第二章 21211 离散型随机变量.docx
《第二章 21211 离散型随机变量.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章 21211 离散型随机变量.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第二章21211离散型随机变量
2．1.1 离散型随机变量
预习课本P44～45，思考并完成以下问题
1．随机变量和离散型随机变量的概念是什么？
随机变量是如何表示的？
2．随机变量与函数的关系？
1．随机变量
（1）定义：
在一个对应关系下，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
（2）表示：
随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
2．离散型随机变量
如果随机变量X的所有取值都能一一列出，则称X为离散型随机变量．
3．随机变量和函数的关系
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数，函数把实数映射为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．
1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．（ ）
（2）手机电池的使用寿命X是离散型随机变量．（ ）
答案：
（1）√
（2）×
2．下列变量中，是离散型随机变量的是（ ）
A．到2018年5月1日止，我国被确诊的艾滋病人数
B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C．某人在车站等出租车的时间
D．某人投篮10次，可能投中的次数
答案：
D
3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中无放回的条件下每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（ ）
A．1,2，…，6 B．1,2，…，7
C．1,2，…，11 D．1,2,3，…
答案：
B
4．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：
每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是________．
答案：
300,100,－100,－300
随机变量的概念
[典例] 判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由．
（1）从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被抽出卡片的号数；
（2）抛两枚骰子，出现的点数之和；
（3）体积为8cm3的正方体的棱长．
[解]
（1）被抽取卡片的号数可能是1,2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量．
（2）抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，共11种情况，出现哪种情况都是随机的，因此是随机变量．
（3）正方体的棱长为定值，不是随机变量．
判断一个试验是否是随机试验，依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件，即
（1）试验在相同条件下是否可重复进行；
（2）试验的所有可能的结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；
（3）每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．
[活学活用]
指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由：
（1）某人射击一次命中的环数；
（2）掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；
（3）某个人的属相随年龄的变化．
解：
（1）某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．
（2）掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．
（3）一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．
离散型随机变量的判定
[典例] 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
（1）湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；
（2）在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；
（3）丁俊晖在2017年世锦赛中每局所得的分数．
[解]
（1）桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量．
（2）小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．
（3）每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量．
判断离散型随机变量的方法
（1）明确随机试验的所有可能结果．
（2）将随机试验的结果数量化．
（3）确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
[活学活用]
下列随机变量是离散型随机变量的个数是（ ）
①掷一枚骰子出现的点数；
②投篮一次的结果；
③某同学在12：
00至12：
30到校的时间；
④从含有50件合格品，10件次品中任取3件，其中合格品的件数．
A．1 B．2
C．3D．4
解析：
选C ①中骰子出现的点数为1,2,3,4,5,6，可以一一列举出来，②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来．④中3件产品的合格数可能为0,1,2,3，共4种情况，可以一一列举出来．③中学生到校时间可以是12：
00到12：
30中的任意时刻，不能一一列举出来，因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足.
用随机变量表示试验的结果
[典例] 写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
（1）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数．
（2）从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
[解]
（1）设所需的取球次数为X,则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前（i－1）次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3,4，…，11.
（2）设所取卡片上的数字之和为X,则X＝3,4,5，…，11.
X＝3,表示“取出标有1,2的两张卡片”；
X＝4,表示“取出标有1,3的两张卡片”；
X＝5,表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”；
X＝6,表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；
X＝7,表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；
X＝8,表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；
X＝9,表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；
X＝10,表示“取出标有4,6的两张卡片”；
X＝11,表示“取出标有5,6的两张卡片”．
[一题多变]
1．[变条件]若本例
（2）中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量ξ，请问ξ有哪些取值？
其中ξ＝4表示什么含义？
解：
ξ的所有可能取值有：
1,2,3,4,5.
ξ＝4表示“取出标有1,5或2,6的两张卡片”．
2．[变条件，变问法]甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果．
解：
根据题意可知X的可能取值为4,5,6,7.
