数学建模 公共直行车服务系统的模型优化.docx
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数学建模公共直行车服务系统的模型优化
公共自行车服务系统评价模型分析
摘要
本文针对浙江省温州市鹿城区公共自行车管理中心提供的数据，首先对所给数据进行预处理，建立了相关统计模型，运用Excel等软件进行统计分析，在此基础上评价各站点设置、桩位配置等的效率进行评价。
最后并利用查阅资料，结合所得结论，提出改进建议。
针对问题一：
在已处理好的数据基础上，建立了频率与频数、用车时长的统计模型，利用Excel软件分别统计各站点20天中每天及累计的借车及还车频次，得到每天和累计的借车和还车频次（见表）；并对所有站点按累计的借车和还车频次排序（见表）；对每次用车时长的分布情况进行统计分析，画出其分布图（见图），由图可知：
每天用车时长分布形状非常相似且近似服从正态分布。
结果显示:
街心公园累计借车数量最多，达到12288车次；五马美食林累计还车数量最多，达11414车次；每次用车时长主要集中在二到四十分钟（一个小时以内），比重达到88％。
针对问题二：
在已处理好的数据基础上，建立了使用公用自行车的不同借车卡数量的统计模型,利用Excel统计20天中每天使用不同借车卡数量，其中最大的为第20天的20024；分析结果表明：
普通会员卡使用比重达98.09％。
针对问题三：
根据问题一的分析，已给站点累计所用公共自行车次数最大的一天是第20天。
对于第一小问：
利用第20天数据，运用物理公式求得两站点间最短时间，将站与站间的距离定义为两站间的最短时间与自行车速度之积，同时考虑到了速度和时间的随机误差影响；利用距离的定义，通过Excel计算得两站点最长距离为：
8.8公里，最短距离为:
200米。
利用问题一中的频数模型,对借还车是同一站点且使用时间在１分钟以上的借还车情况进行统计，得借车频次表（见表）和用车时间分布图（见图）。
对于第二小问:
根据问题一的统计，第20天的借车和还车频次最高的站点分别为42（街心公园821次）和56（五马美食林786次），利用Excel统计出两站点借、还车时刻和用车时长的分布图（见图），由图形分析可知：
借还车的高峰期与人们上下班的时间非常吻合，在借还车时间上大体都在一小时以内。
第三小问:
将第20天数据从6点到22点每小时作为一时段，分别统计各站点各时段借还车频数，利用Excel编程求出借还车高峰时段（见表），并对具有借车高峰时段与还车高峰时段的站点进行归类。
（见表）
针对问题四：
根据前三个问题的统计结果，结合公共自行车服务指南，确定评价公共自行车服务系统站点设置和锁桩数量的配置的主要指标有：
借车频数、还车频数、可借比例、可还比例、锁桩数目，统计分析公共自行车服务评价模型，得到评价结果：
181个站点分成有优劣之分的三个类（见表）。
针对问题五：
通过查阅相关资料知：
公共自行车的其他运行规律主要是借还车时间有限制，用车时间集中在短时间内等。
针对此问题提出了相关建议。
关键词：
公共自行车Excel软件统计分析聚类分析MATLAB软件
一、问题重述
1.1问题背景
公共自行车作为一种低碳、环保、节能、健康的出行方式，正在全国许多城市迅速推广与普及。
在公共自行车服务系统中，自行车租赁的站点位置及各站点自行车锁桩和自行车数量的配置，对系统的运行效率与用户的满意度有重要的影响。
1.2问题提出
了解公共自行车服务模式和使用规则的基础上，根据附件提供的数据，建立数学模型，讨论以下问题：
1.分别统计各站点20天中每天及累计的借车频次和还车频次,并对所有站点按累计的借车频次和还车频次分别给出它们的排序。
另外，试统计分析每次用车时长的分布情况。
2.试统计20天中各天使用公共自行车的不同借车卡（即借车人）数量，并统计数据中出现过的每张借车卡累计借车次数的分布情况。
3.找出所有已给站点合计使用公共自行车次数最大的一天，并讨论以下问题：
（1）请定义两站点之间的距离，并找出自行车用车的借还车站点之间（非零）最短距离与最长距离。
对借还车是同一站点且使用时间在1分钟以上的借还车情况进行统计。
（2）选择借车频次最高和还车频次最高的站点，分别统计分析其借、还车时刻的分布及用车时长的分布。
（3）找出各站点的借车高峰时段和还车高峰时段，在地图上标注或列表给出高峰时段各站点的借车频次和还车频次，并对具有共同借车高峰时段和还车高峰时段的站点分别进行归类。
