中国石油大学近三年高数期末试题及答案解析.docx
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中国石油大学近三年高数期末试题及答案解析
2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷
（工科类）参考答案及评分标准
一.（共5小题，每小题3分，共计15分）判断下列命题是否正确？
在题后的括号内打
V'或“”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明
1•若f（x）在（a,）无界，则Jimf（x）.（）（1分）
例如：
f（x）xsinx，在（1,）无界，但limxsinx.（2分）
x
2.若f（x）在x0点连续，则f（x）在x0点必可导•（）（1分）
例如：
f（x）X,在x0点连续，但f（x）x在x0不可导•（2分）
3•若limxnyn0,则limxn0或limyn0.（）（1分）
nnn
例如：
Xn：
1,0,1,0,yn：
0,1,0,1,
有limXnyn0，但limx.,limy.都不存在.（2
nnn
分）
4.若f（x0）0，则f（x）在x0点必取得极值•（）（1分）
33
例如：
f（x）x,f（0）0，但f（x）x在x0点没有极值•（2分）
5.若f（x）在［a,b］有界，则f（x）在［a,b］必可积•（）（1分）
例如：
D（x），在［0,1］有界，但D（x）在［0,1］不可积•（2分）
0,当x为无理数•
二.（共3小题，每小题7分，共计21分）
1.指出函数f（x）xcotx的间断点，并判断其类型•
解函数f（x）xcotx的间断点为：
1,当x为有理数，
xk,k0,1,2,
xcosx
k0,即x0时，兀心）加曲x叫雋X
0为函数f（x）xcotx的第一类可去间断点;
1,
2,
时,iimf（x）
xk
iimxcotxk
xcosxiimxksinx
（k
1,
2,
）为函数
f（x）
cotx
的第二类无穷间断点
2•求极限
iim
x
x
o（1
xdt
解iim
x
x
0（1
t2）
xdt
iim
x
x
0（1
t2）
~2x
xe
etdt
（3分）
iim
x
（1
（2x
xe
x）e
x2）
iim
x
（1分）
2xx
3•设方程xy
yx
（x0,y0）确定二阶可导函数y
y（x）
求竺
dx
解1对x.y
仮两边取对数，得
丄iny
x
丄inx,y
yin
xlnx
等式两边关于x求导,
得：
（1iny）dy
dx
in
in
d2yddydx2dxdx
1
-（1iny）（1
x
inx）
dy
dx
（1iny）2
y（1Iny）2x（1Inx）2
xy（1Iny）3.
-（1分）
三.（共3小题，每小题7分，共计21分）
1.求不定积分
sinxcos3x
1sin2x
dx
sinxcos3x
解1sin2x
dx
sinx（1sin2x）
1sin2x
d（sinx）
（令sinx
t（1学dt=
t2
2•设
In
ln（1
t2）
是函数
（ln2x）
f（x）dx
1.2sinx
2
ln（1
sin2x）C.
（2分）
（2分）
（3分）
f（x）的一个原函数,
f（x）dx.
2Inx
f（x），
In2
（2分）
xf（x）dxxdf（x）
xf（x）f（x）dx
2
2InxInxC.
3.求定积分（x3sinx4cos72x）dx.
7
04cos72xdx
4
----（2分）
24cos72xdx
0
----（2分）
（令2xt）
（1分）
2cos7tdt
0
6!
!
7!
!
.
（1分）
四•（共2小题，每小题6分，共计12分）
1.已知一个长方形的长I以2cm/s的速度增加，宽w以3cm/s的速度增加，则当长为
12cm，宽为5cm时，它的对角线的增加率是多少？
解：
设长方形的对角线为y，则y2I2W2（2
dl
小dw
2w-,
dt
dt
dw
dt
—
（1）
（2
分）
两边关于t求导，得2y—y2l
dt
dy.dl即yIw
dtdt
分）
dld^v:
22-
已知2,3,112,w5,y1225213,代入
（1）式，得
dtdt
对角线的增加率：
史3（cm/s）.
dt
（2分）
2
2•物体按规律Xct做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，
计算该物体由X0移至Xa时克服阻力所做的功.
v（t）dx2ct
dt
f（x）
k4c2t24c2t2
4cx,
a2
4cxdx=2ca
o
五.（本题
10分）已知f（x）
5arctanx，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性,
拐点，
渐近线
解函数的定义域为（
）.f（x）1笃x
1x
4，令f（x）0得驻点
1x
x2.