X＝4表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局．
X＝5表示在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出．
X＝6表示在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出．
X＝7表示在前6局中，两人打平，后一局有1人胜出．
解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
（1）关键点：
解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
（2）注意点：
解答过程中不要漏掉某些试验结果．
层级一 学业水平达标
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②解答高考数学卷Ⅰ的时间是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3D．4
解析：
选D 由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的．
2．将一个骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ ）
A．两次掷出的点数之和
B．两次掷出的最大点数
C．第一次与第二次掷出的点数之差
D．两次掷出的点数
解析：
选D 将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．同理，两次掷出的最大点数、第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量，而两次掷出的点数不是一个变量．
3．下面给出三个随机变量：
①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数X；
②某森林树木的高度在（0,50]（单位：
m）这一范围内变化，测得某一树木的高度X；
③某人射击一次击中的环数．
其中离散型随机变量有（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：
选C 由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的，故均为离散型随机变量，而②中的随机变量可以取（0,50]内的任意值，无法一一列举，故它不是离散型随机变量．
4．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值是（ ）
A．1,2，…，5B．1,2，…，10
C．2,3，…，10D．1,2，…，6
解析：
选C 第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.
5．对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为X，则X＝k表示的试验结果为（ ）
A．第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
C．前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
解析：
选D X就是检测到次品前正品的个数，X＝k表明前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测到的是次品．
6．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为
，记甲击中目标的次数为X，则X的可能取值为________．
解析：
甲可能在3次射击中，可能一次未中，也可能中1次，2次，3次．
答案：
0,1,2,3
7．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为X，则{X<2}表示的试验结果是__________________________．
解析：
应分X＝0和X＝1两类．X＝0表示取到3件正品；X＝1表示取到1件次品、2件正品．故{X<2}表示的试验结果为取到1件次品、2件正品或取到3件正品．
答案：
取到1件次品、2件正品或取到3件正品
8．一批产品共有12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．
解析：
可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品．X的结果有0,1,2,3.
答案：
0,1,2,3
9．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产了1件次品、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内得分为X，写出X的可能取值．
解：
X的可能取值为0,1,2.
X＝0表示在两天检查中均发现了次品．
X＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品．
X＝2表示在两天检查中没有发现次品．
10．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：
（1）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；
（2）在西安至成都的高铁线上，每隔500m有一电线铁塔，将电线铁塔进行编号，则某一电线铁塔的编号X；
（3）江西九江市长江水位监测站所测水位在（0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位X.
解：
（1）不是离散型随机变量．因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出．
（2）是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始，可以一一列出．
（3）不是离散型随机变量．因为水位在（0,29]范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．
层级二 应试能力达标
1．下列所述：
①某座大桥一天经过的车辆数X；②某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X；③一天之内的温度X；④一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分．其中X是离散型随机变量的是（ ）
A．①②③ B．①②④
C．①③④D．②③④
解析：
选B ①②④中的X可以取的值可以一一列举出来，而③中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的．
2．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果为（ ）
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
解析：
选D 由“X≥5”知，最大点数与最小点数之差不小于5.
3．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为（ ）
A．X＝4B．X＝5
C．X＝6D．X≤4
解析：
选C 第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.
4．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为Y，则Y所有可能值的个数是（ ）
A．25B．10
C．7D．6
解析：
选C ∵Y表示取出的2个球的号码之和，又1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋4＝7,3＋5＝8,4＋5＝9，故Y的所有可能取值为3,4,5,6,7,8,9，共7个．
5．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大值可能为________．
解析：
由题意可知X取最大值时只剩下一把钥匙，但锁此时未打开，故试验次数为4.
答案：
4
6．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字（两两不同），设他拨到所要号码时总共拨的次数为X，则随机变量X的所有可能取值的种数为________．
解析：
由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A
＝24种．
答案：
24
7．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
（1）一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；
（2）抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.
解：
（1）X可取0,1,2.
X＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0,1,2.
（2）Y的可能取值为2,3,4，…，12.若以（i，j）表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，
则{Y＝2}表示（1,1）；
{Y＝3}表示（1,2），（2,1）；
{Y＝4}表示（1,3），（2,2），（3,1）；
{Y＝5}表示（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）；
{Y＝6}表示（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1）；
{Y＝7}表示（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1）；
{Y＝8}表示（2,6），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2）；
{Y＝9}表示（3,6），（4,5），（5,4），（6,3）；
{Y＝10}表示（4,6），（5,5），（6,4）；
{Y＝11}表示（5,6），（6,5）；
{Y＝12}表示（6,6）．
8．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为X，
（1）列表说明可能出现的结果与对应的X的值；
（2）若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y的随机变量类型．
解：
（1）
X
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球2个黑球
取得2个白球1个黑球
取得3个白球
（2）由题意可得Y＝5X＋6，
而X可能的取值范围为{0,1,2,3}，
所以Y对应的各值是6,11,16,21.
故Y的可能取值为6,11,16,21，显然Y为离散型随机变量．
升级会员 