高二空间几何体练习题.docx
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高二空间几何体练习题
立体几何练习题
1-在直四棱住ABCDAiBiCiDi中，AA,2,底面是边长为1的正方形，E、F、G分
别是棱B1B、D1D、DA的中点•
（I）求证：
平面AD1E//平面BGF;（n）求证:
D1E面AEC.
2•如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E为AB的中点.
（1）求证：
AC平面BDD1
（2）求点B到平面A1EC的距离•
3.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA平面ABC,ACB90°,AB2BC1AA'3.
（I）求三棱锥A1AB1C1的体积；
（n）若D是棱CG的中点，棱AB的中点为E,
证明：
DE//平面AB1C1
4.如图，在棱长均为2的三棱柱ABCDEF中，设侧面四边形FEBC的两对角线相交于0，若BF
丄平面AEC，ABAE.
（1）求证：
A0丄平面FEBC;
（2）求三棱锥BDEF的体积•
5.如图，在体积为1的三棱柱ABCABQ,中，侧棱AA,底面ABC,ACAB,ACAA,1,
E为线段AB上的动点•
（I）求证：
CAiCE;
7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC,
PA面ABCD，点E是PD的中点。
（I）求证：
ACPB（n）求证：
PB//平面AEC
如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，PA平面ABCD,PAAD
点F是PD的中点，点E在CD上移动。
（1）求三棱锥EPAB体积；
（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；
（3）求证：
PEAF
9•如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PDF,G分别为PC、PD、BC的中点.
（1）求证：
PA平面EFG；
（2）求证：
GC平面PEF；
（3）
求三棱锥PEFG的体积.
平面ABCD，PDAB2，E,
10.如图6，已知四棱锥PABCD中，PA丄平面ABCD,ABCD是直角梯形,BAD=90o,BC2AD.
（1）求证：
AB丄PD;
（2）在线段PB上是否存在一点E,使AE//平面PCD,
若存在，指出点E的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.
11.
如图
（1）,ABC是等腰直角三角形，ACBC4,ACB90,E,F分别是AC,AB的中点，将AEF折起,使点A到达A位置，且A在平面BCEF上的射影恰为点E,如图
（2）.
（1）求证EFAC;
（2）求点F到平面ABC的距离.
12.如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图
如图所示）。
（I）求四棱锥PABCD的体积；
（n）若G为BC上的动点，求证：
AEPG。
13.如图，四边形ABCD为矩形，DA平面ABE,
C尺寸
AEEBBC2,BF平面ACE于点F,
且点F在CE上.
（I）求证：
AEBE;
（n）求三棱锥DAEC的体积；
（川）设点M在线段AB上，且满足AM2MB,试在线段CE上确定一点N，使得MNII平面DAE.
14•已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的三视图如图所示
（1）画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的
体积；
（2）若E为AA上一点，EBII平面A,CD,
ABADa,BFDHb.
（I）证明：
截面四边形EFGH是菱形;
（n）求三棱锥FABH的体积.
16.正方形ABCD中,AB=2E是AB边的中点，F是BC边上一点，将△AED及
△DCF折起（如下图），使AC点重合于A'点.
1
（1）证明：
ADEF;
（2）当BF=’BC时，求三棱锥A'—EFD的体积.
4
17、已知四棱锥PABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点•
⑴求四棱锥PABCD的体积;
19、如图，四棱锥P—ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形,PDCL底面ABCDE为PC的中点。
（I）求异面直线PA与DE所成的角;（II）求点D到面PAB的距离•
20.如图，在三棱锥A-BCD中,侧面ABDACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD-J3,
BD-CD-1,另一个侧面是正三角形
（1）求证：
AD八BC
（2）在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30角？
若存在确定E的位置；若不存在，说明理由。
立体几何参考答案
1.证明：
（I）E,F分别是棱BB1,DD1中点
BE//D1F且BED1F四边形BEDjF为平行四边形
D1E//BF又D1E平面AD1E,BF平面AD1E
BF//平面ADiE3分
又G是棱DA的中点GF//AD1又AD1平面AD1E,GF平面AD1E
又BFIGFF
平面AD1E//平面BGF
6分
（n）Q
AA2
AD1
...AA2ADj
5,同理
AE.2,D1E、、3
AD12
D1E2
AE2
D1EAE
....9分
QAC
BD,AC
D1D
AC面BD-
又D-E
平面BD1,AC
D1E
又ACI
AEA,
AC
面AEC,AE面AEC
D1E面AEC……
•-12分
2.
（1）
连接BD,
由已知有D1D平面ABCD、得ACD1D
又由ABCD是正方形，得：
ACBD、
•••D1D与BD相交，•AC
平面BDD-
（2）•/
A-AE
CBE
•A,ECE
■■5又
•/A1C2.3
•••点E到A-C
GF//平面AD1E5分
-EBAiA1，
2
Saeb
的距离d53,2，有:
1,—
Sa-ec—ACd\6
2
又由VB
AECVcaeb,设点B到平面A-EC的距离为
晁76
3SaiEB
CB，有6h2,h——,所以点B到平面AEC的距离为——33
1，二AC-.3.•••AA、、3,•••四边形ACC-A
•EFPAB1.
