高考数学考点48离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的均值与方差.docx
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高考数学考点48离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的均值与方差
考点48离散型随机变量及其分布列、
离散型随机变量的均值与方差
一、填空题
1.（2020•浙江高考理科15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，
2
假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面
3
1
试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数。
若P（x0），则随机变量X的数学期望
12
E（X）
【思路点拨】先由相互独立的事件同时发生的概率求出p,进而求出其它情况的概率，再求出E（X）.
211
【精讲精析】由P（X0）
（1）（1p）（1p）可得p,
3122
2222
从而
P（X
1）2
2（12）c221,
21
P（X2）-c2-
21
（1-）-
5
3
2323
32
32
12
c、2
12
1
P（X
3）-
3
2
6
1
1515
所以E
X0
1-23.
12
31263
二、解答题
2.（2020•安徽高考理科20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟.如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再
派下一个人•现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为p,p2,ps,假设p,
p2,ps互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立
（I）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率•若改变三个人被派出的先后
顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（H）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1,q2,qs,其中q1,q2,q3是p1,p2,ps
的一个排列，求所需要派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX;
（川）假定I>p1>p2>ps,试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小•
【思路点拨】（I）禾U用间接法可以比较容易得出结论；（H）直接利用相互独立事件及分布列知识解决；
（1-P1）（1P2）（1P3）,
（川）先分析抽象概括得出结论，再证明•
【精讲精析】解：
（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是
所以任务能被完成的概率与三个人被派出去的先后顺序无关，并等于
1-（1-Pl）（1P2）（1P3）=PlP2P3PlP2P2P3PlP3P1P2P3.
（II）当依次派出去的三个人各自完成任务的概率分别为qi,q2,q3,随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
q1
（1-qi）q2
（1q）1q2）
所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是
E（X）qi2（1-qJq23（1qj（1q2）=3-2qiq?
qq?
.
（III）由（II）得结论可知，当以甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人时，
E（X）3-2P1P2P1P2-
根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值
下面证明：
对于P1，P2，p3的任意排列q1,q2,q3，都有
3-2q1q2
qg23-2
P1
P2
P1P2.
事实上，
（3-2q1q2
qq：
2）-（
3-2p1
P2
P1P2）
2（P1qd
（P2
q2）
P1P2
2（P1qd
（P2
q2）
（P1q1
）P2
qgq2）
（2P2）（P1
qd
（1
qJ（P2
q2）
（1qJKP1
P2）
（q1
q2）]
0
即3-2q1q2q©3-2P1P2P1P2-
3.（2020•福建卷理科19）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2,……,8,其中X>5为标准AX》为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
X1
5
6
7
8
p
0.4
a
b
0.1
且X1的数字期望EX=6，求a,b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样
本，数据如下:
3533855634
6347534853
8343447567
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望•
（川）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？
说明理
由•
注：
（1）产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望：
产品的零售价
（2）“性价比”大的产品更具可购买性•
【思路点拨】（I）利用期望公式和EX,6以及分布列中的所有概率和为1,联立关于a,b的方程组，解
方程组求得a,b的值；
（II）根据题中提供的数据，列等级系数X2的数学期望，再利用期望公式求期望；
（川）根据“性价比”公式求两工厂的产品的性价比，“性价比”大的产品更具可购买性
【精讲精析】（I）因为EX,=6,所以50.46a7b80.16,即6a7b3.2,
又由Xi的概率分布列得0.4ab0.11,即ab0.5.
（ll）由已知得，样本的频率分布表如下:
X2
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下:
X2
3
4
5
6
7
8
f
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于48
（川）乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件，所以其性价比为6=1.
6
48
因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为=12所以乙厂的产品
4
更具可购买性•
4.（2020•新课标全国高考理科19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质
量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做
试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分「组
90,94
94,98
98,102
102,106
106,110
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
90,94
94,98
98,102
102,106
106,110
频数
4
12
42
32
10
（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率;
（H）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：
元）与其质量指标值t的关系式为
2,t94,
y2,94t102,
4,t102.
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：
元），求X的分布列及数学期望•（以试验结果
中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
【思路点拨】第（I）问分别用A配方、B配方生产的产品中优质品的频率来估计概率，第（n）问分别
求出质量指标落在90,94,94,102,102,110上的频率作为概率，明确X的对应取值，列分布列，
用期望公式求期望即可•
【精讲精析】（I）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为经卫=0.3，所以用A配方生产
100
的产品的优质品率的估计值为03
3210
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为0.42，所以用B配方生产的产品的优质
100
品率的估计值为0.42
（n）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94,94,102,102,110的频率分别为
0.04,,054,0.42，因此X的可能值为-2,2,4
P（X=-2）=0.04,P（X=2）=0.54,P（X=4）=0.42,
即X的分布列为
X
-2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
X的数学期望值
EX=-2X0.04+2X0.54+4X0.42=2.68
5.（2020•辽宁高考文科19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品
n小块地，在总共2n小块地中，随机选n
种甲和品种乙）进行田间试验•选取两大块地，每大块地分成小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.
（I）假设n=2,求第一大块地都种植品种甲的概率；
（II）试验时每大块地分成8小块地，即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公
2
顷产量（单位：
kg/hm）如下表:
［「詁种甲
403|
397
390
388
400
412
406
4J9'
403
4\2
408
425
400
413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪种品
种？
附：
样本数据X1,X2，…，xa的样本方差s2-［（x1X）2（x2x）2（xnx）2］，其中x为样本平
n
均数.
【思路点拨】（I）先编号，再逐一列出所有的基本事件，最后根据古典概型求解；（II）先求平均数，再
求方差，最后下结论.
【精讲精析】（I）设第一大块地中的两小块地编号为1,2，第二大块地中的两小块地编号为3,4.令事件A=“第一大块地都种品种甲
从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个:
（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）.而事件A包含1个基本事件：
（1,2）.
1
所以P（A）-.
6
（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
S甲1[32（-3）（-10）42（-12）20212262]57.25
8
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:
X乙（419403412418408423400413）412
8
S乙1[72（-9）0262（-4））112（-12）212]56
8
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故
应该选择种植品种乙.
6.
（2020
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