函数的性质知识点总结.docx
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函数的性质知识点总结
这是函数的性质知识点总结，是优秀的数学教案，供参考学习。
1.函数的单调性（局部性质）
（1）增函数
设函数=（）的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量1，2，当12时，都有
（1）2），那么就说（）在区间上是增函数.区间称为=（）的单调增区间.
如果对于区间上的任意两个自变量的值1，2，当12时，都有
（1）>
（2），那么就说（）在这个区间上是减函数.区间称为=（）的单调减区间.
注意：
函数的单调性是函数的局部性质;
（2）图象的特点
如果函数=（）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数=（）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
（3）.函数单调区间与单调性的判定方法
（）定义法：
1任取1，2∈，且12;
2作差
（1）-
（2）;
3变形（通常是因式分解和配方）;
4定号（即判断差
（1）-
（2）的正负）;
5下结论（指出函数（）在给定的区间上的单调性）.
（）图象法（从图象上看升降）
（）复合函数的单调性
复合函数[（）]的单调性与构成它的函数=（），=（）的单调性密切相关，其规律：
“同增异减”
注意：
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数（）的定义域内的任意一个，都有（-）=（），那么（）就叫做偶函数.
（2）.奇函数
一般地，对于函数（）的定义域内的任意一个，都有（-）=—（），那么（）就叫做奇函数.
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;
2确定（-）与（）的关系;
3作出相应结论：
若（-）=（）或（-）-（）=0，则（）是偶函数;若（-）=-（）或（-）+（）=0，则（）是奇函数.
注意：
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，
（1）再根据定义判定;
（2）由（-）±（）=0或（）/（-）=±1来判定;（3）利用定理，或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1）凑配法
2）待定系数法
3）换元法
4）消参法
10.函数最大（小）值（定义见课本36页）
1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
2利用图象求函数的最大（小）值
3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数=（）在区间[，]上单调递增，在区间[，]上单调递减则函数=（）在=处有最大值（）;
如果函数=（）在区间[，]上单调递减，在区间[，]上单调递增则函数=（）在=处有最小值（）;
例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴⑵
2.设函数的定义域为，则函数的定义域为__
3.若函数的定义域为，则函数的定义域是
4.函数，若，则=
5.求下列函数的值域：
⑴⑵
（3）（4）
6.已知函数，求函数，的解析式
7.已知函数满足，则=。
8.设是上的奇函数，且当时,,则当时=
在上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴⑵⑶
10.判断函数的单调性并证明你的结论.
11.设函数判断它的奇偶性并且求证：
.
1.函数的奇偶性
（1）若（）是偶函数，那么（）=（-）;
（2）若（）是奇函数，0在其定义域内，则（0）=0（可用于求参数）;
（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：
（）±（-）=0或（（）≠0）;
（4）若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;
（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
2.复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：
若已知的定义域为[，],其复合函数[（）]的定义域由不等式≤（）≤解出即可;若已知[（）]的定义域为[,],求（）的定义域，相当于∈[,]时，求（）的值域（即（）的定义域）;研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定;
3.函数图像（或方程曲线的对称性）
（1）证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上;
（2）证明图像1与2的对称性，即证明1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在2上，反之亦然;
（3）曲线1：
（,）=0,关于=+（=-+）的对称曲线2的方程为（-,+）=0（或（-+,-+）=0）;
（4）曲线1:
（,）=0关于点（,）的对称曲线2方程为：
（2-,2-）=0;
（5）若函数=（）对∈时，（+）=（-）恒成立，则=（）图像关于直线=对称;
（6）函数=（-）与=（-）的图像关于直线=对称;
4.函数的周期性
（1）=（）对∈时，（+）=（-）或（-2）=（）（>0）恒成立,则=（）是周期为2的周期函数;
（2）若=（）是偶函数，其图像又关于直线=对称，则（）是周期为2︱︱的周期函数;
（3）若=（）奇函数，其图像又关于直线=对称，则（）是周期为4︱︱的周期函数;
（4）若=（）关于点（,0）,（,0）对称，则（）是周期为2的周期函数;
（5）=（）的图象关于直线=,=（≠）对称，则函数=（）是周期为2的周期函数;
（6）=（）对∈时，（+）=-（）（或（+）=，则=（）是周期为2的周期函数;
5.方程
（1）方程=（）有解∈（为（）的值域）;
（2）≥（）恒成立≥[（）],;
≤（）恒成立≤[（）];
（3）（>0,≠1,>0,∈+）;
=（>0,≠1,>0,≠1）;
（4）的符号由口诀“同正异负”记忆;
=（>0,≠1,>0）;
6.映射
判断对应是否为映射时，抓住两点：
（1）中元素必须都有象且唯一;
（2）中元素不一定都有原象，并且中不同元素在中可以有相同的象;
7.函数单调性
（1）能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性;
（2）依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题
8.反函数
对于反函数，应掌握以下一些结论：
（1）定义域上的单调函数必有反函数;
（2）奇函数的反函数也是奇函数;
（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;
（4）周期函数不存在反函数;（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性;
（5）=（）与=-1（）互为反函数，设（）的定义域为，值域为，则有[--1（）]=（∈）,--1[（）]=（∈）.
