高中数学 142 正弦函数余弦函数的性质备课资料 新人教A版必修4.docx

1、高中数学 142 正弦函数余弦函数的性质备课资料 新人教A版必修42019-2020年高中数学 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质备课资料 新人教A版必修4一、近几年三角函数知识的变动情况 三角函数一直是高中固定的传统内容,但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日,国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容,其中的调整意见第(7)条为:“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式,不要求记忆”.xx年全国高考数学卷中,已尽可能减少了这8个公式的出现次数,在仅有的一次应用中,还将公式印在试卷上,以供查阅.而当时调整意见尚未生效(应在xx年生效),这不能不说对和积互化的8个公

2、式的要求是大大降低了.但是,如果认为这次调整的仅仅是8个公式,仅仅是降低了对8公式的要求,那就太表面、太肤浅了. 我们知道,三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一,相当部分的三角题都是围绕它们而设计的,它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力.现在要求降低了,有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了.这样一来,三角部分还要我们教些什么呢?又该怎样教?立刻成了部分教师心头的一大困惑.有鉴于此,我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系,理清新的教学思路,以便真正落实这次调整的意见,实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担,有利于深化普通高中的课程改革,有利于稳定普通高中的教育教

3、学秩序)”的既定目标.1.是“三角”还是“函数” 应当说,三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的.三角本是几何学的衍生物,起始于古希腊的希帕克,经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科,历史上的很长一段时期,只有三角学盛行于世,却无“三角函数”之名.“三角函数”概念的出现,自然是在有了函数概念之后,从时间上看距今不过300余年.但是,此概念一经引入,立刻极大地改变了三角学的面貌,特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作,致使三角函数可以完全独立于三角形之外,而成为分析学的一个分支,其中的角也不限于正角,而是任意实数了.有的学者甚至认为可将它更名为角函数,这是

4、有见地的,所以,作为一门学科的三角学已经不再独立存在.现行中学教材也取消了原来的代数三角几何的格局,将三角并入了代数内容.这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重. 从代数学的历史演变来看,在相当长的历史时期内,“式与方程”一直是它的核心内容,那时的教材都是围绕着它们展开的.所以,书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍,所在皆是.这是由当时的数学认知水平决定的.而现在,函数已取代了式与方程成为代数的核心内容,比起运算技巧和变形套路来,人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的数学教学大纲提出数学三大能力时,首要强调的是“形式演算能力”,1990年的大

5、纲突出强调的则是“逻辑思维能力”.现行高中代数课本中,充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用,对这三种代数式的变形却轻描淡写.所以,三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的,这也是国际上普遍认可的观点.2.是“图象”还是“变换” 现行高中三角函数部分,单列了一章专讲三角函数,这是与数学发展的潮流相一致的.大多数师生头脑中反映出来的,还是“众多的公式,纷繁的变换”,而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的,这一点,与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差.调整以后,降低这部分的要求,大面积地减少了题量.把“函数”作为关键词,将目光放在“图象和性质”上,应当是正确的选择,负

6、担轻了,障碍小了,这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上,这才是“三个有利于”得以贯彻的根本.3.国外的观点及启示 下面来看一下美国和德国的观点: 美国没有全国统一的教材和考试说明,只有一个课程标准,在课程标准中,他们对三角函数提出了下面的要求:“会用三角学的知识解三角形;会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象;掌握三角函数图象;会解三角函数方程;会证基本的和简单的三角恒等式;懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”.他们还特别指出,不要在推导三角恒等式上花费过多的时间,只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了,比较复杂的恒等式就应该完全避免了.德国在10到12年级(相当于中国的

7、高一到高三)每年都有三角内容,10年级要求如下:(1)一个角的弧度;(2)三角函数sinx、cosx、tanx和它们的图象周期性;(3)三角形中角和边的计算;(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系).另外,在11年级和12年级的“无穷小分析”中,继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限.从以上罗列,我们可以看出下面的共同点: 第一,突出强调三角函数的图象和性质; 第二,淡化三角式的变形,仅涉及同角变换,而且要求较低,8公式根本不予介绍; 第三,明确变换的目的是为了三角形中的实际计算; 第四,注意三角函数和其他知识的联系. 这带给我们的启示还是很强烈的,美国和德国