•••AB1平面AB1C1,EF平面AB1C1,
•EFP平面AB1C1.------10分
同理可证FDP平面AB1C1.•••EFIFDF,
•••平面EFDP平面ABQ.•/DE平面EFD,DEP平面AB1C1.——12
分
4.
（1）证明：
•••BF丄平面AEC，而AO平面SEC•BF丄AO2分
•••AEAB,ABAC•AEAC,而BCFE为菱形，贝VO为EC中点，
•AO丄EC,且BFECO•AO丄平面BCFE.6分
（2）QDA//BE,BEBCFEDA//平面BCFE
•••点D、A到面BCFE的距离相等8分
VBDEFVDBEFVABEF-AEAB,AO=AO
AOE^AOB得OE=OB,艮卩EC=FB而BCFE为菱形，则BCFE是正方形,
12分
14分
计算得AO=、,2,EFB的面积等于正方形BCFE的一半2,
因此VBDEF32„2[J2
5.解：
（I）证明：
连结AC1,Q侧棱AA1底面ABC
•••AC丄平面BCGB又TBG平面BCGBi
•••AC丄BC4分A
（2）证明：
设CB与GB的交点为E,连结DE
•/D是AB的中点，E是BC的中点•DE//AC又tDE平面CDB,AG平面
CDB
•AC//平面CDB8分
（3）tDE//AGCED为AG与BiC所成的角
15i5i_
在△CED中ED=_AC=_,CD=_AB=_CE=_CB=2^2•cos/
22222
CED=822
22罷-5
2
•••异面直线AG与BiC所成角的余弦值为勿2。
12分
5
的中点
i2
PB面AEC,EO面AEC•PB//面AEC
中占
I八\、：
PCD.10分
1
1
1
1
1
（3）'
•-PF-PD
1,EF
-CD
1,
•SPEF
-EFPF
•/GC-BC1
2
2
2
2
2
Vp
EFGVGPEF
1S
PEF
GC-
1
11•…
14分
3
3
2
6
10.解：
（1）
平面ABCD,
丄PD.
（2）取线段PB的中点E,
PC的中点F，连结AE,EF,DF,
1则EF是厶PBC中位线.•••EF//BC,EF-BC
2
1•/AD//BC,AD-BC/.AD//EF,ADEF
2，
•四边形EFDA是平行四边形，……10分
•AE//DF.TAE平面PCD,DF平面PCD,
•AE//平面PCD.•••线段PB的中点E是符合题意要求的点.
11.解：
（1）证明：
在等腰直角ABC中,E,F分别是AC,AB的中点
EF//BC且BCACEFAC
在四棱锥A'BCEF中,EFA'E,EFEC
又A'EECE,A'E平面A'EC,EC平面A'EC
EF平面A'EC
A'C平面A'EC
EFAC6分
⑵解：
BC//EF
由
（1）得BCAC由已知得'E
AEEC
平面BCEF
在RtA'CE中A'CME2EC
22222,BC4
11一_
SA'BC-22442
22
设点F到平面ABC的距离为d,由Vf
SA'BCd
3
A'BC
A'BC
A'BCVa'FBC得
1
-SfbcA'E
3
1422
22
4.2
.SFBCA'E
d
S
所以点F到平面ABC的距离为•2
A'BC
14分
12.解：
（I）由几何体的三视图可知，低面
PA面ABCD,PA//EB，且PA
VPABCD
（n）连BP
1
-PASABCD
3
cEB
Q——
AB
1
3
BA
PA
4,2
ABCD是边长为4的正方形，
42,BE2、2,ABADCDCB4,
46^1
3，厂
BEA,
EBABAP
90°
\/序穆團
0
firn於
PBA
PBAE又QBC平面APEB,
AE
13.解：
（
而BF
又BE
（n）在
PBA
BAE
10分
BCAE,
由已知及（I）得EH
BEABAE
AE平面PBG
PG
I）证明：
由AD平面ACE，贝U平面BCE，故AEBE。
ABE中，过点E作EHAB于点H，贝U
-AB-2,SADC22.故Vd2
平面ABE及AD//BC得BCBFAE，又BCIBF
EH
AEC
M作MG//AE交BE于点G，在冲丄CNBGMB1m^,
，则由得CN
CEBEAB3平面ADE，则MG〃平面ADE
（川）在ABE中过点
BC于点N，连接MN
再由GN〃BC,BC〃AD得GN//平面ADE，又MN
90
平面则AE
ABE，贝UAE平面BCE,
平面ACD.
VeADC322丄
BC
4
3
BEC中过点G作GN//BC交
1
-CE由平面ADE,AE
3
平面MGN,则MN//平面ADE.
故当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时，
14.（本小题主要考查空间中线面关系，空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力
（1）（参考右下图一一图略）；（3分）
MN//平面ADE.
VSabcdAA6/2（6分）
（2）作EF//AD交A,D于F,连CF,贝yBCFE共面
QEB//平面AQD,
BE//CF，又EF//BC,BCFE为平行四边形.
EFBC〔AD,
2
E为AAi的中点.