4.请说明上述统计结果携带了哪些有用的信息，由此对目前公共自行车服务系统站点设置和锁桩数量的配置做出评价。
5.找出公共自行车服务系统的其他运行规律，提出改进建议。
二、模型假设
1、假设题目提供的数据是真实、完整、有效。
2、假设公共自行车系统运转良好，无被偷、被盗现象，相关基础设施配置及正常运转，无任何意外或故障发生。
比如不会因设备故障出现错误数据；维修人员足够且责任心强，损坏的自行车能得到及时的修理，不会出现借车站点有车借，但不能正常使用的情况；在借、还车的过程中使用者都能有效刷卡，不会出现错误。
以上现象均会有一定的事故率，假设故障率不影响自行车系统运转良好，旨在保证系统的数据的有效性。
3、假设道路上自行车能正常行驶，且无自行车被堵情况。
4、假设所有自行车以匀速行驶，且速度相当。
5、假设自行车行车时间为还车时刻与借车时刻之差，忽略取车、锁车时间。
6、使用者完全知道使用规则，一般会按规则正常使用。
7、假设自行假设对系统站点设置和锁桩只考虑市民对自行车实际需求情况，不考虑经费、场地等其他因素。
8、以自行车站号作为借车车站的唯一标识。
三、符号说明
﹙i=1...181﹚第
个站的频数
（1,2...20）第
天数据记录的有效总数
第
个时间在第
次记录中的出现次数
第
张卡出现的频数
第
个站到第
个站的距离
第
个站到第
个站的所用最短时间
第
个站点的频率
第L天借记卡总数
（l=1...C2181）第
个站到第
个站在数据中出现的次数
人骑自行车的平均速度
表示两点之间的距离
四、问题分析
题目提供了20天公共自行车借车和还车等原始数据，本文的关键就是通过分析处理所给数据，建立数学模型来研究公共自行车服务系统，并对公共自行车服务系统进行评级及提出改进建议。
4.1问题一分析
要统计各站点20天中每天和累计的借车和还车频次，查阅资料知
，频数为频率和频数，对于借车与还车频数，可引入0-1变量表示各站第
天借车和还车在
次记录中出现的频数，各站每天和累计的借车频数就是借出车站号在每天出现的次数和总天数的借车频数和，各站每天的借车频率是借出车站号在每天出现的次数与每天的有效数据，累计的借车频率是累计借车的频数比上总有效数据，对于借车每天及累计的频数类似，从而可建立相应的统计模型。
根据以上分析，可统计出各站点20天中每天和累计的借车和还车频次，进而可对所有站点累计的借车和还车频次排序。
分析每次用车时长的分布情况，可运用相关软件将分布情况作出。
4.2问题二分析
要统计20天每天使用公共自行车的不同借车卡的数量，对于各天的借车人数相当多，为此先用相关软件对有效数据进行处理，即将重复的借车卡，累计到不同借车卡的一行中，可得到没有重复的不同借车卡数据，引入0-1变量表示第
张卡第
个数据中出现的情况，累计求和，就可得到各天不同借车卡的数量，即得相应统计模型，再运用相关软件分析每张借车卡累计次数的分布情况。
4.3问题三分析
（1）由于站点之间的实际距离很难得到，且城市里人流量较大，自行车行驶速度不可能很大，应比较均匀，所以定义两站点之间的距离，可根据物理中距离与时间和速度的关系定义距离，其中时间的获取可通过数据中所给的站与站之间的用时加以处理后得到。
该定义的距离会应不同的骑车速度和时间，导致两站点距离不同，因此速度和时间需要引进误差，且将两相同站点的距离定义为0，为此可得到距离的定义。
对于借还车是同一站点且用时一分钟以上的借还车情况直接利用Excel进行统计即可得出相应结果。
（2）根据问题一得到结果，可找到所有站点使用自行车次数最大一天，借车频次高和还车频次最高的站点，根据相应站点的数据，可应用相关软件将各站点的借、还车时刻的分布及用车时长的分布求出。
（3）题中给出数据的借车还车时间段为6:
00-22:
00，要求各站点借车还车的高峰时段，可对总的时间段进行划分，考虑到数据量以及统计的精确度，可采用一定时间间隔作为一个时间段，分别统计各个站点在每个事件段内的借车频数以及还车频数，则最高借还车频数对应的时间段即为高峰时段，进而能得出高峰时段各站点的借车频次和还车频次，此处统计工作量可能较大。
再对其整体分析，即能得到具有共同借车高峰时段和还车高峰时段的站点的归类情况。
4.4问题四分析