8、的中学教育以实用为主,并不太在乎教材体系是否严谨,知识系统是否完整;我国的教材虽作调整,怎样实施且不去细说,有一个意图是可猜到的,那就是要让学生知道教材是严谨与完整的.现在看来严谨的东西,在更高的观点下是否还严谨?在圈内看是完整的,跳出圈子看,是否还完整?在一个小地方钻得太深,在另外更大的地方就可能无暇顾及.人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分,我们却热衷于在个别地方穷追不舍,这早已引起行家的注意,从这个意义上说,此次调整应当只是第一步.在中学阶段即试图严谨与完整,其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故.二、备用习题1.函数y=sin(-2x)的单调减区间

9、是( )A.2k-,2k+(kZ) B.4k-,4k+(kZ)C.k-,k+(kZ) D.k,k+(kZ)2.满足sin(x-)的x的集合是( )A.x|2k+x2k+,kZB.x|2kx2k+,kZC.x|2k+x2k+,kZD.x|2kx2k+,kZx|2k+x(2k+1),kZ3.求下列函数的定义域和值域:(1)y=lgsinx;(2)y=2.4.已知函数y=f(x)的定义域是0,求下列函数的定义域:(1)f(cos2x);(2)f(sin2x-).5.已知函数f(x)=|sinx-cosx|.(1)求出它的定义域和值域;(2)指出它的单调区间;(3)判断它的奇偶性;(4)求出它的周期.

10、6.若cos2+2msin-2m-20且t为增函数的x的范围.t=sin(-)=cos(+),只需求出使t=cos(+)0且t为增函数的x的区间.于是有2k-+2k4k-0,2kx(2k+1),kZ.又0sinx1,lgsinx0.故函数的定义域为2k,(2k+1),kZ，值域为(-,0.(2)由题意得cos3x0,2k-3x2k+,kZ.-x+,kZ.又0cosx1,022.故函数的定义域为-,+,kZ,值域为0,2.4.解:(1)由题意得0cos2x,-cosx.利用单位圆中的三角函数线或余弦函数图象,可得xk+,k+,kZ.(2)由题意得0sin2x-,sinx或sinx.xk+,k+k

11、+,k+,kZ.5.解:f(x)=|sinx-cosx|=|2sin(x-)|.(1)它的定义域应满足sin(x-)0,x-k,xk+(kZ),故定义域为x|xk+,kZ.|sinx-cosx|=|sin(x-)|,0|sinx-cosx|2.根据y=|t,t(0,+)是减函数,可知|sinx-cosx|2=-,故值域为-，+).(2)函数的单调增区间是k-,k+(kZ),单调减区间是（k+,k+(kZ).(3)由于其定义域关于原点不对称,所以此函数非奇非偶.(4)由于y=|sinx|的周期为,故原函数的周期为.6.解:令sin=t,则-1t1.要使cos2+2msin-2m-20恒成立.设f

12、(t)=t2-2mt+2m+1,则只要f(t)0在-1,1上恒成立即可,由于f(t)=(t-m)2+2m+1-m2(-1t1),所以只要f(t)的最小值大于零即可.若m0,得m-,这与m0,解得1-m1+,1-21,则当t=1时,f(t)min=20,m1.综上所述,m1-.7.解:由于函数的单调区间是其定义域的子区间,该函数的定义域是使sin(-)0的x的取值范围,甲、乙两名同学都没有考虑到定义域,因此其解法是错误的;同时,甲同学还有一处错误,即sin的增区间不是t的增区间(因为=-中是自变量x的减函数).丙生既考虑了函数的定义域,也考虑到将x的系数变为正数,其解法是正确的.(设计者:郑吉星

13、)2019-2020年高中数学 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教案 新人教A版必修4教学分析 对于函数性质的研究,在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用. 由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质. 正弦、余弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用

14、,以下的奇偶性,无论是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图象观察,不要求证明,而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.三维目标1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.重点难点教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、

15、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.教学难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课 思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象,在日常生活和工作中,人们常常有这样的自我感觉,有的时候体力充沛,心情愉快,思维敏捷;有的时候却疲倦乏力,心灰意冷,反应迟钝;也有的时候思绪不稳,喜怒无常,烦躁不安,糊涂健忘,这些感觉呈周期性发生,贯穿人的一生,这就是人体节律.这种有规律性的重复,我们称之为周期性现象.请同学们举出生活中存在周期现象的例子,在学生热烈的争论中引入新课. 思路2.取出一个钟

