表面涂色问题教学设计篇.docx
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表面涂色问题教学设计篇
《表面涂色问题》教案之一
【教学内容】苏教版六年级数学上册第26-27页“表面涂色的正方
【教学目标】
1、使学生通过自主探究，发现表面涂色的正方体切成若干个小正方体后，小正方体不同涂色面个数的规律。
2、是学生在探索规律的过程中，经历观察、想象、比较、推理、归纳、反思等过程，培养学生空间观念和推理想象能力。
3、使学生进一步感受图形学习的乐趣，获得成功的体验，提高数学学习的兴趣，增强学习数学的信心。
【教学重点】探究并发现表面涂色的正方体切成若干个小正方体后，小正方体不同涂色面个数的规律。
【教学难点】理解大正方体的棱平均分的分数、切成小正方体的总个数和不同涂色面的小正方体的个数之间的关系。
【教学过程】
一、回顾旧知，激趣引入
1.、课件呈现一个正方体。
提问：
你对正方体有哪些认识？
小结：
我们知道正方体有完全相同的
2、这是一个表面涂上了蓝色油漆的大正方体，如果用刀将它像图上这样切割成一个个小正方体，你知道一共有多少个小正方体吗？
3、课件演示：
顶点上的一块小正方体飞出去
（1）这块小正方体有几面涂色的？
它在大正方体的哪个位置上？
在顶点处的这个小正方体,它露出了三个面,所以它有三面涂色
（2）小正方体涂色的面还有其他情况吗？
分别在大正方体的哪个位置？
（3）三面涂色，两面涂色、一面涂色的小正方体各有几块呢？
这节课我们就来探索正方体表面涂色的问题。
（板书课题：
正方体表面涂色的问题）
二、自主探究，发现规律
（一）发现规律1探究切成8个小正方体的涂色情况。
谈话：
这个大正方体切割成小正方体的个数太多了，研究起来麻烦，我们应该从简单入手（化繁为简）。
动态呈现：
把每条棱平均分成两份的情况。
提问：
如果每条棱平均分成2份照上图的样子把它切开，能切成多少个同样大小的正方体？
你是怎么算的？
小组交流：
拿出棱长二等分的魔方,小组观察,讨论一下露出三面（也就是三面能涂色）的小正方体有几个？
分别在什么位置?
汇报探究切成27个小正方体的涂色情况。
（1）过渡：
刚才研究了每条棱平均分成两份再切开的情况，如果每条棱平均分成份再切开呢？
（课件演示）每个小正方体都是3面涂色的正方体又有几个呢?
分别在什么位置？
拿出棱长二等分的魔方,小组观察,讨论一下三面能涂色的小正方体有几个？
分别在什么位置?
（3）谁能快速地说出每条棱平均分成5份再切开，三面涂色的小正方体有几个,说说你的想法.（课件演示）
（4）通过刚才的观察，我们发现，三面涂色的小正方体都在什么位置？
小结：
只有顶点处的小正方体露出三个面，所以三面涂色的小正方体的个数就等于正方体的顶点数，8
（二）发现规律
1、我们再来观察两个面涂色小正方体情况，这个把每条棱二等分的正方体，切开以后有没有两面涂色的小正方体？
因为把每条棱二等分的正方体只有八个小正方体，所以它涂色的小正方体只有一种情况，都是3面涂色的。
2、那把棱三等分，切开以后有没有两面涂色的小正方体呢？
拿出棱三等分的魔方，看看有几个露出两面（也就是两面涂色）的小正方体，它们分别在哪里？
（是不是这些呀？
多媒体演示）你们看看，这些两面涂色的小正方体分别在什么位置？
1条棱上有几个
追问：
为什么每条棱平均分的3份而每条棱2面涂色的只有1个呢？
所以1条棱上两面涂色的小正方体个数就应该是3—2=1对不对？
1条棱上有1个，那一共有多少个两面涂色的小正方体呢？
可以怎么样计算？
你能试着列综合算式吗?
3、如果把这个正方体的每条棱平均分成4份再切成同样大小的正方体，你能在哪些位置上找到两面涂色的小正方体呢？
一条棱上有几个两面涂色的小正方体？
一共有几个呢?
