人教版八年级上册数学第十二章《全等三角形》单元练习题.docx

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人教版八年级上册数学第十二章《全等三角形》单元练习题

《全等三角形》单元练习题

一．选择题

1．如图，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论中，不正确的是（　　）

A．AC＝CEB．∠BAC＝∠ECDC．∠ACB＝∠ECDD．∠B＝∠D

2．如图，AB＝DB，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（　　）

A．BC＝BEB．AC＝DEC．∠A＝∠DD．∠ACB＝∠DEB

3．如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（　　）

A．∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABCB．∠BAD＝∠ABC，∠ABD＝∠BAC

C．BD＝AC，∠BAD＝∠ABCD．AD＝BC，BD＝AC

4．若△MNP≌△MNQ，且MN＝8，NP＝7，PM＝6，则MQ的长为（　　）

A．8B．7C．6D．5

5．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　）

A．在∠A、∠B两内角平分线的交点处

B．在AC、BC两边中线的交点处

C．在AC、BC两边高线的交点处

D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处

6．下列说法错误的是（　　）

A．同旁内角互补，两条直线平行

B．相等的角不一定是对顶角

C．有两个角和一条边对应相等的三角形一定全等

D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等

7．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：

①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）

A．（SSS）B．（SAS）C．（ASA）D．（AAS）

9．如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：

S△OBC：

S△OAC＝（　　）

A．1：

1：

1B．6：

4：

3C．2：

3：

4D．4：

3：

2

10．如图，已知∠DCE＝90°，∠DAC＝90°，BE⊥AC于B，且DC＝EC，若BE＝7，AB＝3，则AD的长为（　　）

A．3B．5C．4D．不确定

11．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：

如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（　　）

A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm

二．填空题

13．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB＝5，BC＝7，S△ABC＝12，则DE的长为　　．

14．如图，△ABC中，∠B＝∠C，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝55°，则∠A＝　　．

15．如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则△ABD与△ACD　　（填“全等”、“不一定全等”）．

16．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若DE＝4，则三角形ABC的面积为　　．

17．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝　　°．

三．解答题

18．解方程

（1）如图1，∠A＝90°，∠B＝21°，∠C＝32°，求∠BDC的度数．

（2）如图2，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，求∠OAD的度数．

19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）

（1）运动　　秒时，AE＝

DC；

（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；

（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝　　（用含α的式子表示）．

20．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．

（1）如图

（1），当t＝　　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；

（2）如图

（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．

21．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，且ED＝BD．

（1）求证：

△ABD≌△CED；

（2）若CE为∠ACD的角平分线，求∠BAC的度数．

22．如图，已知△ABC中，AB＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

23．雨伞的中截面如图所示，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，AE＝

AB，AF＝

AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？

说明理由．

24．如图，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠ABN，过C的直线分别交AM、BN于D、E．

（1）求证：

AC⊥BC；

（2）求证：

DC＝EC；

（3）求证：

AD+BE＝AB；

（4）将直线铙C转动，使DE与直线AM交于点D，与直线NB交于点E，画出不同情况的图型，探究AB、AD、BE三条线段之间是否存在某种确定的数量关系并证明．

参考答案

一．选择题

1．解：

∵△ABC≌△CDE，AB＝CD

∴∠ACB＝∠CED，AC＝CE，∠BAC＝∠ECD，∠B＝∠D

∴第三个选项∠ACB＝∠ECD是错的．

故选：

C．

2．解：

A、添加BC＝BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；

B、添加AC＝DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误；

C、添加∠A＝∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；

D、添加∠ACB＝∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确．

故选：

B．

3．解：

A、符合AAS，能判断△ABD≌△BAC；

B、符合ASA，能判断△ABD≌△BAC；

C、不能判断△ABD≌△BAC；

D、符合SSS，能判断△ABD≌△BAC．

故选：

C．

4．解：

∵△MNP≌△MNQ，

∴MP＝MQ，

已知PM＝6，

∴MQ＝6．

故选：

C．

5．解：

根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．

故选：

A．

6．解：

A、同旁内角互补，两条直线平行是正确的，不符合题意；

B、相等的角不一定是对顶角是正确的，不符合题意；

C、有两个角和一条边对应相等的三角形一定全等是正确的，不符合题意；

D、两条直线被第三条直线所截，同位角相等，说法错误，应是两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，符合题意．