（10分）
在矩形AA1B1B中,
AB
2,AE2
AEA£
ABBB1，
AB1B:
ABE,AB1B
ABE,BE
AB1
又AD
AA1,ADAB,
AA1IABA
AD
平面AABB,BE
平面AABB
AD
BE,AB1IADA
BE
平面AB1C1D.
（14分）
15.解：
C
I）证明：
因为平面ABEF/平面CDHG,
且平面EFGH分别交平面ABFE、
平面CDHG于
直线EF、
GH，所以EF//GH
.同理，FG//EH.
因此，四边形EFGH为平行四边形
.
（1）
因为BD
AC，而AC为EG在底面ABCD上的射影,
所以
因为BF
DH，所以FH/BD.
因此，FHEG.
（2）
由
（1）、
（2）可知：
四边形EFGH是菱形；
EG
6分
（II）因为DA平面ABFE,HD
D
//AE，所以H到平面ABF的距离为DAa.
于是，由等体积法得所求体积
Vf
ABH
16.
（1）证明：
TADAE,A'
5
（2J
解：
•/A'D平面AEF.
由BE=1,BF=
•••A
1111
VhabfSabfDAabaa?
b…12分
3326
A'F,,•.A'D平面AEF.「.A'
EF
D是三棱锥D-A'EF的高
.5
出EF=
2
仝
Sva'EF
4
1-5.2
34
四棱锥
1
.Sa，ef.A'D=
3AEF
17、解：
（1）由三视图可知，
面ABCD，且PC2.
…VPABCDrS正方形ABCDPC
3
VA'-EFD
VDA'EFA'EF
12
6
PABCD的底面是边长为
1的正方形,
侧棱PC底
12
1122即四棱锥P
33
2
ABCD的体积为—•
3
（2）不论点E在何位置，都有BDAE.5分
证明如下：
连结AC，:
ABCD是正方形，•BDAC••…
•••PC底面ABCD，且BD平面ABCD,•BDPC.
又•••ACIPCC,•BD平面PAC•8分
•••不论点E在何位置，
BDAE9分
⑶解：
在平面DAE内过点
都有AE平面PAC.
D作DFAE于F，连结
BE厂12.2,AE
•••不论点E在何位置，都有
•••ADAB1,DE
•-Rt△ADE也Rt△ABE，从而△ADF◎△ABF,•BF
•DFB为二面角D
BF.
AE.3,
AE.
在Rt△ADE中，DF
AEB的平面角•
ADDE
AE
12分
又BD,2，在△DFB中，
DF2BF2BD2
cosDFB
2DFBF
DGB120，即二面角
12
J3
由余弦定理得
222
3
2?
3
DAE
BF，
13分
C
B的大小为120.
14分
18
（1）
证法一：
取CE的中点G，连FG、BG.
1•/F为CD的中点，•GF//DE且GF1DE.
2
平面ACD,「.AB//DE,•GF//AB•…2分
•/AB
平面ACD,DE
又AB
1
DE,•GF
2
•/AF
平面BCE,BG
分
证法二：
取DE的中点M，连AM、FM.
AB.•四边形GFAB为平行四边形，则AF//BG.
平面BCE,•AF//平面BCE.
•/F为CD的中点，•FM//CE1分
•••AB平面ACD,DE平面ACD,「.DE//AB.
1又AB-DEME,
2
•••四边形ABEM为平行四边形，则AM//BE•
•••FM、AM
•-FM
又FM
•/AF
证：
•••
•/DE
又CDI
9分
•/BG
//平面
AM
平面
2分
平面BCE,CE、BE平面BCE,
BCE,AM//平面BCE•
M，•平面AFM//平面BCE•4分
AFM,•AF//平面BCE•5分
ACD为等边三角形，F为CD的中点，•AFCD•6分
ACD,AF平面ACD,「.DEAF•7分
D，故AF平面CDE.：
BG//AF，•-BG平面CDE•
平面
DE
平面
BCE，•平面BCE平面CDE.……CE于H，连BH.
解：
在平面CDE内，过F作FH
•FH平面BCE.
•FBH为BF和平面BCE所成的角•
10分⑶
•••平面BCE
平面CDE，
12分
设ADDE2AB2a
FH
CFsin45
BFAB2—AF2
Rt△FHB中，sin
a2G3a）22a,
—.•直线BF和平面BCE所成角的正弦值
4
FHFBH
BF
14分
为迄
4
19、【解】
（1）解法一：
连结AC,BD交于点0,连结E0.T四边形ABCD为正方形，•AO=CO又•••PE=EC「.PA//EO
3分
•ADL面PCD•ADLPD.在Rt△PAD中，PD=ADa，贝U
•••/DEO为异面直线PA与DE所成的角
•••面PCDL面ABCDAD丄CD
PA2a，
EDF308分
10分
⑵设E为所求的点，作EFCH于F,连FD•则EF//AH
EF面BCD,EDF就是ED与面BCD所成的角,则
EFx
AHHC1,则CFx,FD1x2.tanEDF空
FD
解得x2则cE，2x1.
2
故线段AC上存在E点，且CE1时，ED与面BCD成30角•……12分
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