电磁场与电磁波第二章课后答案解析.docx

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电磁场与电磁波第二章课后答案解析

第二章

静电场

重点和难点

电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。

利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。

通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。

至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。

讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。

介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。

关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。

介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。

至于电容和部分电容一节可以从简。

重要公式

真空中静电场方程：

积分形式：

SEdS

微分形式：

已知电荷分布求解电场强度：

E（r）

（r）；

（r）

亠dV

|rr|

E（r）

（r）（r

V4

ydV

0|rr|

高斯定律

o,Edl

介质中静电场方

积分形式：

微分形式：

线性均匀各向同性介质中静电场方程：

积分形式：

微分形式：

静电场边界条件

1，EitE2t。

对于两种各向同性的线性介质，则

Dit

D2t

2，D2nDin

S。

在两种

介质形成的边界上，则

Din

D2n

对于两种各向同性的线性介质，

1E1n

2E2n

3，介质与导体的边界条件：

en

enDS

若导体周围是各向同性的线性介质，则

En

静电场的能量：

孤立带电体的能量

:

We

Q2

离散带电体的能量

:

We

分布电荷的能量：

dV

sdS

l2

idl

静电场的能量密度：

we

对于各向同性的线性介质，

We

E2

电场力：

库仑定律：

F

Jr

r

常电荷系统：

dWe

dl

q常数

常电位系统：

dWe

dl

常数

2-1若真空中相距为

d的两个电荷

电量分别为

4q，

当点电荷位于q1及

q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求

小及位置。

解要使系统处于平衡状态，点

电荷受到点电荷q1及q2的力应该大

即Fq1q

Fq2q

40「12

q2q

2

0『2

2「1，

同时考虑到「1「2

d，求得

「1

1

3d，

2-d

3

可见点电荷q

可以任意，但应位于点电荷qt和q2的连线上，且与点电

荷q1相距id。

3

2-2已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：

qi

q2

qs

1C,

1C,

4C,

P（0,0,1）

P2（1,0,1）

P3（0,1,0）

试求位于

点的电场强度。

解令r1,r2,r3分别为三个电电荷

的位置Pj,卩2,F3到P点的距离，

r1

43，

r32。

利用点电荷的场强公式E

0r

er，其中er为点电荷

q指向场

点P的单位矢量。

那么，

qi

场强大小为

Ei

q

40r12

eri

ey

ez

q2

场强大小

E2

q2

2

0「2

120

er2

1

厂exey

J3

ez

qs在P点的场强大小为

Es

q3

2

0r3

，方向为

er3

ey

则P点的合成

电场强度为

EE1

E2E3

1

亍ex012J3

1

1ey

1

12^3

ez

2-3直接利用式（2-2-14）

计算电偶极子的电场强度。

解令点电荷q位于坐标原点，r为点电荷q至场点P的距离。

再令

点电荷q位于+Z坐标轴上，r1为点电荷q至场点p的距离。

两

个占

I八、、

产生的电场为

电荷相距为I,场点P的坐标为（r,,根据叠加原理，电偶极子在场点P

r1

r3

考虑到

>>

er1=er,

ri

cos

那么上式变为

ri

2

「1

l2

2rl

er

q

4"

（rir）（rir）

22

rr1

er

cos

l2

~2

r

2-cos

r

l

—为变量，并将

r

2-cos

r

在零点作泰勒展开。

略去咼阶项后，

r1111丄cos

rr

I

—cosr

利用球坐标系中的散度计算公式，

求出电场强度为

I

—cos

qlcos

20严

qlsin

2-4已知真空中两个点电荷的电量均为

2cm,如习

电量为

C的点电荷

题图2-4所示。

试求：

①P点的电位；②将

解根据叠加

原理，P点的

合成电位为

习题图2-4

q6

22.5106V

4or

因此，将电量为210C的点电荷由无限远处缓慢地移到P点，外力

必须做的功为Wq5J

2-5通过电位计算有限长线电荷的电场强度。

解建立圆柱坐标系。

令先电

荷沿z轴放置，由于结构以z轴对称，

场强与无关。

为了简单起见，令场点

位于yz平面。

设线电荷的长度为L，密度为

HL

I

线电荷的中点位于坐标原

场点P的坐标为r,—,z

2

电位叠加原理，求得场点

利用

P的电位为

dI习题图

2-5

2「0

式中r0

Jz

r2。

故

In

JzI2r2

_L

~2

—^In-

40

z

IL22

yz2「

J'；~2

2

r

电场强度的

z分量为

Ez

—In—

40z

z

Jr2

sin

40）

L22

2r1

jzfr2

Yz

i

1

1

4

or/

zL「22

丨2

（1zL2

r

V1r

i

r

r

1

1

l

Jr

2

z

zL22

4or

L/22

i.

