空间几何体的表面积和体积练习题高考总复习.docx
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空间几何体的表面积和体积练习题高考总复习
第二节空间几何体的表面积和体积
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．9π＋42
9
C.2π＋12
B．36π＋18
9
D.2π＋18
解析该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋43π323＝29π＋18，故选D.
答案D
2．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）
B．24＋3π
D．24＋4π
A．20＋3π
C．20＋4π
解析由三视图可知该几何体为一组合体，上面是一个棱长为2
的正方体．下面是半个圆柱，其半径为1，母线为2.故S＝5×22＋π
＋π×1×2＝20＋3π.
答案A
3．（2014·唐山市期末）某几何体的三视图如下图所示，则该几何
体的体积为（）
答案B
4．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面
积为（）
解析由三视图可知该几何体是底面边长为2，高为1的正三棱
柱．其外接球的球心为上下底面中心连线的中点．∴R2＝12＋
答案C
5．正六棱锥P—ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D—GAC
与三棱锥P—GAC体积之比为（）
A．1:
1B．1:
2
C．2:
1D．3:
2
解析设棱锥的高为h，
11
VD—GAC＝VG—DAC＝3S△ADC·2h，
11hVP—GAC＝2VP—ABC＝VG—ABC＝3S△ABC·2.
又S△ADCS△ABC＝，故VD—GACVP—GAC＝
答案C
6．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为（）
A.33
C.43
C.3
解析如图，设球心为O，OS＝OA＝OC得∠SAC＝90°，又∠ASC
22
＝45°，所以AS＝AC＝2SC，同理BS＝BC＝2SC，可得SC⊥面AOB，则VS－ABC＝31S△AOB·SC＝31×3×4＝433，故选C.
答案C
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的
体积为．
12·2rπ·l＝2π，∴rl＝2.
又∵2πl2＝2π，∴l＝2，∴r＝1.
∴h＝l2－r2＝3，
∴V＝31·π2·13＝33π.
8．（2013·福建卷）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是．
解析该球为一棱长为2的正方体的外接球，体对角线为球的直径，2R＝22＋22＋22＝23，所以该球的表面积为4πR2＝12π.
答案12π
9．（2013·江苏卷）如图，在三棱柱A1B1C1—ABC中，D，E，F分
别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F—ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1—ABC的体积为V2，则V1V2＝.
解析设三棱柱A1B1C1—ABC的高为h，底面△ABC的面积为S，
11111V1＝31×41S×12h＝214Sh＝214V2，所以V1V2＝
答案
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底
边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的侧面积S.
解
（1）由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是相邻两边长分别为6和8的矩形，高HO＝4，O点是AC与BD的交点，如图所示．
1
∴该几何体的体积V＝3×8×6×4＝64.
（2）如图所示，作OE⊥AB，OF⊥BC，侧面HAB中，HE＝HO2＋OE2
＝42＋32＝5，
11∴S△HAB＝2×AB×HE＝2×8×5＝20.
侧面HBC中，HF＝HO2＋OF2＝42＋42＝42.∴S△HBC＝12×BC×HF＝12×6×42＝122.
∴该几何体的侧面积S＝2（S△HAB＋S△HBC）＝40＋242.
11．（2014·滨州质检）一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：
m）：
（1）试画出它的直观图；
（2）求它的表面积和体积．解
（1）直观图如图所示：
（2）方法1：
由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该
3几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的4，在直
角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，则AA1EB是正方形，∴AA1＝BE＝1m.
在Rt△BEB1中，BE＝1m，EB1＝1m，∴BB1＝2m.
∴几何体的表面积
S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形
ABCD＋S矩形A1B1C1D1
＝1＋2×12×（1＋2）×1＋1×2＋1＋1×2
＝7＋2（m2）．
∴几何体的体积V＝34×1×2×1＝32（m3）．
3∴该几何体的表面积为（7＋2）m2，体积为32m3.
方法2：
几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法1，
1
V直四棱柱D1C1CD－A1B1BA＝Sh＝2×（1＋2）×1×1
12．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．
（1）求证：
DE∥平面PBC；
（2）求三棱锥A—PBC的体积．
（1）证明：
如图，取AB的中点F，连接DF，EF.
在直角梯形ABCD中，
CD∥AB，且AB＝4，CD＝2，所以BF綊
CD.
所以四边形BCDF为平行四边形．
所以DF∥BC.
在△PAB中，PE＝EA，AF＝FB，所以EF∥PB.
又因为DF∩EF＝F，PB∩BC＝B，
所以平面DEF∥平面PBC.
因为DE?
平面DEF，所以DE∥平面PBC.
（2）取AD的中点O，连接PO.
在△PAD中，PA＝PD＝AD＝2，
所以PO⊥AD，PO＝3.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，AD＝2，AB⊥AD，所11
以S△ABC＝2×AB×AD＝2×4×2＝4.
11
故三棱锥A—PBC的体积VA—PBC＝VP—ABC＝3×S△ABC×PO＝3
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