——（1分）
f（x）豎三，令f（X）0,得可能拐点的横坐标：
x0.（1分）
（1x）
列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：
x
（,2）
2
（2,0）
0
（0,2）
2
（2,）
f（x）
0
0
f（x）
0
yf（x）
极大值
25arctan2
极小值
25arctan2
拐点
（0,0）
f（x）
5arctanx
a1
lim
lim
（1
）1,
x
x
x
x
b1
lim
[f（X）
^x]
lim（
5
5arctanx）
x
x
<
2
f（x）
5arctanx
a2
lim
lim
（1
）1,
x
x
x
x
b2
lim
[f（x）
a?
x]
lim（
5arctanx）-
x
x
2
渐近线为：
yx—.（2
2
分）
六•（共2小题，每小题
7分，共计14分）
1•试求曲线y
x
.xe2（x
0）
与x轴所夹的平面图形绕
x轴旋转所得到的伸展到
无穷远处的旋转体的体积
解:
V°y2dx
°xexdx
-（4分）
（3分）
（x
1）e
lim
x
2.求微分方程y
lim（x
x
1）e
5y4y32x的通解•
对应齐次方程的通解为:
C1e
C?
e
而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为
AxB
代入原方程可得，A
故所要求的通解为y
Ge4xC2e
x11
28
11
8
七.（本题7分）叙述罗尔（Rolle）中值定理，并用此定理证明:
在（0,）内至少有一个实根，其中a「a2,an为常数•
，则
得
罗尔（Rolle）中值定理：
设f（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，f（a）f（b）
（a,b），使
f（）0.（3分）
a2sin2xansinnx
令f（x）a-isinx，
2n
-----（2
分）
在［0,］上连续，在（0,）内可导，且f（x）a1cosxa2cos2x
ancosnx
f（0）f（）0,由罗尔中值定理，（0,）,
使得f（）a1cosa2cos2ancosn0,
即方程aicosxa2cos2xancosnx0在（0,）内至少有一个实根•一（2
各章所占分值如下:
第
一早
函数与极限
13%
第
——-
一早
一元函数的导数与微分
16%
第
二早
微分中值定理与导数的应用
20%
第
四章
不定积分
14%
第五章定积分及其应用
第六章
常微分方程
2014—2015学年第一学期
《高等数学（2-1）》期末考试A卷
（工科类）
参考答案及评分标准
各章所占分值如下:
第一章函数与极限
第二章一元函数的导数与微分
第三章微分中值定理与导数的应用
第四章不定积分
第五章定积分及其应用
16%；
16%；
14%；
15%；
26%.
13%.
第六章常微分方程
.（共3小题，每小题4分，共计12分）判断下列命题是否正确'题后的括号内打“V”或“”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明•
1
1.极限limsin不存在•（
X0
（2分）
证设f（X）
1
sin，取xn
x
题
得
分
1,2,）
limxn0,
n
limyn
n
0,
但lim
f（Xn）
lim
sin
1
limsin2n
0,
n
n
Xn
n
lim
f（yn）
lim
sin
1
limsin（2n
-）1,
n
n
yn
n
2
海涅
疋
理，
1
limsin—
不
x0X
（2分）
2n
2
由
2.若曲线y
f（X）在（Xo,f（Xo））点处存在切线，
则f（X）在Xo点必可导.
（2分）
例：
yx在（0,0）点处有切线X0，但y3x在X0处不可导
（2分）
（2分）
例：
f（x）x4在［2,3］上连续且下凸，但f（0）0.
（2分）
（共3小题，每小题6分，共计18分）
1.求极限lim（
n
1）sin（n!
）
解
sin（n!
）1,
分）
1
nim（nn1）
本题满分18分
本题得分
0,
（3
1
lim（n1）sin（n!
）0.
n（3分）
2•求极限lim
x
x
0（1t）exdt
x4txx4t
n（1t4）etxdt（1t4）etdt
解lim4lim—厂—（3
xxxxe
分）
lim
x
（1
x4）ex
（4x3
x4）ex
lim
x
4x3
-（3分）
n
~2~
n
n
212
1
n、
~22）.
nn
n）
nn
n-2~n
n
n212
3•求极限lim（
n
解lim
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