电磁学第二版习题答案.docx

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电磁学第二版习题答案

电磁学第二版习题解答

第一章

1．2．2两个同号点电荷所带电荷量之和为Q。

在两者距离一定的前提下，它们带电荷量各为多少时相互作用力最大？

解答：

设一个点电荷的电荷量为

，另一个点电荷的电荷量为

，两者距离为r，则由库仑定律求得两个点电荷之间的作用力为

令力F对电荷量q的一队导数为零，即

得

即取

时力F为极值，而

故当

时，F取最大值。

1．2．3两个相距为L的点电荷所带电荷量分别为2q和q，将第三个点电荷放在何处时，它所受的合力为零？

解答：

要求第三个电荷Q所受的合力为零，只可能放在两个电荷的连线中间，设它与电荷q的距离为了x，如图1.2.3所示。

电荷Q所受的两个电场力方向相反，但大小相等，即

得

舍去

的解，得

1．3．8解答:

（1）先求竖直无限长段带电线在O点产生的场强

，由习题1.3.7

（2）可知

仿习题1.3.7解答过程，得

故

同理，水平无限长段带电线在O点产生的场强

对于圆弧段带电线在O点产生的场强

，参看图1.3.8（b），得

同理得

故

解得

（2）利用

（1）中的结论，参看习题1.3.8图（b），

的带电直线在O点的场强为

的带电直线在O点产生的场强为

根据对称性，圆弧带电线在O点产生的场强仅有x分量，即

故带电线在O点产生的总场强为

1．3．9解答:

在圆柱上取一弧长为

、长为z的细条，如图（a）中阴影部分所示，细条所带电荷量为

，所以带电细条的线密度与面密度的关系为

由习题1.3.7知无限长带电线在距轴线R处产生的场强为

图（b）为俯视图，根据对称性，无限长带电圆柱面轴线上的场强仅有x分量，即

1．4．5解答：

如图所示的是该平板的俯视图，OO´是与板面平行的对称平面。

设体密度

，根据对称性分析知，在对称面两侧等距离处的场强大小相等，方向均垂直于该对称面且背离该面。

过板内任一点P，并以面OO´为中心作一厚度

、左右面积为S的长方体，长方体6个表面作为高斯面，它所包围的电荷量为

，根据高斯定理。

前、后、上、下四个面的

通量为0，而在两个对称面S上的电场

的大小相等，因此

考虑电场的方向，求得板内场强为

式中：

x为场点坐标

用同样的方法，以

面为对称面，作一厚度为

、左右面积为S的长方体，长方体6个表面作为高斯面，它所包围的电荷量为

，根据高斯定理

前、后、上、下四个面的

通量为0，而在两个对称面S上的电场

的大小相等，因此

考虑电场的方向，得

1．4．8解答:

（1）图1.4.8为所挖的空腔，T点为空腔中任意一点，空腔中电荷分布可看作电荷体密度为

的实心均匀带电球在偏心位置处加上一个电荷体密度为

的实心均匀带电球的叠加结果，因此，空腔中任意点T的场强

应等于电荷体密度为

的均匀带电球在T点产生场强

与电荷体密度为

的均匀带电球在T点产生场强

的叠加结果。

而

与

均可利用高斯定理求得，即

式中：

为从大球圆心O指向T点的矢径；

从小球圆心

指向T点的矢径。

空腔中任意点T的场强为

因T点为空腔中任意一点，

为一常矢量，故空腔内为一均匀电场。

（2）M点为大球外一点，根据叠加原理

P点为大球内一点，根据叠加原理，求得

1．4．9解答：

在均匀带电的无限长圆柱体内作一同轴半径为

、长为L的小圆柱体，如图1.4.9（a）所示，小圆柱面包围的电荷量为

由高斯定理

根据对称性，电场

仅有径向分量，因此，圆柱面的上、下底面的

通量为0，仅有侧面的

通量，则

解得柱体内场强

在均匀带电的无限长圆体外作一同轴半径为

、长为L的小圆柱体（未画出），小圆柱包围的电荷量为

解得柱体外场强

柱内外的场强的

-r曲线如图1.4.9（b）所示

1．4．10解答：

（1）作半径为

、长为L的共轴圆柱面，图1.4.10（a）为位于两个圆柱面间的圆柱面，其表面包围的电荷量为

根据对称性，电场

仅有径向分量，因此，圆柱面的上、下底面的

通量为0，仅有侧面的

通量，则在

的区域II内，利用高斯定理有

解得区域II内的场强

同理，可求得

的区域I中的场强

在

的区域III中的场强

（2）若

，有

各区域的场强的E—r曲线如图1.4.10（b）所示。

1．5．2证明：

（1）在图1.5.2中，以平行电场线为轴线的柱面和面积均为S的两个垂直电场线面元S1、S2形成一闭合的高斯面。

面元S1和S2上的场强分别为

和

，根据高斯定理，得

证得

说明沿着场线方向不同处的场强相等。

（2）在

（1）所得的结论基础上，在图1.5.2中作一矩形环路路径，在不同场线上的场强分别为

和

，根据高斯定理得

证得

说明垂直场线方向不同处的场强相等。

从而证得在无电荷的空间中，凡是电场线都是平行连续（不间断）直线的地方，电场强度的大小处处相等。

1．6．4证明：

由高斯定理求得距球心r处的P点的电场为：

，求得离球心r处的P点的电势为

1．6．5解答:

（1）根据电势的定义，III区的电势为

II区的电势为

I区的电势为

（2）当

时，

，代入

（1）中三个区域中的电势的表达式，求得

，

，

V-r曲线如图1.6.5（a）所示

当

时，代入

（1）中三个区域的电势的表达式，求得

，

，

V—r曲线如图所示。

1．6．6解答：

均匀电荷密度为

的实心大球的电荷量

，挖去空腔对应小球的电荷量

，电荷密度为

的大球在M点的电势为

电荷密度为-

的小球在M点的电势为

M点的电势为

电荷密度为

的大球在P点的电势为

电荷密度为-

的小球在P点的电势为

P点的电势为

电荷密度为

的大球在O点的电势为

电荷密度为-

的小球在O点的电势为

O点的电势为

电荷密度为

的大球在O´点的电势为

电荷密度为-

的小球在O´点的电势为

O´点的电势为

第二章

2．1．1解答：

建立球坐标系，如图所示，球表面上的小面元面积为

式中：

为除了面元dS外其他电荷在dS所在处产生的场强。

以z=0平面为界，导体右半球的电荷为正，导体左半球的电荷为负，根据对称性，面元所受力垂直于z轴的分量将被抵消，因而，只需计算面元dS所受的电场力的z分量，即

将

（1）式代入（4）式，对右半球积分，注意积分上下限，得

左半球所受的力为

2．1．4解答：

解：

由左至右各板表面的电荷密度

，利用静电平衡条件列方程得：

（无限大平行金属板）

解得：

∴

将B板接地：

（σ4=0）

∴

2．2．1解答：

由于电荷q放在空腔的中心，在导体壳内壁的感应电荷-q及壳外壁的电荷q在球壳内、外壁上均匀分布，这些感应电荷在球腔内产生的合场强为0；壳内电荷与球壳内壁电荷在壳外产生的合场强为0，因此，壳内、壳外的电场表达式相同，距球心为r处的场强均表示为