要对目前公共自行车服务系统站点设置和数量的配置做出评价，要根据前几问统计的数据，找出相应的指标，根据问题一，可让借车频数和还车频数作为其中指标，从数据的初步分析来看，借车、与还车频数可能大，说明车流量比较多，从这方面，也可根据题目所提供的站点地理位置，可以知道各个站台的得可借比例（可借车位比上总车位）和可还比例（可借车位比上总车位），作为其中指标，
对于数量的配置，根据各站锁桩的数量等作为其中指标，为此可得到相应指标对自行车服务系统进行评价，进行排序。
4.5问题五分析
要找出自行车服务系统的其他运行规律并提出改进意见，要先对问题中所有数据的一个时间分布情况、借车高峰、还车高峰、以及站点中桩位设置的合理性，进行改进。
而改进的方法可能从现有数据和系统流程不能解决，因此可通过查找其他服务系统中号的服务规则进行改进。
五、模型的建立与求解
5.1问题一的解答
模型一的建立
需要统计各站点20天中每天和累计的借车频次。
设
为0-1变量，即
当
时，表示第i站在第j次记录中不出现；当
时表示第i站在第j次记录中出现。
为第
个时间在第
次记录中的出现次数，
为0-1变量
当
时，表示第i站在第j次记录中不出现；当
时表示第i站在第j次记录中出现。
建立模型一：
每天各站的频数：
各站累计的频数：
每天各站的频率：
各站累计的频率：
用车时长：
模型一的求解
⏹借、还车频次的计算
根据题目所给数据，代入以上模型，利用Excel进行求解，得各站20天中每天及累计的借车和还车频次，部分数据见下表，具体数据见附录2。
表一
20天中每天和累计的借车频次
借出站
借车频次
…
借车频次
借车累计频次
第1天频数
第1天频率
…
第20天频数
第20天频率
累计频数
街心公园
798
0.0219219
…
821
0.0194356
12288
五马美食林
645
0.0177188
…
766
0.0181336
11953
体育中心西
601
0.0165101
…
644
0.0152455
9675
开泰百货
563
0.0154662
…
613
0.0145116
9869
时代广场
550
0.0151091
…
484
0.0114578
7568
…
…
…
…
…
…
医学院
546
0.0149992
…
653
0.0154586
9274
国光大厦
500
0.0137355
…
548
0.0129729
8071
阳光花苑
497
0.0136531
…
537
0.0127125
7751
洪殿奥康
432
0.0118675
…
487
0.0115289
7530
县前头
428
0.0117576
…
520
0.0117535
7608
表二
20天中每天和累计的还车频次
还车站
还车频次
…
还车频次
还车累计频次
第1天频数
第1天频率
…
第20天频数
第20天频率
累计频数
街心公园
800
0.0219798
…
785
0.0185896
10976
五马美食林
682
0.0187378
…
786
0.0186132
11414
体育中心西
629
0.0172816
…
642
0.0152032
9430
开泰百货
583
0.0160178
…
640
0.0151558
9514
时代广场
540
0.0148364
…
503
0.0119115
7503
…
…
…
…
…
…
医学院
532
0.0146166
…
672
0.0159136
9021
国光大厦
518
0.0142319
…
555
0.0131429
8061
阳光花苑
492
0.0135176
…
543
0.0128588
7751
县前头
433
0.0118966
…
505
0.0119589
7647
洪殿奥康
432
0.0118691
…
485
0.0114853
7215
频数统计利用Excel中公式SUM对每天频数进行计算得出
⏹累计频次的排序
对以上统计的所有站点累计的借车频次与还车频次，根据频率或频数中的其中一个进行排序，因为频率的计算会有小数的误差，为了方便统计，用频数进行排序，排序结果见下表，具体见附录1。
表三
累计借车频次的排序
序号
站点号
借出车站
频数
1
42
街心公园
12288
2
56
五马美食林
11953
3
19
开太百货
9869
4
63
体育中心西
9675
…
…
…
…
178
170
银都花园
326
179
153
