届高三数学上学期第二次月考试题理科附答案.docx

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届高三数学上学期第二次月考试题理科附答案

2019届高三数学上学期第二次月考试题理科附答案

理科数学

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A＝[－1，2]，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则A∩B＝（　　）

A.[1，4]B.[1，2]C.[－1，0]D.[0，2]

2.设i是虚数单位，复数a＋i1＋i为纯虚数，则实数a的值为（　　）

A.－1B.1C.－2D.2

3.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（　　）

4．已知等差数列中，是函数的两个零点，则的前项和等于（）

A．B．C．D．

5．下列命题错误的是（）

A.命题“”的否定是“”;

B.若p∧q是假命题，则p，q都是假命题

C.双曲线的焦距为

D.设a，b是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a⊂α，且b∥α

6．已知，则（）

A．B．C．D．

7．已知函数则（）

A.B.C.D.

8.若，，，，则（）

A．B．C.D．

9．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴是直线（）

A.B.C.D.

10.已知，点为斜边的中点，,,,则等于（）

A.B.C.D.

11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）

A.B.C.D.

12．若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量与的夹角为，且，，则．

14．设实数满足约束条件，则的最大值是_______.

15．有一个游戏：

盒子里有个球，甲，乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢。

若甲先拿，则下列说法正确的有：

__________．

①若=4，则甲有必赢的策略；②若=6，则乙有必赢的策略；

③若=7，则乙有必赢的策略；④若=9，则甲有必赢的策略。

16.中，三内角的对边分别且满足，，是以为直径的圆上一点，则的最大值为__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本题12分）如图，已知是中的角平分线，交边于点.

（1）证明：

；

（2）若，求的长．

18．（本题12分）如图，由围成的曲边三角形，在曲线弧上有一点，

（1）求以为切点的切线方程；

（2）若与两直线分别交于两点，试确定的位置，使面积最大。

19.（本题12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.

（1）求证：

AF∥平面BCE；

（2）求二面角C－BE－D的余弦值的大小.

20.（本题12分）若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）设数列{cn}满足cn＝an＋1bn＋1，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式（－1）nλ

21.（本题12分）已知，，

（Ⅰ）若，求的极值；

（Ⅱ）若函数的两个零点为，记，证明：

．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程（本题12分）

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：

．

（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线与曲线交于不同的两点，若，求的值．

23.选修4-5：

不等式选讲（本题12分）

已知定义在R上的函数f（x）＝|x－m|＋|x|，m∈N*，若存在实数x使得f（x）<2成立.

（1）求实数m的值；

（2）若求证：

。

衡阳市八中2019届高三第二次月考试题

理科数学答案

命题人：

罗欢审题人：

彭韬

题号123456789101112

答案DADCBDDACCCB

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A＝[－1，2]，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则A∩B＝（　D　）

A.[1，4]B.[1，2]C.[－1，0]D.[0，2]

2.设i是虚数单位，复数a＋i1＋i为纯虚数，则实数a的值为（　A　）

A.－1B.1C.－2D.2

3.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（　D　）

4．已知等差数列中，是函数的两个零点，则的前项和等于（C）

A．B．C．D．

5．下列命题错误的是（B）

A.命题“”的否定是“”;

B.若p∧q是假命题，则p，q都是假命题

C.双曲线的焦距为

D.设a，b是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a⊂α，且b∥α

6．已知，则（D）

A．B．C．D．

7．已知函数则（D）

A.B.C.D.

8.若，，，，则（A）

A．B．C.D．

9．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴是直线（C）

A.B.C.D.

10.已知，点为斜边的中点，,,,则等于（C）

A.B.C.D.

11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（C）

A.B.C.D.

12．若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（B）

A.B.C.D.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量与的夹角为，且，，则．

14．设实数满足约束条件，则的最大值是_______.

15．有一个游戏：

盒子里有个球，甲，乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢。

若甲先拿，则下列说法正确的有：

____④______．

①若=4，则甲有必赢的策略；②若=6，则乙有必赢的策略；

③若=7，则乙有必赢的策略；④若=9，则甲有必赢的策略。

16.中，三内角的对边分别且满足，，是以为直径的圆上一点，则的最大值为__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本题12分）

如图，已知是中的角平分线，交边于点.

