角函数的周期?

活动:

对问题①,学生一时可能难于理解周期的代数刻画.教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举些具体例子,以使抽象概念具体化.如常数函数f（x）=c（c为常数,x∈R）是周期函数,所有非零实数T都是它的周期.同时应特别强调:

（1）对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内每一个值时”这句话,要特别注意“每一个值”的要求.如果只是对某些x有f（x+T）=f（x）,那么T就不是f（x）的周期.例如,分别取

x1=2kπ+（k∈Z）,x2=,则由sin（2kπ++）≠sin（2kπ+）,sin（+）≠sin,可知不是正弦函数的周期.又如sin（30°+120°）=sin30°,但不是对所有x都有f（x+120°）=f（x）,所以120°不是f（x）的周期.

（2）从上述定义还可以看到周期函数的周期不唯一,例如2π,4π,6π,8π,……都是它的周期,有无穷多个,即2kπ（k∈Z,k≠0）都是正弦函数的周期.这一点可以从周期函数的图象上得到反映,也可以从代数上给以证明:

设T是函数f（x）的周期,那么对于任意的k∈Z,k≠0,kT也是函数f（x）的周期.（3）对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正周期.但周期函数不一定存在最小正周期,例如,对于常数函数f（x）=c（c为常数,x∈R）,所有非零实数T都是它的周期,由于T可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小值,即最小正数是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.（4）正弦函数中,正周期无穷多,2π是最小的一个,在我们学习的三角函数中,如果不加特别说明,教科书提到的周期,一般都是指最小正周期.

对问题②,教师要指导学生紧扣定义,可先出一些简单的求周期的例子,如:

若T是f（x）的周期,那么2T、3T、…呢?

怎样求?

实际上,由于T是f（x）的周期,那么2T、3T、…也是它的周期.因为f（x+2T）=f（x+T+T）=f（x+T）=f（x）.这样学生就会明白,数学中的周期函数,其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数.

讨论结果:

①略.

②定义法、公式法和图象法.

应用示例

思路1

例1求下列函数的周期:

（1）y=3cosx,x∈R;

（2）y=sin2x,x∈R;

（3）y=2sin（-）,x∈R.

活动:

教师引导学生紧扣定义,一切从定义出发来求.

（1）因为3cos（x+2π）=3cosx,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢?

让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为3cos（x+π）=-3cosx≠3cosx,所以π不是周期.

（2）教师引导学生观察2x,可把2x看成一个新的变量u,那么cosu的最小正周期是2π,就是说,当u增加到u+2π时,函数cosu的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2（x+π）,所以当自变量x增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现.因为sin2（x+π）=sin（2x+2π）,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.（3）因为2sin［（x+4π）-］=2sin［（-）+2π］=2sin（-）.

所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.

解:

（1）周期为2π;

（2）周期为π;

（3）周期为4π.

点评:

通过本例我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关,关键是让学生认识到,f（x+T）=f（x）中,T是相对于自变量x而言的,让学生总结归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关.

一般地,函数y=Asin（ωx+φ）（其中A、ω、φ为常数,A≠0,ω>0,x∈R）的周期为T=.可以按照如下的方法求它的周期:

y=Asin（ωx+φ+2π）=Asin［ω（x+）+φ］=Asin（ωx+φ）.

于是有f（x+）=f（x）,

所以其周期为.例如,在第（3）小题,y=2sin（x-）,x∈R中,ω=,所以其周期是4π.由上述解法可以看到,思考的基本依据还是y=sinx的周期为2π.

根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.如例3中的第（3）小题:

T==4π.这是求简单三角函数周期的最基本方法,即公式法.

变式训练

1.已知f（x）是周期为5的周期函数,且f

（1）=2007,求f（11）.

解:

因为5是函数f（x）在R上的周期,

所以f（11）=f（6+5）

=f（6）=f（1+5）=f

（1）=2007.

2.已知奇函数f（x）是R上的函数,且f

（1）=2,f（x+3）=f（x）,求f（8）.

解:

由题意知,3是函数f（x）的周期,且f（-x）=-f（x）,

所以f（8）=f（2+2×3）

=f

（2）=f（-1+3）=f（-1）=-f

（1）=-2.

思路2

例1判断函数f（x）=2sin2x+｜cosx｜,x∈R的周期性.如果是周期函数,最小正周期是多少?

活动:

本例的难度较大,教师可引导学生从定义出发,结合诱导公式,寻求使f（x+T）=f（x）成立的T的值.学生可能会很容易找出4π,2π,这的确是原函数的周期,但是不是最小正周期呢?

教师引导学生选其他几个值试试.如果学生很快求出,教师给予表扬鼓励;如果学生做不出,教师点拨学生的探究思路,主要让学生自己讨论解决.

解:

因为f（x+π）=2sin2（x+π）+｜cos（x+π）｜

=2sin2x+｜cosx｜

=f（x）.

所以原函数是周期函数,最小正周期是π.

点评:

本题能很容易判断是周期函数,但要求的是“最小正周期”,那就要多加小心了.虽然将4π,2π带入公式后也符合要求,但还必须进一步变形,即f（x）中的x以x+π代替后看看函数值变不变.为此需将π,等都代入试一试.实际上,在f（x）=2sin2x+｜cosx｜,x∈R中,学生应看到平方与绝对值的作用是一样的,与负号没有关系.因而π肯定是原函数的一个周期.

变式训练

1.求函数y=2sin（π-x）的周期.

解:

因为y=2sin（π-x）

=-2sin（x-）,

所以周期T=6π.

2.证明正弦、余弦函数的最小正周期是2π.

证明:

（反证法）先证正弦函数的最小正周期是2π.

由于2π是它的一个周期,

所以只需证明任意一个小于2π的正数都不是它的周期.

假设T是正弦函数的周期,且0

那么根据周期函数的定义,当x取定义域内的每一个值时,都有sin（x+T）=sinx.

令x=,

代入上式,得sin（+T）=sin=1,

但sin（+T）=cosT,于是有cosT=1.

根据余弦函数的定义,当T∈（0,2π）时,cosT<1.

这说明上述cosT=1是不可能的.

于是T必须等于2π,即正弦函数的最小正周期是2π.

同理可证,余弦函数的最小正周期也是2π.

知能训练

课本本节练习

解答:

1.成立.但不能说12°是正弦函数的一个周期,因为此等式不是对x的一切值都成立.

例如sin（20°+120°）≠sin20°.

点评:

理解周期函数概念中“当x取定义域内每一个值时”的“每一个值”的含义.

2.

（1）;

（2）;（3）2π;（4）6π.

点评:

利用周期函数的图象和定义求周期,体会周期与自变量x的系数有关.

3.可以先在一个周期的区