妇女儿童中心
299
180
177
都市花园
185
181
1000
调试站1
20
由（图3）可知，累计借车频数最大的站点号为42（街心公园），借车频数为12288，最小的站点为1000（调试站1），借车频数为20。
其差异原因主要是由于地理位置的不同，街心公园在地图中明显位于交易繁华的位置，周围有商场有酒店，借车数相对较多，而调试站1周围比较空旷人流活动少。
表四
累计还车频次的排序
序号
站点号
借出车站
频数
1
56
五马美食林
11414
2
42
街心公园
10976
3
19
开太百货
9514
4
63
体育中心西
9430
…
…
…
…
179
86
测试点
424
180
177
都市花园
185
181
1000
调试站1
20
由上表可知，累计还车频次最高的站点号为56（五马美食林），还车频数为11414，最小的站点为1000（调试站1）还车频数为20。
其差异原因主要是地理位置的不同，五马美食林在地图中查看可知，其周围是社区和商城人流密集。
⏹每次用车时长的分布
对于每次用车时长的分布情况，根据题目中数据，用Excel统计出分布时间对应的频数可画出用车时长的分布直方图。
随机抽取20天中某几天用车时间与20天累积数据用车时间的分布对比图（如图）。
街心公园
（图1）
五马美食林
（图2）
第二十天的时间段分布图
1到20天用车时间段
0--1
47000
2--19
438855
20--39
123448
40--59
21290
≥60
6947
1到20天的用车时间段
图3
由图形分布情况可以看出：
每一天和20天内用车时长的分布情况基本相同，而且作出20天所有用车时长的分布情况，其状况也相同。
因此分析用车时长可以用20天内累计的数据。
通过查找分布图可知，用车时长的分布近似服从
分布。
对分布情况观察发现时间基本集中在
内，而超过1小时的用车时间却很少。
5.2问题二的解答
模型二的建立
对于统计20天中各天不同借车卡的数量，将公共自行车每天的数据按借卡号顺序排列，且将同种借卡号出现的次数累积起来，其累积的次数就是借记卡的数量。
假设
为第
张卡出现的频数，
为第l天借记卡总数，
为0-1变量，
当
=0时，表示第
张卡在第
次记录中不出现；当
时，表示第
张卡在第
次记录中出现。
建立模型二：
模型二的求解
根据题目所给数据，运用Excel将20天数据中出现的每张借车卡累计借卡次数统计出来，如下
表五
20天中各天使用公共自行车的不同借车卡类型数量统计表
借车日期
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
第9天
第10天
普通会员卡
35765
36739
16613
31851
37679
39575
39621
16243
11032
6851
会员卡
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
VIP卡
637
672
297
578
629
751
741
305
178
130
合计
36402
37412
16910
32429
38308
40326
40362
16548
11210
6981
借车日期
第11天
第12天
第13天
第14天
第15天
第16天
第17天
第18天
第19天
第20天
普通会员卡
32115
37605
40961
40981
38073
18830
31701
31764
39972
41488
会员卡
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
VIP卡
611
714
959
850
866
300
699
689
721
754
合计
32726
37779
41920
41831
38939
19130
32400
32453
40693
42242
（图3）
表六
20天中各天使用公共自行车的不同借车卡号数量统计表
时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
第9天
第10天
普通会员卡
16508
17114
9496
14382
17646
18313
18503
10405
6927
4079
会员卡
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