故选：

D．

7．解：

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，

∴△BDF≌△CDE，故④正确；

由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF，故①正确；

∵AD是△ABC的中线，

∴△ABD和△ACD等底等高，

∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；

由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD

∴BF∥CE，故③正确．

故选：

D．

8．解：

易得OC＝0′C'，OD＝O′D'，CD＝C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，

可得∠A′O′B′＝∠AOB，所以利用的条件为SSS，

故选：

A．

9．解：

过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵O是三角形三条角平分线的交点，

∴OD＝OE＝OF，

∵AB＝20，BC＝30，AC＝40，

∴S△OAB：

S△OBC：

S△OAC＝2：

3：

4．

故选：

C．

10．解：

∵∠DCE＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，

∵BE⊥AC，

∴∠CBE＝90°，∠E+∠BCE＝90°，

∴∠ACD＝∠E，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BEC（AAS），

∴AD＝BC，AC＝BE＝7，

∵AB＝3，

∴BC＝AC﹣AB＝7﹣3＝4．

故选：

C．

11．解：

∵在△ONC和△OMC中

，

∴△MOC≌△NOC（SSS），

∴∠BOC＝∠AOC，

故选：

A．

12．解：

∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，

∴DE＝CD，

又∵AC＝BC，AC＝AE，

∴AC＝BC＝AE，

∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB

，

∵AB＝6cm，

∴△DBE的周长＝6cm．

故选：

A．

二．填空题（共5小题）

13．解：

作DF⊥AB于F，

∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，

∴DE＝DF，

∴

×AB×DF+

×BC×DE＝S△ABC，即

×5×DE+

×7×DE＝12，

解得，DE＝2，

故答案为：

2．

14．解：

在△FBD和△DCE中，

，

∴△FBD≌△DCE（SAS），

∴∠DFB＝∠EDC，

∵∠EDC+∠FDE＝∠B+∠DFB，∠FDE＝55°，

∴∠B＝∠FDE＝55°，

∵∠B＝∠C，

∴∠C＝55°，

∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，

故答案为：

70°．

15．解：

△ABD与△ACD全等，

理由是：

∵∠1＝∠C+∠CAD，∠2＝∠B+∠BAD，

又∵∠1＝∠2，∠B＝∠C，

∴∠CAD＝∠BAD，

在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（AAS），

故答案为：

全等．

16．解：

过D作DF⊥BC，

∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝4，

∴DF＝4，

∴△ABC的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积＝

，

故答案为：

36

17．解：

观察图形可知：

△ABC≌△BDE，

∴∠1＝∠DBE，

又∵∠DBE+∠3＝90°，

∴∠1+∠3＝90°．

∵∠2＝45°，

∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．

故答案为：

135．

三．解答题（共7小题）

18．

（1）解：

如图，连接AD并延长AD至点E，

∵∠BDE＝∠BAD+∠B，∠CDE＝∠CAD+∠C，

∴∠BDC＝∠CDE+∠BDE

＝∠C+∠CAD+∠BAD+∠B

＝∠BAC+∠B+∠C，

∵∠A＝90°，∠B＝21°，∠C＝32°，

∴∠BDC＝90°+21°+32°＝143°；

（2）解：

∵△OAD≌△OBC，∠C＝20°，

∴∠D＝∠C＝20°，

∵∠O＝65°，

∴∠OAD＝180°﹣∠O﹣∠D＝180°﹣65°﹣20°＝95°．

19．解：

（1）由题可得，BD＝CE＝2t，

∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，

∴当AE＝

DC，时，8﹣2t＝

（12﹣2t），

解得t＝3，

故答案为：

3；

（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，

∴12﹣2t＝8，

解得t＝2，

∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；

（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD，