（1）证明：

；

（2）若，求的长．

17.解：

（1）在中，

（1）………………2分

在中，

（2）………………4分

又………………6分

（2）在中，

又………………8分

法一：

在中，

………………10分

在中，

………………12分

法二：

故………………10分

在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB•BDcos∠ABD

所以．………………12分

18．如图，由围成的曲边三角形，在曲线弧上求一点，使得过所作的的切线与围成的三角形面积最大。

设得切线方程，

通过求导知：

当时，面积最大，此时

19.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.

（1）求证：

AF∥平面BCE；

（2）求二面角C－BE－D的余弦值的大小.

解　设AD＝DE＝2AB＝2a，以AC，AB所在的直线分别作为x轴、z轴，以过点A在平面ACD内和AC垂直的直线作为y轴，建立如图所示的坐标系，

A（0，0，0），C（2a，0，0），B（0，0，a），D（a，3a，0），E（a，3a，2a）.

∵F为CD的中点，∴F32a，3a2，0.

（1）证明　AF→＝32a，32a，0，BE→＝（a，3a，a），BC→＝（2a，0，－a），

∴AF→＝12（BE→＋BC→），AF⊄平面BCE，

∴AF∥平面BCE.

（2）设平面BCE的一个法向量m＝（x，y，z），

则m•BE→＝0，m•BC→＝0，即x＋3y＋z＝0，2x－z＝0，不妨令x＝1可得m＝（1，－3，2）.

设平面BDE的一个法向量n＝（x，y，z），则n•BE→＝0，n•BD→＝0，

即x＋3y＋z＝0，x＋3y－z＝0.令x＝3可得n＝（3，－1，0）.

于是，cos〈m，n〉＝m•n|m|×|n|＝64.

故二面角C－BE－D的余弦值为64.

20.若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）设数列{cn}满足cn＝an＋1bn＋1，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式（－1）nλ

解　

（1）∵数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

∴n＝1时，a1＋1＝2，解得a1＝1.

又数列{an}是公差为2的等差数列，

∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1.

∴2nbn＝nbn＋1，化为2bn＝bn＋1，

∴数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.

∴bn＝2n－1.

（2）由数列{cn}满足cn＝an＋1bn＋1＝2n2n＝n2n－1，

数列{cn}的前n项和为

Tn＝1＋22＋322＋…＋n2n－1，

∴12Tn＝12＋222＋…＋n－12n－1＋n2n，

两式作差，得

∴12Tn＝1＋12＋122＋…＋12n－1－n2n＝1－12n1－12－n2n＝2－n＋22n，∴Tn＝4－n＋22n－1.

不等式（－1）nλ

n＝2k（k∈N*）时，λ<4－22n－1，取n＝2，∴λ<3.

n＝2k－1（k∈N*）时，－λ<4－22n－1，取n＝1，∴λ>－2.

综上可得：

实数λ的取值范围是（－2，3）.

21.已知，，

（Ⅰ）若，求的极值；

（Ⅱ）若函数的两个零点为，记，证明：

．

21.解：

（Ⅰ）

令得：

当时，，即在上单调递增，

当时，，即在上单调递减，

，不存在．

（Ⅱ）函数的两个零点为，不妨设，

，

即

又，，

，

．

令，则

在上单调递减，故，

，即，

又，．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：

．

（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线与曲线交于不同的两点，若，求的值．

22.解：

（Ⅰ）直线普通方程为，曲线的极坐标方程为，，则，即为曲线的普通方程．

（Ⅱ）将（为参数，）代入曲线．

，

或．

23.选修4-5：

不等式选讲

已知定义在R上的函数f（x）＝|x－m|＋|x|，m∈N*，若存在实数x使得f（x）<2成立.

（1）求实数m的值；

（2）若α，β>1，f（α）＋f（β）＝6，求证：

4α＋1β≥94.

（1）解　因为|x－m|＋|x|≥|x－m－x|＝|m|，

要使|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得－2

∵m∈N*，∴m＝1.

（2）证明　α，β>1，f（α）＋f（β）＝2α－1＋2β－1＝6，

∴α＋β＝4，

∴4α＋1β≥144α＋1β（α＋β）

＝145＋4βα＋αβ≥145＋24βα•αβ＝94，

当且仅当4βα＝αβ，

即α＝83，β＝43时“＝”成立，

故4α＋1β≥94.