9.数形结合
处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：
一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系.
10.恒成立问题
恒成立问题的处理方法：
（1）分离参数法;
（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式（组）求解;
一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量、，如果对于任意一个都有唯一确定的一个和它对应，那么就称是的函数，其中是自变量，是因变量，的取值范围叫做这个函数的定义域，相应的取值范围叫做函数的值域。
下面是高三小编整理的高中数学函数知识点归纳总结，供参考。
高中数学函数知识点归纳总结
一、一次函数定义与定义式：
自变量和因变量有如下关系：
=+
则此时称是的一次函数。
特别地，当=0时，是的正比例函数。
即：
=（为常数，≠0）
二、一次函数的性质：
1.的变化值与对应的的变化值成正比例，比值为
即：
=+（为任意不为零的实数取任何实数）
2.当=0时，为函数在轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：
1.作法与图形：
通过如下3个步骤
（1）列表;
（2）描点;
（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与轴和轴的交点）
2.性质：
（1）在一次函数上的任意一点（，），都满足等式：
=+。
（2）一次函数与轴交点的坐标总是（0，），与轴总是交于（-/，0）正比例函数的图像总是过原点。
3.，与函数图像所在象限：
当>0时，直线必通过一、三象限，随的增大而增大;
当<0时，直线必通过二、四象限，随的增大而减小。
当>0时，直线必通过一、二象限;
当=0时，直线通过原点
当<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当=时，直线通过原点（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当>0时，直线只通过一、三象限;当<0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：
已知点（1，1）;（2，2），请确定过点、的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为=+。
（2）因为在一次函数上的任意一点（，），都满足等式=+。
所以可以列出2个方程：
1=1+……①和2=2+……②
（3）解这个二元一次方程，得到，的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
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高中数学知识点总结
五、一次函数在生活中的应用：
1.当时间一定，距离是速度的一次函数。
=。
2.当水池抽水速度一定，水池中水量是抽水时间的一次函数。
设水池中原有水量。
=-。
六、常用公式：
1.求函数图像的值：
（1-2）/（1-2）
2.求与轴平行线段的中点：
|1-2|/2
3.求与轴平行线段的中点：
|1-2|/2
4.求任意线段的长：
√（1-2）’2+（1-2）’2（注：
根号下（1-2）与（1-2）的平方和）
二次函数
.定义与定义表达式
一般地，自变量和因变量之间存在如下关系：
=’2++
（，，为常数，≠0，且决定函数的开口方向，>0时，开口方向向上，<0时，开口方向向下,还可以决定开口大小,越大开口就越小,越小开口就越大.）
则称为的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
.二次函数的三种表达式
一般式：
=’2++（，，为常数，≠0）
顶点式：
=（-）’2+[抛物线的顶点（，）]
交点式：
=（-?
）（-?
）[仅限于与轴有交点（?
，0）和（?
，0）的抛物线]
注：
在3种形式的互相转化中，有如下关系:
=-/2=（4-’2）/4?
?