又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，

∴∠ADE＝∠B，

又∵∠BAC＝α，AB＝AC，

∴∠ADE＝∠B＝

（180°﹣α）＝90°﹣

α．

故答案为：

90°﹣

α．

20．解：

（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，

若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP＝

BC＝

cm，

此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+

＝

，

移动的时间为：

÷3＝

秒，

②当点P在BA上时，如图①﹣2

若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD＝

BC，即点P为BA中点，

此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+

＝

cm，

移动的时间为：

÷3＝

秒，

故答案为：

或

；

（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；

①当点P在AC上，如图②﹣1所示：

此时，AP＝4，AQ＝5，

∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）＝

cm/s，

②当点P在AB上，如图②﹣2所示：

此时，AP＝4，AQ＝5，

即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，

∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）＝

cm/s，

③当点P在AC上，如图②﹣3所示：

此时，AP＝5，AQ＝4，

∴点Q移动的速度为4÷（5÷3）＝

cm/s，

④当点P在AB上，如图②﹣4所示：

此时，AP＝5，AQ＝4，

即，点P移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，

∴点Q移动的速度为32÷（31÷3）＝

cm/s，

综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，

点Q的运动速为

cm/s或

cm/s或

cm/s或

cm/s．

21．

（1）证明：

∵AD⊥BC，∠ACB＝45°，

∴∠ADB＝∠CDE＝90°，△ADC是等腰直角三角形，

∴AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°，

在△ABD与△CED中，

，

∴△ABD≌△CED（SAS）；

（2）解：

∵CE为∠ACD的角平分线，

∴∠ECD＝

∠ACD＝22.5°，

由

（1）得：

△ABD≌△CED，

∴∠BAD＝∠ECD＝22.5°，

∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝22.5°+45°＝67.5°．

22．解：

（1）全等，理由如下：

∵t＝1秒，

∴BP＝CQ＝1×1＝1厘米，

∵AB＝6cm，点D为AB的中点，

∴BD＝3cm．

又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，

∴PC＝4﹣1＝3cm，

∴PC＝BD．

∵∠B＝∠C，

∴△BPD≌△CPQ；

（2）∵vP≠vQ，

∴BP≠CQ，

又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，

则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，

∴点P，点Q运动的时间为：

t＝2秒，

∴vQ＝1.5cm/s；

23．解：

雨伞开闭过程中二者关系始终是：

∠BAD＝∠CAD，

理由如下：

∵AB＝AC，AE＝

AB，AF＝

AC，

∴AE＝AF，

在△AOE与△AOF中，

，

∴△AOE≌△AOF（SSS），

∴∠BAD＝∠CAD．

24．证明：

（1）∵AM∥BN，

∴∠MAB+∠ABN＝180°，

又∵AC，BC分别为∠MAB、∠NBA的平分线，

∴∠ABC+∠CAB＝

（∠MAB+∠ABN）＝90°，

∴∠ACB＝180°﹣∠1﹣∠3＝90°，

即∠ACB为直角；

（2）过E点作辅助线CF使其平行于AM，

∵AM∥BN，CF∥BC，

∴CF∥AD∥BC，

∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠CBE，

∵∠FAC＝∠DAC，∠FBC＝∠CBE，

∴∠ACF＝∠FAC，∠BCF＝∠FBC，

∴AF＝FE＝FB，

∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，

根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，

∴DC＝EC；

（3）∵CF为梯形ABED中位线，

∴AD+BE＝2CF，

∵AF＝FE＝FB，

∴AD+BE＝AB．

（4）由（3）中结论可知，只要DE经过点C，

总满足CF为梯形ABED中位线的条件，

∴AD+BE＝2CF＝AB．