九年级数学中考复习《四边形》压轴专题训练解析版.docx

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九年级数学中考复习《四边形》压轴专题训练解析版

《四边形》压轴专题训练

1．已知：

在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．

（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：

△OMN是等腰直⻆三角形；

（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则

（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；

（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN＝

，请求出四边形ABED的⾯积．

2．如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．

（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？

若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

（3）求DE的长．

3．已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F．

（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2

，求AD的长；

（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：

AF＝DH+FH；

（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4

，请直接写出MN的最小值．

4．如图，在△ABC中，tan∠ABC＝

，∠C＝45°，点D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝DE＝5，动点P从点B出发，沿B﹣D﹣E﹣C向终点C运动，在BD﹣DE上以每秒5个单位长度的速度运动，在EC上以每秒

个单位长度的速度运动，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点B、点N始终在PQ同侧．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S．

（1）当点P在BD﹣DE上运动时，用含t的代数式表示线段DP的长．

（2）当点N落在AB边上时，求t的值．

（3）当点P在DE上运动时，求S与t之间的函数关系式．

（4）当点P出发时，有一点H从点D出发，在线段DE上以每秒5个单位长度的速度沿D﹣E﹣D连续做往返运动，直至点P停止运动时，点H也停止运动．连结HN，直接写出HN与DE所夹锐角为45°时t的值．

5．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．

（1）发现：

当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．

①线段DG与BE之间的数量关系是　　；

②直线DG与直线BE之间的位置关系是　　；

（2）探究：

如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．

（3）应用：

在

（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．

6．如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′．

（1）如图1，B′C′与AC交于点M，C′D′与AD所在直线交于点N，若MN∥B′D′，求α；

（2）如图2，C′B′与CD交于点Q，延长C′B′与BC交于点P，当α＝30°时．

①求∠DAQ的度数；

②若AB＝6，求PQ的长度．

7．在四边形ABCD中，E为BC边中点．

（Ⅰ）已知：

如图1，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB．

求证：

（1）△ABE≌AFE；

（2）AD＝AB+CD；

（Ⅱ）已知：

如图2，若AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，点F，G均为AD上的点，AF＝AB，GD＝CD．

求证：

（1）△GEF为等边三角形；

（2）AD＝AB+

BC+CD．

8．如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BP＝BE．作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N．

（1）求证：

∠BAP＝∠BGN；

（2）若AB＝6，BC＝8，求

；

（3）如图2，在

（2）的条件下，连接CF，求tan∠CFM的值．

9．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF（其中E、G、F分别与A、B、D对应）．

（1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为　　；

（2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长；

（3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为△OGE的面积，求S的取值范围．

10．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．

（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；

（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．

11．在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交AB（或AB的延长线）于点N，连接CN．

感知：

如图①，当M为BD的中点时，易证CM＝MN．（不用证明）

探究：

如图②，点M为对角线BD上任一点（不与B、D重合）．请探究MN与CM的数量关系，并证明你的结论．

应用：

（1）直接写出△MNC的面积S的取值范围　　；

（2）若DM：

DB＝3：

5，则AN与BN的数量关系是　　．

12．已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC为边作平行四边形CEFB，连CD、CF．

（1）如图1，当E、D分别在AC和AB上时，求证：

CD＝

CF；

（2）如图2，△ADE绕点A旋转一定角度，判断

（1）中CD与CF的数量关系是否依然成立，并加以证明；

（3）如图3，AE＝

，AB＝

，将△ADE绕A点旋转一周，当四边形CEFB为菱形时，直接写出CF的长．

13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点M，已知BC＝5，点E在射线BC上，tan∠DCE＝

，点P从点B出发，以每秒2

个单位沿BD方向向终点D匀速运动，过点P作PQ⊥BD交射线BC于点O，以BP、BQ为邻边构造▱PBQF，设点P的运动时间为t（t＞0）．

（1）tan∠DBE＝　　；

（2）求点F落在CD上时t的值；

（3）求▱PBQF与△BCD重叠部分面积S与t之间的函数关系式；

（4）连接▱PBQF的对角线BF，设BF与PQ交于点N，连接MN，当MN与△ABC的边平行（不重合）或垂直时，直接写出t的值．

14．在△ABC中，AB＝AC，点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上，过点C作CD∥AB交∠CAM的平分线于点D．