=（-±√’2-4）/2
.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数=’2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线
=-/2。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点。
特别地，当=0时，抛物线的对称轴是轴（即直线=0）
2.抛物线有一个顶点，坐标为
（-/2，（4-’2）/4）
当-/2=0时，在轴上;当=’2-4=0时，在轴上。
3.二次项系数决定抛物线的开口方向和大小。
当>0时，抛物线向上开口;当<0时，抛物线向下开口。
||越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置。
当与同号时（即>0），对称轴在轴左;
当与异号时（即<0），对称轴在轴右。
5.常数项决定抛物线与轴交点。
抛物线与轴交于（0，）
6.抛物线与轴交点个数
=’2-4>0时，抛物线与轴有2个交点。
=’2-4=0时，抛物线与轴有1个交点。
=’2-4<0时，抛物线与轴没有交点。
的取值是虚数（=-±√’2-4的值的相反数，乘上虚数，整个式子除以2）
.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）=’2++，
当=0时，二次函数为关于的一元二次方程（以下称方程），
即’2++=0
此时，函数图像与轴有无交点即方程有无实数根。
函数与轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数=’2，=（-）’2，=（-）’2+，=’2++（各式中，≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
顶点坐标
对称轴
=’2
（0，0）
=0
=（-）’2
（，0）
=
=（-）’2+
（，）
=
=’2++
（-/2，[4-’2]/4）
=-/2
当>0时，=（-）’2的图象可由抛物线=’2向右平行移动个单位得到，
当<0时，则向左平行移动||个单位得到.
当>0,>0时，将抛物线=’2向右平行移动个单位，再向上移动个单位，就可以得到=（-）’2+的图象;
当>0,<0时，将抛物线=’2向右平行移动个单位，再向下移动||个单位可得到=（-）’2+的图象;
当<0,>0时，将抛物线向左平行移动||个单位，再向上移动个单位可得到=（-）’2+的图象;
当<0,<0时，将抛物线向左平行移动||个单位，再向下移动||个单位可得到=（-）’2+的图象;
因此，研究抛物线=’2++（≠0）的图象，通过配方，将一般式化为=（-）’2+的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线=’2++（≠0）的图象：
当>0时，开口向上，当<0时开口向下，对称轴是直线=-/2，顶点坐标是（-/2，[4-’2]/4）.
3.抛物线=’2++（≠0），若>0，当≤-/2时，随的增大而减小;当≥-/2时，随的增大而增大.若<0，当≤-/2时，随的增大而增大;当≥-/2时，随的增大而减小.
4.抛物线=’2++的图象与坐标轴的交点：
（1）图象与轴一定相交，交点坐标为（0，）;
（2）当△=’2-4>0，图象与轴交于两点（?
，0）和（?
，0），其中的1,2是一元二次方程’2++=0
（≠0）的两根.这两点间的距离=|?
-?
|
当△=0.图象与轴只有一个交点;
当△<0.图象与轴没有交点.当>0时，图象落在轴的上方，为任何实数时，都有>0;当<0时，图象落在轴的下方，为任何实数时，都有<0.
5.抛物线=’2++的最值：
如果>0（<0），则当=-/2时，最小（大）值=（4-’2）/4.
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知、的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
=’2++（≠0）.
（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：
=（-）’2+（≠0）.
（3）当题给条件为已知图象与轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：
=（-?
）（-?
）（≠0）.
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.
反比例函数
形如=/（为常数且≠0）的函数，叫做反比例函数。
自变量的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质：
反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，有（-）=-（）,图像关于原点对称。
另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣∣。
如图，上面给出了分别为正和负（2和-2）时的函数图像。
当>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数
当<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数
反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。
知识点：
1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为||。
2.对于双曲线=/，若在分母上加减任意一个实数（即=/（±）为常数），就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。
（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）
对数函数
对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。
因此指数函数里对于的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线=的对称图形，因为它们互为反函数。
（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2）对数函数的值域为全部实数集合。
（3）函数总是通过（1，0）这点。
（4）大于1时，为单调递增函数，并且上凸;小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
（5）显然对数函数无界。
指数函数
指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
如图所示为的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：
（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是大于0，对于不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凹的。
（4）大于1，则指数函数单调递增;小于1大于0，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于轴与轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于轴的正半轴与轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于轴,永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点。
（8）显然指数函数无界。
奇偶性
注图：
（1）为奇函数
（2）为偶函数
1.定义
一般地，对于函数（）
（1）如果对于函数定义域内的任意一个，都有（-）=-（），那么函数（）就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个，都有（-）=（），那么函数（）就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个，（-）=-（）与（-）=（）同时成立，那么函数（）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个，（-）=-（）与（-）=（）都不能成立，那么函数（）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：
①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
（分析：
判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与（）比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
2.奇偶函数图像的特征：
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于轴或轴对称图形。
（）为奇函数《==》（）的图像关于原点对称
点（,）→（-,-）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3.奇偶函数运算
（1）.两个偶函数相加所得的和为偶函数.
（2）.两个奇函数相加所得的和为奇函数.
（3）.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
（4）.两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
（5）.两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
（6）.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
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