完整word版排列组合常见21种解题方法.docx
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完整word版排列组合常见21种解题方法
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排列组合难题二十一种方法
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.
复习巩固
1.分类计数原理（加法原理）
种不同的方法，在第2类类办法中有类办法，在第完成一件事，有1mn1种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么办法中有mmnn2完成这件事共有：
mL?
?
m?
N?
mn12种不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理）
种不同的方法，做第2步步有个步骤，做第1完成一件事，需要分成mn1种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有mmnn2有：
mL?
m?
m?
N?
n12种不同的方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
..
...
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:
由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有1C3然后排首位共有1C4最后排其它位置共有3A4131由分步计数原理得311C?
288CACAC443344需,若以元素分析为主,位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法再处理其它位需先满足特殊位置的要求,,先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
也不种,若两种葵花不种在中间，练习题:
7种不同的花种在排成一列的花盆里在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
.相邻元素捆绑策略二.,共有多少种不同的排法人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻例2.7解：
可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
种不同的排法由分步计数原理可得共有225480AAA?
252
丁丙乙甲
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合为一个元再与其它元素一起作排同时要注意合并元素内部也必须排.
练习题:
某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
种，第二步将4舞蹈插个独唱共有个相声和3解:
分两步进行第一步排25A5不同的方法,个元素中间包含首尾两个空位共有种入第一步排好的64A6种54节目的不同顺序共有由分步计数原理,AA65
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两
练习题：
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，..
...
30那么不同插法的种数为
.定序问题倍缩空位插入策略四3人顺序一定共有多少不同的排法4.7人排队,其中甲乙丙例可先把这几个元素与其他对于某几个元素顺序一定的排列问题,:
（倍缩法）解然后用总排列数除以这几个元素之间的全排元素一起进行排列,则共有不同排法种数是：
列数,73AA/37种方法，其把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有）设想有7空位法（4A7
种方法。
种坐法，则共有1余的三个位置甲乙丙共有4A7
?
可以先让甲乙丙就坐吗思考:
四人依次插入共有4（插入法）先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余方法
定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插
要求从左至右身高逐渐增,排成前后排，每排5人,练习题:
10人身高各不相等加，共有多少排法？
5C10重排问题求幂策略五.,7个车间实习共有多少种不同的分法例5.把6名实习生分配到把第二名实7种分法.解:
完成此事共分六步:
把第一名实习生分配到车间有
种不同的排由分步计数原理共有,种分依此类推习生分配到车间也有767法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素nm种n的位置，一般地不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为
练习题：
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为42
2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87
六.环排问题线排策略
例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：
围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定！
种排法即！
并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）一人47A4..
...
C
DB
AE
CABGDAEFHFHG个元素作圆个不同元素中取出m,共有（n-1）!
种排法.如果从n一般地,n个不同元素作圆形排列1mA形排列共有nn
120颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈练习题：
6.多排问题直排策略七,共有多少排法4人,其中甲乙在前排,丙在后排例7.8人排成前后两排,每排个特殊元.可以把椅子排成一排8人坐8把椅子,解:
8人排前后两排,相当于个5种,其余的5人在种,再排后4个位置上的特殊元素丙有素有21AA44
则共有种种,位置上任意排列有2515AAAA5445
后排前排再分段研,可归结为一排考虑,元素分成多排的排列问题一般地,
人就座规12个座位，现安排2练习题：
有两排座位，前排11个座位，后排那么不同2人不左右相邻，个座位不能坐，定前排中间的3并且这346排法的种数是
.排列组合混合问题先选后排策略八共有多少不,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球5例8.有个不同的小球,.
同的装法包4个元素（再把种方法.个组成复合元共有2个球中选出解:
第一步从52C5
种方法，根据分步计数原个不同的盒内有装入4含一个复合元素）4A4
理装球的方法共有42AC45?
解决排列组合混合问题先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗
人完成四种不4人现从中选名战士练习题：
一个班有6,其中正副班长各1则不同人参加,1,,同的任务每人完成一种任务且正副班长有且只有的选法有192种
..
...
小集团问题先整体后局部策略九.５在两个1,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹例9.用这样的五位数有多少个？
奇数之间,种排法，再排小集团４当作一个小集团与３排队共有,,５,２解：
把１2A2
.
种排法种排法，由分步计数原理共有内部共有22222AAAAA22222
1524小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
练习题：
排成一行陈,５幅国画,,１.计划展出10幅不同的画其中1幅水彩画,４幅油画那么共品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，列,要求同一
有陈列方式的种数为254AAA452
种女生也相邻的排法有,男生和５女生站成一排照像,男生相邻2.5255AAA525
十.元素相同问题隔板策略10个运动员名额，分给7个班，,有多少种分配方案？
每班至少一个例10.有个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成９个10解：
因为
空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对种分法。
应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有6C9
七三五一二四六班班班班班班班块隔板，m-1每份至少一个元素,可以用n，m为正整数）,m将n个相同的元素分成份（1?
mCn-1个空隙中，所有分法数为插入n个元素排成一排的1?
n
练习题：
个盒中,每盒至少一有多少装法？
1．10个相同的球装54C9求这个方程组的自然数解的组数2.3C100?
?
?
xy?
zw103正难则反总体淘汰策略.十一的100,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于11.例从,不同的偶数取法有多少种？
可用总体淘汰法。
这的偶数很困难解：
这问题中如果直接求不小于10,..
...
个偶数的取法有3个偶数55个奇数,所取的三个数含有十个数字中有3C5
。
再淘汰和,和为偶数的取法共有个偶数的取法有1只含有32121CCC?
CC55555
种，符合条件的取法共有910的偶数共小于312CC?
C?
9555
可以先求出而它的反面往往比较简捷,,有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂.,再从整体中淘汰它的反面
正、副班长、团支部书记至少人,位同学,从中任抽5练习题：
我们班里有43有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本分三步取书得解:
222CCC246
书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为中还有则（AB,CD,EF）,222CCC264
种取有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD）共3A3种分法。
故共有（AB,CD,EF）一种分法,法,而这些分法仅是2322ACC/C3642
nnA（所以分组后要一定要除以为均分的不管它们的顺序如何,都是一种情况,平均分成的组,n组数）避免重复计数。
练习题：
1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？
）（2544C/CAC284132.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的
分组方法（1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安
）（______排2名，则不同的安排方案种数为222290A?
CA/C2426十三.合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解：
10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。
选上唱歌人员为标准进行研究
..
...
人中只5种,只会唱的人中没有人选上唱歌人员共有5只会唱的22CC33
人选上唱歌人2,只会唱的5人中只有种人选上唱歌人员1有211CCC534
种，由分类计数原理共
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