可以怎样计算？
4、这个正方体的每条棱平均分成5份再切成同样大小的正方体，两面涂色的小正方体应该什么位置？
一条棱上有几个两面涂色的小正方体？
一共有几个？
5、通过刚才的观察我们发现，两面涂色的小正方体都什么位置上？
一条棱上两面涂色的小正方体的个数与棱的等分数有什么关系？
假如把正方体的每条棱平均分成n份，那你能用字母表示它一条棱上有几个两面涂色的小正方体吗？
一共有几个，可以怎样计算。
小结：
两面涂色的正方体都在棱上。
用字母表示12（n-2）
（三）发现规律3
请同学们看到这些切割了正方体的，通过刚才的研究我们发现，三面涂色的小正方体都在顶点处，两面涂色的小正方体在每条棱上。
那你知道一面涂色的小正方体在什么位置吗？
预设答案：
在中间。
追问：
哪个位置的中间？
面的中间，一个面的中间吗？
不是，6个面的中间。
1、把每条棱三等分的正方体，它一个面中间有几个一面涂色的小正方体？
追问，为什么每条棱平均分的三份，而每个面中间1面涂色的却只有一个呢？
这样的正方体里头一共有几个一面涂色的小正方体呢？
说说你怎么算的？
2、把每条棱四等份的正方体，它一个面中间有几个一面涂色的小正方体？
一共有几个呢？
3、把每条棱5等份的正方体，它一个面中间有几个一面涂色的小正方体？
一共有几个呢？
4、小组讨论:
观察这些数据，结合相对应的图，说说你有什么发现？
如果把每条棱n等份，你会用含有字母的式子表示出一面涂色的小正方体的个数吗？
5、小结：
一面涂色的正方体在分别在个面的中间。
用字母表示6（n-2）四、解决疑问通过刚才的学习，能回答我们课前遇到的那个问题了吗？
五、延伸拓展：
我们把三面涂色，两面涂色，1面涂色的都剥离后，中间剩下了什么？
我们又怎样知道它的个数呢？
你们能根据前面的方法进行推倒吗？
小组汇报。
六、课堂小结同学们看这节课，我们通过化繁为简的方法发现了这么多有趣的规律，今后我希望同学们在数学学习过程中，要细心观察，善于发现，开动脑筋，相信你们能发现更多数学的美。
现在也请大家来说说你们这节课的感受吧。
《表面涂色的正方体》教学设计与思考
之二
【教学目标】
1．通过活动，积累由特殊到一般寻找数学规律的数学经验。
2．进一步培养用分类计数的方法解决问题的能力，发展空间想象力。
【教学过程】
一、引入新课
谈话：
课前，我们通过魔方认识了三面涂色、两面涂色、一面涂色的相关情况，谁能说说在魔方中三面涂色、两面涂色、一面涂色的部件分别处在魔方的什么位置?
能不能通过旋转把魔方中三面涂色的部分移到两面涂色或只有一面涂色的位置?
看来三面涂色、两面涂色、一面涂色的位置是确定的。
今天，我们就来一起探究跟表面涂色有关的正方体的计数问题。
板书：
分类计数。
课件出示问题：
把一个表面都涂上颜色的正方体木块，切成64块大小相同的小正方体。
（1）三面涂色的小正方体有多少块?
（2）两面涂色的小正方体有多少块?
（3）一面涂色的小正方体有多少块?
[设计意图：
切成64块，表明正方体木块的棱长为4。
没有先研究棱长为3的正方体，主要是棱长为3的正方体比较特殊，两面涂色的每条棱上只有1个，一面涂色的每个面上只有1个，六面都没涂色的也只有1个，不具有一般性。
而棱长为4的正方体更具一般性，便于探究规律。
]
二、探究正方体中表面涂色的小正方体
（一）棱长为4的正方体
提问：
三面涂色的小正方体有多少个?
处在什么位置上的小正方体才会是三面涂色的?
（课件显示）闭上眼睛想一想三面涂色的小正方体在什么位置。
提问：
两面涂色的小正方体有多少个?
处在什么位置?
（课件显示）这个数据可以通过怎样的计算获得?
提问：
一面涂色的小正方体有多少个?
