一次函数复习讲义.docx
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一次函数复习讲义
一次函数的图象和性质
一、知识要点：
1、一次函数：
形如y=kx+b（k≠0,k,b为常数）的函数。
注意：
（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；
（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
2、图象：
一次函数的图象是一条直线，
（1）两个常有的特殊点：
与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-
，0）
（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：
y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、性质：
（1）图象的位置:
（2）增减性
k>0时，y随x增大而增大
k<0时，y随x增大而减小
4．求一次函数解析式的方法
求函数解析式的方法主要有三种
（1）由已知函数推导或推证
（2）由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。
（3）用待定系数法求函数解析式。
“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：
①利用一次函数的定义
构造方程组。
②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。
③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。
④利用题目已知条件直接构造方程。
二、例题举例：
例1．已知y=
，其中
=
（k≠0的常数），
与
成正比例，求证y与x也成正比例。
证明：
∵
与
成正比例，
设
=a
（a≠0的常数）,
∵y=
=
（k≠0的常数）,
∴y=
·a
=akx，
其中ak≠0的常数，
∴y与x也成正比例。
例2．已知一次函数
=（n-2）x+
-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断
=（3-
）
是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。
解：
依题意，得
解得n=-1，
∴
=-3x-1,
=（3-
）x,
是正比例函数；
=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，
随x的增大而减小；
=（3-
）x的图象经过第一、三象限，
随x的增大而增大。
说明：
由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。
例3．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3（x-6）相交，交点在y轴上，求此直线解析式。
分析：
直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：
由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。
例y=2x,y=2x+3的图象平行。
解：
∵y=kx+b与y=5-4x平行，
∴k=-4,
∵y=kx+b与y=-3（x-6）=-3x+18相交于y轴，
∴b=18，
∴y=-4x+18。
说明：
一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：
由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过（0,b）点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。
例4．直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。
解：
∵点B到x轴的距离为2， ∴点B的坐标为（0，±2），
设直线的解析式为y=kx±2,∵直线过点A（-4，0），∴0=-4k±2,解得：
k=±
∴直线AB的解析式为y=
x+2或y=-
x-2.
说明：
此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。
（1）图象是直线的函数是一次函数；
（2）直线与y轴交于B点，则点B（0，
）；
（3）点B到x轴距离为2，则|
|=2；（4）点B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=
；
（5）已知直线与y轴交点的纵坐标
，可设y=kx+
，
下面只需待定k即可。
例5．已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。
分析：
自画草图如下：
解：
设正比例函数y=kx，
一次函数y=ax+b，
∵点B在第三象限，横坐标为-2，
设B（-2，
），其中
<0， ∵
=6，∴
AO·|
|=6，∴
=-2，
把点B（-2，-2）代入正比例函数y=kx，得k=1把点A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b，
得
解得：
∴y=x,y=-
x-3即所求。
说明：
（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示；
（2）此例需要把条件（面积）转化为点B的坐标。
这个转化实质含有两步：
一是利用面积公式
AO·BD=6（过点B作BD⊥AO于D）计算出线段长BD=2，再利用|
|=BD及点B在第三象限计算出
=-2。
若去掉第三象限的条件，想一想点B的位置有几种可能，结果会有什么变化？
（答：
有两种可能，点B可能在第二象限（-2，2），结果增加一组y=-x,y=
（x+3）.
例6．已知正比例函数y=kx（k<0）图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。
分析：
画草图如下：
则OA=13，
=30，
则列方程求出点A的坐标即可。
解法1：
设图象上一点A（x,y）满足
解得：
；
；
；
代入y=kx（k<0）得k=-
k=-
.
∴y=-
x或y=-
x。
解法2：
设图象上一点A（a,ka）满足
由
（2）得
=-
代入
（1），得（1+
）·（-
）=
.
整理，得60
+169k+60=0.
解得k=-
或k=-
.
∴y=-
x或y=-
x.
说明：
由于题目已经给定含有待定系数的结构式y=kx，其中k为待定系数，故解此例的关键是构造关于k的方程。
此例给出的两个解法代表两种不同的思路：
解法1是把已知条件先转化为求函数图象上一点的坐标，构造方程解出，再求k；解法2是引进辅助未知数a，利用勾股定理、三角形面积公式直接构造关于a、k的方程组，解题时消去a，求出k值。
例7．在直角坐标系x0y中，一次函数y=
x+
的图象与x轴，y轴，分别交于A、B两点，点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，求图象经过B、D两点的一次函数的解析式。
分析：
由已知可得A点坐标（-3，0），B点坐标（0，
），点C是确定的点（1，0），解题的关键是确定点D的坐标，由点D在x轴上，以∠BCD=∠ABD的条件，结合画草图可知∠BCD的边BC确定，顶点C确定，但边CD可以有两个方向，即点D可以在C点右侧，也可
以在C点左侧，因此解此题要分类讨论。
解：
∵点A、B分别是直线y=
x+
与x轴和y轴交点，
∴A（-3，0），B（0，
），
∵点C坐标（1，0）由勾股定理得BC=
，AB=
，
设点D的坐标为（x,0），
（1）当点D在C点右侧，即x>1时，
∵∠BCD=∠ABD，
∠BDC=∠ADB，
∴△BCD∽△ABD，
∴
=
∴
=
----①
∴
=
∴8
-22x+5=0
∴x1=
x2=
经检验：
x1=
x2=
都是方程①的根。
∵x=
不合题意，∴舍去。
∴x=
，
∴D点坐标为（
0）。
设图象过B、D两点的一次函数解析式为y=kx+b，
∴
∴所求一次函数为y=-
x+
（2）若点D在点C左侧则x<1，
可证△ABC∽△ADB，
∴
∴
----②
∴8
-18x-5=0
∴x1=-
x2=
经检验x1=-
x2=
都是方程②的根。
∵x2=
不合题意舍去，∴x1=-
∴D点坐标为（-
0），
∴图象过B、D（-
0）两点的一次函数解析式为y=4
x+
综上所述，满足题意的一次函数为y=-
x+
或y=4
x+
.