16、表,实际操作,我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复,这是一种周期现象.我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律,在代数式上让学生思考诱导公式:sin(x+2k)=sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的.要求学生用日常语言叙述这个公式,通过对图象、函数解析式的特点的描述,使学生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上,来理解“周而复始”变化的代数刻画,由此引出周期函数的概念.推进新课新知探究提出问题 问题正弦函数、余弦函数是周期函数吗?如果是,又是怎样周期性变化的?问题阅读教

17、材并思考:怎样从代数的角度定义周期函数? 活动:教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象,让学生观察正弦线的变化规律,有什么新的发现?再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的,即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的.通过研究图象,学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数.怎样变化呢?从图1中也能看出是每隔2就重复一次. 对问题,学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的,至于怎样描述,学生一时很难回答.教师可引导学生思考讨论,正弦函数图象是怎样重复出现的?对于回答对的学生给予肯定,鼓励继续探究.对于找不到思路的学生给予提示,指导其正确的探究思路.图1 问题,从图象上能

18、够看出,但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述,这对学生有一定的难度.在引入正式定义之前,可以引导学生先从不同角度进行描述.例如:对于函数f(x)自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现,那么这个函数就叫做周期函数.教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述.例如: sin(+2k)=sin,cos(+2k)=cos,kZ. 这表明,正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k0时)或减少(k0,xR)的周期为T=.可以按照如下的方法求它的周期:y=Asin(x+2)=Asin(x+)+=Asin(x+).于是有f(x+)=f(x), 所以其周期为.例如,

19、在第(3)小题,y=2sin(x-),xR中,=,所以其周期是4.由上述解法可以看到,思考的基本依据还是y=sinx的周期为2. 根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.如例3中的第(3)小题:T=4.这是求简单三角函数周期的最基本方法,即公式法.变式训练1.已知f(x)是周期为5的周期函数,且f(1)=2 007,求f(11).解:因为5是函数f(x)在R上的周期,所以f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2 007.2.已知奇函数f(x)是R上的函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8).解:由题意知,3是函数f(x)的周期,且f(-

20、x)=-f(x),所以f(8)=f(2+23)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.思路2例1 判断函数f(x)=2sin2x+cosx,xR的周期性.如果是周期函数,最小正周期是多少? 活动:本例的难度较大,教师可引导学生从定义出发,结合诱导公式,寻求使f(x+T)=f(x)成立的T的值.学生可能会很容易找出4,2,这的确是原函数的周期,但是不是最小正周期呢?教师引导学生选其他几个值试试.如果学生很快求出,教师给予表扬鼓励;如果学生做不出,教师点拨学生的探究思路,主要让学生自己讨论解决.解:因为f(x+)=2sin2(x+)+cos(x+)=2sin2x+cosx=f(x

21、).所以原函数是周期函数,最小正周期是. 点评:本题能很容易判断是周期函数,但要求的是“最小正周期”,那就要多加小心了.虽然将4,2带入公式后也符合要求,但还必须进一步变形,即f(x)中的x以x+代替后看看函数值变不变.为此需将, 等都代入试一试.实际上,在f(x)=2sin2x+cosx,xR中,学生应看到平方与绝对值的作用是一样的,与负号没有关系.因而肯定是原函数的一个周期.变式训练1.求函数y=2sin(-x)的周期.解:因为y=2sin(-x)=-2sin(x-),所以周期T=6.2.证明正弦、余弦函数的最小正周期是2.证明:(反证法)先证正弦函数的最小正周期是2.由于2是它的一个周期

22、,所以只需证明任意一个小于2的正数都不是它的周期.假设T是正弦函数的周期,且0T2,那么根据周期函数的定义,当x取定义域内的每一个值时,都有sin(x+T)=sinx.令x=,代入上式,得sin(+T)=sin=1,但sin(+T)=cosT,于是有cosT=1.根据余弦函数的定义,当T(0,2)时,cosT1.这说明上述cosT=1是不可能的.于是T必须等于2,即正弦函数的最小正周期是2.同理可证,余弦函数的最小正周期也是2.知能训练课本本节练习解答:1.成立.但不能说12是正弦函数的一个周期,因为此等式不是对x的一切值都成立.例如sin(20+120)sin20.点评:理解周期函数概念中“当x取定义域内每一个值时”的“每一个值”的含义.2.(1); (2); (3)2; (4)6. 点评:利用周期函数的图象和定义求周期,体会周期与自变量x的系数有关.3.可以先在一个周期的区