中国石油大学近三年高数期末试题及答案解析.docx

1、中国石油大学近三年高数期末试题及答案解析2013 2014学年第一学期高等数学(2-1 )期末考试A卷(工科类)参考答案及评分标准一.(共5小题，每小题3分，共计1 5分)判断下列命题是否正确？在题后的括号内打V或“ ”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明1若 f (x)在(a , )无界，则 Jim f (x) . ( ) ( 1 分)例如：f (x) xsin x，在(1 , )无界，但 lim xsinx . ( 2 分)x2.若f (x)在x0点连续，则f (x)在x0点必可导 ( ) ( 1分)例如：f (x) X ,在x 0点连续，但f (x) x在x 0不可导

2、( 2分)3若 lim xnyn 0 ,则 lim xn 0或 lim yn 0. ( ) ( 1 分)n n n例如：Xn：1, 0,1,0, yn： 0,1, 0,1,有 lim Xnyn 0，但 lim x. , lim y.都不存在. (2n n n分)4.若f (x0) 0，则f (x)在x 0点必取得极值 ( ) ( 1分)3 3例如：f (x) x , f (0) 0，但f(x) x在x 0点没有极值 ( 2分)5.若f(x)在a , b 有界，则f(x)在a , b 必可积( ) ( 1分)例如：D(x) ，在0,1有界，但D(x)在0,1 不可积( 2分)0,当x为无理数二.

3、(共3小题，每小题7分，共计2 1分)1.指出函数f (x) x cot x的间断点，并判断其类型解函数f (x) x cot x的间断点为：1,当x为有理数，x k , k 0, 1, 2,xcos xk 0,即x 0时，兀心）加曲x叫雋X0为函数f（x） x cotx的第一类可去 间断点;1,2,时,iim f (x)x kiim xcotx kxcosx iim x k sin x(k1,2,）为函数f(x)cotx的第二类无穷间断点2 求极限iimxxo(1xdt解 iimxx0(1t2)xdtiimxx0(1t2)2 xx eetdt(3 分)iimx(1(2xx ex )ex2)i

4、imx(1 分)2x x3 设方程x yyx（x 0, y 0）确定二阶可导函数 yy(x)求竺dx解1 对x. y仮两边取对数，得丄inyx丄inx , yyinxln x等式两边关于x求导,得：(1 in y)dydxinind2y d dy dx2 dx dx1-(1 in y) (1xinx)dydx(1 iny)2y(1 In y)2 x(1 In x)2xy(1 In y)3 .-(1 分)三.（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1 .求不定积分sin xcos3 x1 sin2 xdxsin xcos3 x解 1 sin2 xdxsin x(1 sin 2 x)1 sin2 x

5、d (sin x)(令 sinxt(1 学dt =t22 设Inln(1t2)是函数(ln2x)f (x)dx1 . 2 sin x2ln(1sin2 x) C .(2 分)(2 分)(3 分)f （x）的一个原函数,f (x) dx.2I nxf(x)，In2(2分)x f (x) dx x df(x)x f(x) f (x) dx22 In x In x C. 3.求定积分 (x3 sin x4 cos7 2x) dx .70 4 cos7 2x dx 4-（2 分）2 4 cos72x dx 0-（2 分）（ 令 2x t ）（1分）2 cos7t dt 06!7! . （1 分）四（共

6、2小题，每小题6分，共计1 2分）1.已知一个长方形的长I以2cm/s的速度增加，宽 w以3cm/s的速度增加，则当长为12cm，宽为5cm时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为 y，则 y2 I2 W2 （2dl小 dw2w -,dtdtdwdt（1） （2分）两边关于t求导，得 2y y 2ldtdy . dl 即 y I wdt dt分）dl dv : 2 2-已知 2, 3,1 12,w 5, y 122 52 13,代入（1 ）式，得dt dt对角线的增加率： 史 3 （ cm/s）. dt（2分）22物体按规律X ct做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系