例8．已知：
如图一次函数y=
x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点C（4，0）作AB的垂线交AB于点E，交y轴于点D，求点D、E的坐标。
解：
直线y=
x-3与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，-3），
∴OA=6，OB=3，
∵OA⊥OB，CD⊥AB，
∴∠ODC=∠OAB，
∴cot∠ODC=cot∠OAB,即
∴OD=
=
=8.
∴点D的坐标为（0，8），
设过CD的直线解析式为y=kx+8,将C（4,0）代入
0=4k+8,解得k=-2
∴直线CD：
y=-2x+8,
由
解得
∴点E的坐标为（
，-
）
说明：
由于点E既在直线AB上，又在直线CD上，所以可以把两直线的解析式联立，构成二元一次方程组，通过解方程组求得。
一次函数综合提高题
第一部分：
灵活应用
1.如果一次函数y=mx+1与y=nx－2的图象相交于x轴上一点，那么m∶n=
2.一次函数
与
的图象交于
轴上一点，则
．
3.直线
如图所示，化简：
．
4.如图，相交于P（2，2）点的互相垂直的直线
与x轴的正半轴交点为A，
与y轴的正半轴交点为B，则四边形OAPB的面积为_____.
5.平行四边形ABCD的对角线交点O为直角坐标系的坐标原点，点A（－2，－1），点B（
，－1），则点C和D的坐标分别为_______
6.已知点P（x，－2）和点Q（3，y）不重合，则当P、Q关于_________对称时，x=－3，y=2；当PQ垂直y轴，x________，y_________.
7.若一次函数
和
的图象都经过点
，且与
轴分别交于
两点，那么
的面积是
8.若函数
与
轴的交点在
轴的上方，且
为整数，则符合条件的
有
9.点P坐标为（
，
），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是
10.已知直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，直线
经过点
且与
轴交于点
，求
的面积．
11.已知一次函数y=kx+b的图象过点（1，2），且与y轴交于点P，若直线y=－0.5x+2与y轴的交点为Q，点Q与点p关于x轴对称，求这个函数解析式.
12.已知直线y=2x+1．
（1）求已知直线与y轴交点M的坐标；
（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值．
13.已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？
（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；
（5）设点P在y轴负半轴上，
（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．
14.已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例．
（1）y是x的一次函数吗？
请说明理由；
（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？
15.如图，直线L：
与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点
C（0，4）,动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）当t何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标。
一次函数增减性与不等式
1.已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=-
x+b上，则y1、y2大小关系是
2.已知关于x的不等式ax＋1＞0（a≠0）的解集是x＜1，则直线y＝ax＋1与x轴的交点是
3.若正比例函数y=（2－3m）x的图象经过点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是
4.已知2x－y＝0，且x－5＞y，则x的取值范围是________．
5、如图，已知函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P（－2，－5），则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是_______________。
6、如图，一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2的图象相交于A（3，7，则不等式（k2－k1）x＋b2－b1＞0的解集为__________
8.已知不等式－x＋5＞3x－3的解集是x＜2，则直线y＝－x＋5与y＝3x－3的交点坐标是_________．
9.无论m取何实数，直线y=x+3m与y=－x+1的交点不可能在第__________象限.
10、下图中表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n是常数，且mn≠0）图像的是（）．
11.已知一次函数
，其在直角坐标系中的图象大体是（ ）
12.如图所示，已知正比例函数
的函数值
随
的增大而增大，则一次函数
的图象大致是（ ）
13题图14题图
13已知一次函数
的图象如图所示，当x＜1时，y的取值范围是
A、－2＜y＜0B、－4＜y＜0C、y＜－2D、y＜－4
14、一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是（）
A、0B、1C、2D、3
15．下面图象中，关于x的一次函数y＝－mx－（m－3）的图象不可能是（）
16.如果x，y满足不等式组
，那么你能画出点（x，y）所在的平面区域吗?
17.一次函数y=kx＋b的自变量的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是
－5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。
18．小华准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有62元，从现在起每个月存12元，小华的同学小丽以前没有存过零用钱，听到小华在存零用钱，表示从现在起每个月存20元，争取超过小华．
（1）试写出小华的存款总数y1与从现在开始的月数x之间的函数关系式以及小丽存款数y2与与月数x之间的函数关系式；
（2）从第几个月开始小丽的存款数可以超过小华？
19.如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象（分别为正比例函数和一次函数）.两地间的距离是80千米.请你根据图象回答或解决下面的问题：
（1）谁出发的较早？
早多长时间？
谁到达乙地较早？
早到多长时间？
（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？
（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
一次函数与方程和方程组
1、已知y1=－
x－4,y2=2ax+4a+b
（1）求a、b为何值时，两函数的图象重合？
（2）如果两直线相交于点（－1，3），求a、b的值.
2、在解方程组时，想必你曾碰到过方程组无解的情况，如
。
学过“一次函数与方程组”后，你能用一次函数的图象来解释这种情况吗？
请用上面的例子画图说明。
3.已知
则
=？
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