Sin2

4or

电场强度的

r分量为

Er

4o7n

zLr2

\2

Vz

4or

JzL22r2

zL/2VzL22r2

L/22r2z

L2

zL2

2-6

l

4or

4or

l

4or

1arctan

zL'2

I

zL2J1

zL/22

亠丄h亠

tan1tan1卞tan1

1

tan22

tan2

1

tan22

cos

cos

cos2

arctan

cos

-，那么，合成电强为

E—

4or

L时，1

sin

0,

sin

1ez

cos2cos1er

则合成电场强度为

2or^

这些结果与教材2-2节例4完全相同。

已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度

0sin,0

，试求圆心处的电场强度。

xy

2-6所示。

那么，

在圆心处产生的

为对称，因此，

建立直角坐标，平面，且以y轴为

习题图2-6

电场强度具有两个分量Ex和

Ey。

仅需考虑电场强度的Ey分量，即

令线电荷位于

对称，如习题

点电荷|dl

电荷分布以y

dEdEy—sin

4oa

考虑到dIad

losin，代入上式求得合成电场强度为

Eeyo亡in2d

2-7已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为

求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。

解建立直角坐位于坐标原点，

2-7所示。

那么，

习题图2-7

电荷|dl

在z轴上P点产生的电位为

idl

4or

根据叠加原理，圆环线电荷在P点产生的合成电位为

2oPa

la

22

z

12a||2a

Z「o「dl厂odl

因电场强度E

则圆环线电荷在P点产生的电场强度为

z

ez

z

2-8设宽度为W，

面密度为

的带状

电荷位于真空中，

试求空间任一点的电场强度。

（a）

（b）

习题图2-8

xz平面内，如习题图2-8所示。

带状电荷可划分为很多条宽度为

dx的无限长线电荷，其线密度为sdx。

该无限长线电荷产生

的电场强度与坐标变量z无关，即

sdx

dE2or

er

er

dE

xx

ex

r

1

-exr

eyV

w

~2

w

sdx

2Tex

0xxy

eyy

sdx

-22

20xxy

ex

xeyy

ex

w2

x2y

sI厶

-ln2

0w2

x?

y

ww

x—x—

eyarctan2arctan2

y20

2-9

已知均匀分布的带电圆盘半径为a,面

电荷密度

位于z=0平面，

且盘心与原点重合，

试求圆盘

轴线上任一点电场强度

上取一半径为dr的圆环，该圆

荷量为dq2rd

解如图2-9所

示，

习题图2-9

由于对称性，该圆环电荷在

在圆盘

r，

环具有的电

宽度为

z轴上任一点P产

生的电场强度仅的

P产生的电场强度的

z分量。

根据习题2-7z分量为

获知该圆环电荷在

那么，整个圆盘

dEz

电荷在

zrsdr

20r2z232

P产生的电场强度为

Eez

zrdrs

3Tez-—

20

z2r2

2-10已知电荷密度为

的两块无限大面电荷分别位于x=0

及x=1平面，试求x

1,0

区域中的电场强度。

解无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。

因此，位于x=0平面内的无限大面电

，在x<0区域中产生的电场强度E1

exE1，在x>0区域中

产生的电场强度E1exE1。

位于x=1平面内的无限大面电荷

在x<1区域中产生的电场强度E2exE2，在x>1区域中产生的电

场强度

E2

exE2。

电场强度法向边界条件获知，

0巳

0E1

0E20E2

0E1

0E1

0E2

0E2

由此求得

E1

E2

根据叠加定理，各区域中

的电场强度应为

E1

E2

exE1

exE2

0,

E1

E2

exE1

exE2

E1

E2

exE1

exE2

0,

2-11若在球坐标系

，电荷分布函数为

试求0ra,ar

区域中的电通密度

解作一个半径为r的球面为高斯面，由对称性可知

式中q

在

在

为闭合面s包围

0

a区域中b区域中

D

4r

的电荷。

那么

，由于q=0，因此D=0。

，闭合面S包围的电荷量为

dv106

v

433

-ra

3

er

b区域中，闭合面

S包围

的电荷量为

dv

v

106

-b3a3

3

3

a

-—er

r

er

qr

试求球内外各点的电位。

a区域中，

电位为

Edr

r

dr

dr

dr

a区域中，

2-13