7、数为 1，计算该物体由X 0移至X a时克服阻力所做的功.v(t) dx 2ctdtf(x)k4c2t2 4c2t24cx ,a 24cxdx = 2cao五.(本题10分)已知f(x)5arctanx，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性,拐点，渐近线解函数的定义域为 ().f (x) 1 笃 x1 x4，令f (x) 0得驻点1 xx 2. (1 分)f (x) 豎三，令f (X) 0,得可能拐点的横坐标： x 0. ( 1 分)(1 x )列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：x(,2)2(2,0)0(0,2)2(2,)f (x)00f (x)0y f(x)极大值2 5 arcta

8、n 2极小值2 5 arctan2拐点(0,0)f(x)5arcta n xa1limlim(1)1,xxxxb1limf(X)xlim (55arcta n x)xx2f (x)5 arcta n xa2limlim(1)1,xxxxb2limf (x)a?xlim (5 arcta nx)-xx2渐近线为：y x . （ 22分）六（共2小题，每小题7分，共计14分）1试求曲线yx.xe 2 (x0)与x轴所夹的平面图形绕x轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积解:V y2dx xe xdx -（4 分）(3 分)(x1)elimx2.求微分方程ylim (xx1)e5y 4y 3 2

9、x的通解对应齐次方程的通解为:C1 eC?e而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为Ax B代入原方程可得，A故所要求的通解为 yGe 4x C2ex 112 8118七.（本题7分）叙述罗尔（Rolle）中值定理，并用此定理证明:在(0,)内至少有一个实根，其中 aa2, an为常数，则得罗尔(Rolle)中值定理：设 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导， f(a) f(b)(a,b) ， 使f ( ) 0. ( 3 分)a2 sin 2x an sin nx令 f (x) a-i sin x ， 2 n-(2分)在0,上连续，在(0,)内可导，且f (x) a1 cosx a2cos

10、2xan cosnxf (0) f( ) 0,由罗尔中值定理， (0 ,),使得 f ( ) a1 cos a2 cos2 an cos n 0,即方程ai cosx a2 cos2x an cos nx 0在(0,)内至少有一个实根 一 ( 2各章所占分值如下:第一早函数与极限13 %第-一早一元函数的导数与微分16 %第二早微分中值定理与导数的应用20 %第四章不定积分14 %第五章 定积分及其应用第六章常微分方程2014 2015学年第一学期高等数学（2-1 ）期末考试A卷（工科类）参考答案及评分标准各章所占分值如下:第一章 函数与极限第二章 一元函数的导数与微分第三章 微分中值定理与导

11、数的应用第四章 不定积分第五章 定积分及其应用16 % ；16 % ；14% ；15% ；26 % .13 % .第六章 常微分方程.(共3小题，每小题4分，共计12分)判断下列命题是否正确 题后的括号内打“ V”或“”，如果正确，请给出证明，如果不 正确请举一个反例进行说明 11 .极限lim sin 不存在(X 0(2 分)证设f(X)1sin ，取 xnx题得分1,2,)lim xn 0,nlim ynn0,但limf (Xn)limsin1lim sin2n0 ,nnXnnlimf (yn)limsin1lim sin(2n-)1,nnynn2海 涅疋理 ，1lim sin 不x 0

12、X(2 分)2n2由2 .若曲线yf (X)在(Xo , f (Xo)点处存在切线，则f(X)在Xo点必可导. (2 分)例：y x在(0,0)点处有切线X 0，但y 3 x在X 0处不可导(2 分)(2 分)例：f(x) x4在2,3上连续且下凸，但 f (0) 0 . (2 分)(共3小题，每小题6分，共计18分)1.求极限lim (n1) sin(n!)解sin(n!) 1, 分)1nim(nn 1)本题满分18分本 题 得 分0,(31lim ( n 1) sin(n !) 0 .n n(3分)2求极限limxx0(1 t )e xdtx 4 t x x 4 tn(1 t4)etxdt (1 t4)etdt解 lim 4 lim 厂 (3x x x x e分)limx(1x4)ex(4x3x4)exlimx4x3-(3 分)n2nn21 21n 、2 2 ).n nn )n nn -2 nnn2 123 求极限lim (n解 lim