处在什么位置?
（课件显示）这个数据该通过怎样的计算获得?
追问：
六面都没有涂色的小正方体有多少个?
这样的小正方体处在什么位置?
它的个数该如何计算?
引导：
将大正方体剥去“表皮”，剩下的是什么样子?
表1活动记录表
序号棱长（长宽高）三面涂色两面涂色一面涂色六面都没有涂色
个数个数计算方法个数计算方法个数计算方法
1
2
3
指出：
六面都没有涂色的小正方体在大正方体的中间。
两种算法：
64—8—24—24—8（个），2×2X2=8（d、）。
操作教具，验证学生的发现：
（1）将处在顶层的4个顶点上的4个小正方体从教具中取下，让学生见证“三面涂色”。
（2）将处在非底层的8条棱上的16个小正方体取下，让学生明确计算方法、见证“两面涂色”。
同时追问：
还有的两面涂色的小lE方体在哪里?
（3）取出其中一面涂色的小正厅体，让学生明确计算方法，见证“一面涂色”。
（4）呈现“六面都没有涂色”的小正方体（由8个小正方体组成的棱长为2的正方体）。
（5）将最底层的小正方体按类归位，验证计数的结果及计算方法。
要求：
将正方体的棱长各种正方体的个数及计算方法填在活动记录表（如表1）序号1所在的行。
引导：
计算所需的数据与原正方体的棱长有什么关系?
[设计意图：
要求学生能够准确表达出不能看到的三面涂色、两面涂色、一面涂色及六面都没有涂色的小正方体的位置，目的是让学生通过观察在头脑中建立表象。
计算方法的探究主要是为找到通式的规律作铺垫。
实物教具的操作更是为了让学生在头脑中建立清晰的表象。
活动记录表的填写，主要是便于学生比较与归纳。
]
（二）棱长为3的正方体
学生自主完成，将探究结果填在活动记录表序号2所在的行。
完成后指名汇报交流。
（三）棱长分别为5、6、1O的正方体学生自主完成，将探究结果填在活动记录表序号3、4、5所在的行，并在小组内交流。
投影呈现学生的活动记录结果，通过课件呈现实物加以验证。
引导学生初步发现正方体表面涂色问题的一般规律。
[设计意图：
在研究棱长为4的正方体表面涂色的情况后，教学棱长为3、5、6、10的正方体，进一步引导学生认识其他正方体中表面涂色的情况，丰富表象，进行比较归纳。
]
（四）棱长为a的正方体
提问：
如果棱长为n，三面涂色的小正方体有几个?
两面涂色、一面涂色和六面都没有涂色的小正方体个数分别怎样表示?
[设计意图：
用字母表示，使学生的认识由特殊推向一般，提高数学抽象概括能力。
]
（五）延伸思考
课件出示问题：
将一个长7厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块表面涂色后，切成棱长为1厘米的小正方体木块，三面涂色、两面涂色和一面涂色的木块各有几个?
正方体涂色问题教学设计之三
【课前交流】
大屏幕出示课题：
探索图形
师：
同学们，今天我们要一起学习什么？
生：
探索图形。
师：
我们今天要探索的图形和什么图形有关？
生1：
正方体。
师追问：
你是怎么知道的？
生1：
我从数学书44页看到的。
师：
哦，是不是提前预习课本了？
这个学习习惯非常好，值得大家学习！
还有谁是通过不同的途径知道的？
生2：
我看到老师为我们提前准备的三个学具都是正方体的。
师：
你很善于观察！
观察与思考正是我们数学学习所必须的。
希望在今天的课堂中每个同学都能善于观察、勤于思考、勇于探索，相信大家会有精彩的表现！
准备上课！
【教学过程】
一、 情境导入，提出问题
师：
同学们，请看大屏幕，这是什么？
生：
魔方。
师：
准确的说是魔方灯。
一个绚丽多彩的魔方灯是由四类小正方体灯箱拼成的，我们来一起看！
（3D动画演示，教师配以介绍）它们分别是：
三面有灯板的、两面有灯板的、一面有灯板的和没有灯板的。
这四类小正方体灯箱按照一定的规律拼在一起就组成了一个绚丽多彩的魔方灯。
现在工人师傅准备定制一批下面这些魔方灯，想要快速配发这4类灯箱，你能找出它们的数量规律吗？
（课件出示：
LED魔方灯）
这节课就让我们一起来探索图形，寻找它们的数量规律！
（板书课题）
二、 动手操作，探索规律
1. 明确问题：
师：
如果把魔方灯看作是正方体，魔方灯上有灯板的面看做是涂色的面，那么，我们现在要研究的问题就是：
正方体的涂色问题（课件出示）也就是求三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体各有多少块？
师：
大家先猜猜三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体各有多少块跟什么有关？
生：
跟棱长有关
生：
跟顶点有关
生：
跟面有关（师板书）
师：
还挺聪明，想到了正方体的点线面。
是不是像你们猜的这样呢，我们得需要验证。
在验证之前老师送给你们一个词语：
知难而（退），你们知道这个词是什么意思吗？
你就是我讲课的托。
我们要研究大正方体平均分成若干个小正方体，求其中三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体各有多少块比较难，咱们就先退一步，比如说先研究棱长块数是6的，再退一步棱长块数是5、4的，然后呢？
棱长块数是3的，再退一步，棱长块数是2的，还能不能再退了?