VIP卡
334
346
172
295
337
396
378
191
117
74
合计
16842
17461
9668
14677
17983
18709
18881
10596
7044
4153
时间
第11天
第12天
第13天
第14天
第15天
第16天
第17天
第18天
第19天
第20天
普通会员卡
14816
17848
19142
19097
18334
11146
15096
15018
18845
19647
会员卡
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
VIP卡
282
347
392
366
343
187
318
291
345
377
合计
15098
18195
19534
19463
18677
11333
15414
15309
19190
20024
（图4）
表6
20天中各天使用公共自行车的相同借车卡号数量统计表
时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
第9天
第10天
普通会员卡
19257
19625
7117
17469
20033
21262
21118
5838
4105
2772
会员卡
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
VIP卡
303
326
125
283
292
355
363
114
61
56
合计
19560
19951
7242
17752
20325
21617
21481
5952
4166
2828
时间
第11天
第12天
第13天
第14天
第15天
第16天
第17天
第18天
第19天
第20天
普通会员卡
17299
19757
21818
21884
19739
7684
16611
16746
21127
21841
会员卡
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
VIP卡
329
369
567
484
523
113
381
398
376
377
合计
17628
20126
22385
22368
20262
7797
16992
17144
21503
22218
（图五）
由上表可知，第20天借车人最多，且自行车使用次数也最多，第3天借车人最少，但是自行车使用次数最少的一天是第10天。
5.3问题三的解答
该问要解决的3个小问题，解决问题的数据是根据所有已给站点累计使用公共自行车次数最大一天进行求解，根据问题二中的图表使用自行车数量可以知道第20天的自行车使用次数最多，因此要根据第20天中的数据，来求解问题三。
5.3.1模型三的建立
5.3.2模型三的求解
问题的前提条件是在已给的站点中合计使用自行车次数最大的一天
如下表
天数
借车站点
还车站点
总和
第一天
36403
36398
72801
第二天
37413
37410
74823
第三天
16911
16911
33822
第四天
32430
32427
64857
第五天
38309
38309
76618
第六天
40327
40323
80650
第七天
40363
40357
80720
第八天
16549
16547
33096
第九天
11211
11209
22420
第十天
6982
6979
13961
第十一天
32727
32720
65447
第十二天
38320
38319
76639
第十三天
41921
41906
83827
第十四天
41832
41825
83657
第十五天
38940
38936
77876
第十六天
19131
19131
38262
第十七天
32401
32395
64796
第十八天
32454
32437
64891
第十九天
40694
40684
81378
第二十天
42243
42225
84468
从上表可以看出第二十天是使用次数最多的一天，在此条件下：
⏹两站点间的最短距离和最长距离
要求两站点的最短和最长的距离，可根据模型三的定义，来求解两站点的距离，首先通过Excel，筛选出第20天两
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