（1）如图1，求证：

四边形ABCD是平行四边形；

（2）如图2，当∠ABC＝60°时，连接BD，过点D作DE⊥BD，交BN于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形（不包含△CDE），使写出的每个三角形的面积与△CDE的面积相等．

15．探索发现：

如图①，△DEC与△ABC均为等腰直角三角形，∠E＝∠ABC＝90°，点A在边CD上，B在边EC上，把△DEC绕C点旋转α（0°＜α＜180°）得到图②，在图②中连接AD、BE交于点P，则图②中：

（1）∠APB＝　　；△BCE与△ACD的关系为　　．

（2）连接图②中的AE、BD，如图③所示，若CE＝3BC＝3，则在旋转的过程中，四边形ABDE的面积是否存在最大值？

若存在，请求出最大值并说明理由；若不存在，请说明理由；

创新应用：

（3）如图④，四边形ABCE中，AB＝BC，∠ABC＝90°，CE＝2，AE＝4，连接BE，请求出BE的最大值，并说明理由．

（4）如图⑤，BE、AC为四边形ABCE的对角线，CE＝2，∠CAE＝60°，∠CAB＝90°，∠CBA＝30°，连接BE，请直接写出BE的最大值　　．

参考答案

1．解：

（1）∵BC＝AC，CD＝CE，

∴BD＝AE，

∵O、M、N分别为AB、AD、BE中点，

∴OM∥BD且OM＝

BD，ON∥AE且ON＝

AE，

∴OM＝ON，∠AOM＝∠ABD＝45°，∠BON＝∠BAE＝45°，

∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）

＝180°﹣（45°+45°）＝90°

∴△OMN是等腰直角三角形．

（2）

（1）中的结论成⽴．理由如下：

如图2，连接BD，

∵△CDE顺时针旋转90°，

∴∠ACE＝∠ACB＝90°，

在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴BD＝AE，∠CBD＝∠CAE，

∵O、M、N分别为AB、AD、BE中点，

∴OM∥BD且OM＝

BD，ON∥AE且ON＝

AE，

∴OM＝ON，∠AOM＝∠ABD，∠BON＝∠BAE，

∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）＝180°﹣（∠ABD+∠BAE）

＝180°﹣（∠ABD+∠CBD+∠BAC）＝180°﹣（∠ABC+∠BAC），

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，

∴∠MON＝180°﹣90°＝90°，

∴△OMN是等腰直角三角形．

（3）如图，连接AE、BD，由

（2）同理可证△OMN为等腰直角三角形．

∴MN＝

OM．

又∵OM＝

BD，

∴MN＝

BD，BD＝

MN＝

＝2

，

∵AC＝BC，∠BCD＝∠ACE，CE＝CD，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴BD＝AE，∠CBD＝∠CAE，

∵∠BCA＝90°，

∴∠AHB＝90°，

∴BD⊥AE，

∴四边形ABED的面积为

．

2．解：

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，

∴6+t＝2（6﹣t），

∴t＝2，

∴t＝2时，△BPQ是直角三角形．

（2）存在．

理由：

如图1中，连接BF交AC于M．

∵BF平分∠ABC，BA＝BC，

∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，

∵EF∥BQ，

∴∠EFM＝∠FBC＝

∠ABC＝30°，

∴EF＝2EM，

∴t＝2•（3﹣

t），

解得t＝3．

（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠A＝60°，

∵PK∥BC，

∴∠APK＝∠B＝60°，

∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，

∴△APK是等边三角形，

∴PA＝PK，

∵PE⊥AK，

∴AE＝EK，

∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，

∴△PKD≌△QCD（AAS），

∴DK＝DC，

∴DE＝EK+DK＝

（AK+CK）＝

AC＝3（cm）．

3．

（1）解：

如图1中，∵AB＝BD，∠BAD＝45°，

∴∠BDA＝∠BAD＝45°，

∴∠ABD＝90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴E、C重合时BF＝

BD＝

AB，

在Rt△ABF中，∵AF2＝AB2+BF2，

∴（2

）2＝（2BF）2+BF2，