为什么？
好，我们就先来研究棱长块数是2的，然后依次研究棱长块数是3、4、5、6的，行不行？
这跟我们以前学的什么知识有点像？
（植树问题）
师：
要研究四类小正方体各有多少块，可以用什么方法进行研究呢？
生：
列表法。
师：
对，我们可以利用列表的方法进行分类计数。
2. 合作探究：
师：
在开始研究之前，我们先了解一下我们的任务，请大家认真阅读研究记录单。
1、选择你喜欢的两个正方体来研究。
2、组长做好分工，填好研究记录单。
师：
动手之前我给大家点建议：
先别忙着动手拆，要仔细看一看、找一找三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体在大正方体的什么位置，拆开后数一数各有多少个，再填一填，最后想一想他们的个数跟什么有关。
师：
下面小组合作开始研究。
（小组合作研究，教师巡视，适时予以个别指导。
）
3.展示交流
（1）初步感悟
师：
各小组都已经完成任务了，下面我们就从简单的图形开始汇报吧。
哪一组先来给大家汇报一下棱上块数是2的正方体的研究结果？
生1汇报：
（一生用教具演示汇报，另一生板书完成表格）：
首先，我们来看三面涂色的块数，我们认为应该是8，因为正方体有8个顶点，每个顶点处都是三面涂色的，所以三面涂色的个数是8，那么，其他的都为0。
师：
这组多么善于观察和总结，他们不仅汇报了四类小正方体的块数，还发现了三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点处，它们的数量和大正方体的顶点数有关。
那棱上块数是3时结果又如何呢？
谁来汇报你们的研究结果。
生2汇报：
（一生用教具演示汇报，另一生板书完成表格）：
三面涂色的有8个，因为正方体有8个顶点；两面涂色的有12个，因为有12条棱，每条棱上有1个；一面涂色的有6个，在每个面的中间；没有涂色的就剩1个了。
师追问：
你能解释得再清楚一些吗？
生：
我们也发现三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点处，所以是8个；两面涂色的在大正方体棱上，每条棱上除去两个顶点后就剩1个了，12条棱，所以就是12个；一面涂色的在大正方体每个面上，除去外面一圈三面涂色的和两面涂色的，每个面上就剩正中间1个，6个面就是6个。
师继续追问：
那没有涂色的小正方体呢？
生补充：
没有涂色的小正方体在大正方体的正中心，用大正方体的总块数33减去三面涂色的、两面涂色的、一面涂色，就只剩1个了。
师：
解释的非常清楚！
三面涂色、两面涂色、一面涂色的都是我们能够看到的，只要发现它们的位置特点，再寻找数量规律就容易多了。
而没有涂色的虽然看不到，但我们可以借助已有的数量来计算。
能够有效利用已有信息来解决未知的问题，这个思路很好！
那么，棱上块数是4的结果又如何呢？
生3汇报：
（一生用教具演示汇报，另一生板书完成表格）：
因为正方体有8个顶点，那么三面涂色的总是8块；一条棱上本来有4个小正方体，减去2个三面涂色小正方体，剩下2个是两面涂色的，再乘上12条棱等于24，所以两面涂色的就是24块；每个面上原本有16块小正方体，减去外圈的12块三面涂色和两面涂色的之后，还有4块，也就是每个面上一面涂色的有4块，有6个面，所以一面涂色的就是4×6=24块；剩下的没有涂色的块数就是8块。
师追问：
为什么没有涂色的是8块？
生：
因为总共有64块，减去三面涂色的、两面涂色的、一面涂色的，剩余的就是没有涂色的8块。
师：
哦，看来你们的方法和刚才的小组相同，哪个小组有不同的方法吗？
生：
我们发现没有涂色的小正方体在原来大正方体的内部，是在上下、前后、左右各除去了一层后剩下的部分。
师追问：
除去整个外层之后，是什么形状的？
生：
一个新的正方体。
师继续追问：
这个新的正方体和原来的正方体有什么关系呢？
仔细观察一下。
生：
原来棱上3块时，新正方体棱上是1块；原来棱上4块时，新正方体棱上是2块。
所以我们发现没有涂色的新正方体棱上块数总比原来大正方体棱上块数少2.