距球心为

处电势为

在导体球壳内场强和电势分别为

球壳外的电场由壳外壁电荷激发，壳外的电势为

场强大小E和电势V的分布如图所示。

2．2．2解答：

球形金属腔内壁感应电荷的电荷量为-q，由于点电荷q位于偏心位置，所以腔内壁电荷面密度分布

不均匀，球形金属腔外壁的电荷量为

，腔外壁电荷面密度

均匀分布，根据电势叠加原理，O点的电势为

2．3．2解答：

（1）平行放置一厚度为t的中性金属板D后，在金属板上、下将出现等值异号的感应电荷，电场仅在电容器极板与金属板之间，设电荷面密度为

，电场为

A、B间电压为

A、B间电容C为

（2）金属板离极板的远近对电容C没有影响

（3）设未放金属板时电容器的电容为

放金属板后，板间空气厚度为

此时电容器的电容为

由于A、B不与外电路连接，电荷量

不变，此时A、B间电压为

2．3．5解答：

（1）按图中各电容器的电容值，知C、D间电容为

其等效电路如图（a）所示，E、F间电容为

同理，其等效电路如图（b）所示，A、B间电容为

（2）A、B间的电势差为900V，等效电容

上的电荷量为

由图（b）可见，与A、B相接的两个电容器的电荷量与

相同，亦为

。

（3）由图（b）可见，因3个电容器的电容值相等，故E、F间电压为

又由图（a）可见，E、F间电压亦加在3个电容值相等的电容器上，所以

2．3．7解答：

方法一：

各个电容器的标号如图所示，设

，则有

在A、B、D、E4个连接点列出独立的3个电荷量的方程

3个电压的方程

由

（1）、（3）两式得

由（4）、（5）两式得

由（7）、（8）式得

将

（1）、（9）两式代入（5）式，得

按电容器定义，有

方法二：

因题中C1、C3、C4、C5均为4

，所以据对称性C2上的电荷为零（

）。

C4与C3串联得：

C1与C5串联得：

∴

2．5．1解答：

串联时，两电容器的电荷量相同，电能之比为

并联时，两电容器的电压相同，电能之比为

第三章

3．2．3解答：

（1）偶极子所受的力矩大小为

最大力矩为

时

（2）偶极子从不受力矩的方向转到受最大力矩的方向，即

从0到

，电场力所做的功为

3．4．1解答：

图为均匀介质圆板的正视图，因圆板被均匀极化，故只有在介质圆板边缘上有极化面电荷，弧长为

，厚度为

的面元面积为

，在α处的极化面电荷密度为

根据对称性，极化电荷在圆板中心产生的电场强度只存在

分量，位于α处的极化电荷在圆板中心产生的电场强度的

分量为

全部极化面电荷在圆板中心产生的电场强度大小为

将电场强度写为矢量：

3．4．5解答：

（1）根据电容器的定义并代入数据，得

（2）金属板内壁的自由电荷（绝对值）为

（3）放入电介质后，电压降至

时电容C为

（4）两板间的原电场强度大小为

（5）放入电介质后的电场强度大小

（6）电介质与金属板交界面上的极化电荷的绝对值为

，因极化电荷与自由电荷反号，有

而

（7）电介质的相对介电常数为

3．4．6解答：

空腔面的法线取外法线方向单位矢

，建立直角坐标系，

为矢径R与z轴的夹角，球面上的极化电荷面密度为

由上式知，紧贴球形空腔表面介质上的极化电荷面密度

是不均匀的，极化电荷面密度左侧为正，右侧为负，球面上坐标为（

）处的面元面积为

该面元上的极化电荷量为

带电面元在球心处激发的电场强度方向由源点指向场点，用单位矢

表示

根据对称性，极化电荷在球心的场强

的方向沿z轴方向，故只需计算场强

的z分量，即

因

故得

3．5．1解答：

因导体板上内表面均匀分布自由电荷，取上导体板的法线方向

指向下方，即有

在介质1板中，有

在介质2板中，有

如图所示，贴近上导体板处的极化电荷面密度为

贴近下导体板处的极化电荷面密度为

两介质板间的极化电荷面密度为

或

3．5．3解答：

（1）介质板用“2”标记，其余空气空间用“1”标记，单位矢

方向为由高电势指向低电势，两极板间电势差（绝对值）为

（1）

无论在空间1还是在2，电位移矢量

相等，故有

得

（2）

将

（2）式代入

（1）式得

写成矢量