师：
棱上块数是5结果又会是怎样的呢？
谁来给大家汇报一下？
第2小组（一生汇报，一生板书）：
三面涂色的在顶点上是8块；两面涂色的棱的中间，每条棱中间有3块，3乘12等于36，两面涂色的就有36块；一面涂色的在面的中间，每个面中间有3×3=9（块），6乘9等于54，一面涂色的就是54块；没有涂色的是个新正方体，块数是3×3×3=27（块）。
师：
是这样吗？
我们一起来看一下（课件演示，将几组图形继续对比）。
师：
非常感谢刚才几组的汇报，根据他们的汇报，请大家抓紧时间检查一下你们的研究结果，有问题的借助模型再数一数，想一想。
（学生检查反思）
（2）小结规律
师：
根据大家刚才的研究结果，我们一起来梳理一下吧。
※三面涂色的
师：
我们先来看三面涂色的有什么位置特征和数量规律呢？
生：
三面涂色的都在大正方体的顶点上（师板书：
顶点上），因为大正方体有8个顶点，所以三面涂色的都是8块。
（课件依次出示三幅图形，并闪现三面涂色小正方体）
小结规律1：
三面涂色的小正方体块数都是8
师：
简洁明了，很好！
※两面涂色的
师：
两面涂色的呢？
生：
两面涂色的在棱中间（师板书：
棱中间），大正方体有12条棱，所以用每条棱上除去两个顶点后剩下的块数乘12。
（课件依次出示三幅图形，并闪现两面涂色小正方体）
师：
思路很清晰，先找到位置规律，再说数量规律。
小结规律2：
两面涂色的小正方体块数：
每条棱中间的块数×12
※一面涂色的
师：
一面涂色的呢？
生：
在正方体每个面的中间（师板书：
面中间），大正方体有6个面，所以用每个面除去外边一圈后后剩下的块数乘6。
（课件依次出示三幅图形，并闪现一面涂色小正方体）
师：
说的也很清楚。
小结规律3：
一面涂色的小正方体块数：
每个面中间的块数×6
※没有涂色的
师：
那没有涂色呢？
生1：
用总块数减去三面涂色的、两面涂色的、一面涂色的，最后剩下的就是没有涂色的。
师：
我们刚才的大正方体块数比较少，计算起来还行，如果棱上块数很多，比如24块，算一算试试看吧？
生1：
（很不好意思）好像挺麻烦的。
师：
是啊，这个方法虽然不错，但有的时候用起来还是不太方便，那谁有比较简洁的方法？
生2：
刚才第6小组已经说过，没有涂色的在大正方体的中心，也就是把前后左右上下一圈都剥离一层后剩下的部分，它是一个新的正方体，用它的棱上块数×棱上块数×棱上块数，简单的说就是棱上块数3。
师：
这个方法听起来还不错哦。
用心观察和思考，我们就可以发现新旧正方体之间的数量关系，利用它们之间的关系进行研究就简单多了。
小结规律4：
没有涂色的小正方体块数：
新正方体棱上块数3
（3）验证规律
师：
根据我们刚才的研究经验，按这样的规律摆下去，棱上块数是6的结果又会是怎样的呢？
请大家认真想一想，有困难的话也可以同桌互相说一说。
（学生思考、交流）
师：
棱上块数是6的呢？
请研究这样大正方体的小组说一说。
生5：
（一生汇报，一生板书）：
三面涂色的有8块，因为正方体有8个顶点；两面涂色的有48块，因为每条棱上有6块，减去顶点上的两块就是4块，4×12=48；一面涂色的块数是96，因为每个面中间有4×4=16（块），有6个面，16×6=96；没有涂色的块数有64块，因为一层是4×4=16（块）有4层，长×宽×高，一共就是16×4=64（块）。
师追问：
这里的长、宽、高有什么特点？
生：
都是4。
师追问：
所以，我们还可以说成4的立方。
（4）归纳提升
师：
根据我们刚才的这些研究，如果大正方体每条棱上的块数为n，你能找到四类小正方体的数量规律吗？
认真想一想，写一写。
（学生独立完成后全班交流）
师：
好，哪一小组说说你们的研究结果！
生6：
如果棱上块数为n，三面涂色的小正方体块数是8 ，因为不管每个正方体是由多少块小正方体组成的，永远都是有8个顶点，所以三面涂色的小正方体块数都是8；两面涂色的小正方体块数是（n-2）×12 ，因为n是每条棱上的小正方体个数，减去2就是减去三面涂色的块数，剩下的就是每条棱上两面涂色的块数，它有12条棱，就乘12；一面涂色的小正方体块数是（n-2）2×6，因为每条棱上的n个小正方体，减去顶点上的2个，它的平方就是每个面上一面涂色的块数，6个面，再乘6就是一面涂色的正方体总数。
没有涂色的小正方体块数是（n-2）3 ，因为每条棱上原来有n个小正方体，上下前后左右各剥离一层后，剩下的每条棱上是（n-2）块，所以总块数就是 （n-2）3。
四、应用规律，解决问题
师：
按照这样的规律摆下去，棱上块数是12，结果如何呢？
（学生独立计算后全班交流。
）
生：
三面涂色的：
8块；
两面涂色的：
（12-2）×12=120（块）；
一面涂色的：
（12-2）2×6=600（块）；
没有涂色的：
（12-2）3=1000（块）；
师：
如果再大点儿，比如棱上块数是20呢？
能解决吗？
要是再大点儿呢？
在规律面前，再大的数都变得渺小了，这正是探索规律的价值所在。
五、回顾反思，感悟思想
师：
回想刚才的探索过程，我们先从简单图形入手进行研究，在发现规律之后再用规律去解决复杂的问题，这是一种解决问题的常用方法叫做“以简驭繁”。
在探索四类小正方体的数量规律时，我们还运用了“数形结合”和“分类计数”的方法，这些都是我们数学研究中的常用方法，这些方法可以让原本复杂的问题变得简洁清晰，有助于我们发现规律。
六、巩固练习，拓展运用
师：
学校德育处知道今天我们要研究正方体涂色问题，上课前姜校长特意委托我请你们帮助学校一个忙。
我们教学楼里设有多处数学角，我们学校准备购进一些正方体小凳子。
你们能借助刚才的这些活动经验，给这些正方体小凳子图出最美的颜色吗？
（出示正方体）
涂一涂，学生动手操作。
七、全课总结
师：
我们这节课探索的只是图形问题中的冰山一角，在图形的世界里还有许多有趣的规律等待大家去发现和探索。
只要大家认真观察，掌握方法，大胆探索，相信你们会有更多精彩的发现！
探索图形
顶点上（8）棱中间（12）面中间（6）新正方体
棱上
块数
三面涂色
的块数
两面涂色
的块数
一面涂色
的块数
没有涂色
的块数
2
8
0
0
0
3
8
1×12=12
1×6=6
1
4
8
2×12=24
4×6=24
2×2×2=8
5
8
3×12=36
9×6=54
3×3×3=27
6
8
4×12=48
16×6=96
4×4×4=64
n
8
（n-2）×12
（n-2）
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