一元一次方程方案问题教案.docx

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一元一次方程方案问题教案

一元一次方程的应用：

方案问题教案

适用学科

初中数学

适用年级

初中一年级

适用区域

人教版

课时时长（分钟）

60

知识点

1、一元一次方程的应用

教学目标

1、能够熟练地解一元一次方程；能够准确找出实际问题中的等量关系，建立方程模型；能够在解决实际问题的过程中，判断一个方程的解的合理性。

2、 能够体会方程是刻画现实世界的有效的教学模型，并在发现问题和解决问题的过程中寻求一种探究建立模型的方法。

3、能够从日常生活中发现和提出与方程相关的问题，并尝试从不同的角度寻求解决问题的方法。

教学重点

方程的解法以及对列方程解题的掌握

教学难点

有效地分析实际问题中的等量关系，并准确建立方程模型。

教学过程

一、课堂导入

从前有一位老人，勤劳一生，只有一块平行四边形形状的土地，老人临终对两个儿子说：

“这块土地你们兄弟两平分，但水井共用”兄弟俩怎样才能平分按照老人的要求平分土地呢？

老师边说边在黑板上画出图形。

二、复习预习

在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，如竹篱笆格子、推拉门、汽车防护链、书本等，都是平行四边形，平行四边形有哪些性质呢？

做一做：

将两张全等的三角形纸片,设法找到某一边的中点,记作点O,将上层的三角形纸片绕点O旋转180度,下层的三角形纸片保持不动,此时:

（1）两张纸片拼成了怎样的图形?

（2）这个图形中有哪些相等的角?

有没有互相平行的线段?

（3）用简洁的语言刻画这个图形的特征,并与同伴交流.

通过观察，让学生勾勒出发现的几何图形：

平行四边形，然后举出一些生活中的实例。

从而引出平行四边形在日常生活中应用广泛，是一种美观实用的图形,因此我们有必要系统学习平行四边形.

三、知识讲解

考点1

列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题：

弄清题意．

（2）找出等量关系：

找出能够表示本题含义的相等关系．

（3）设出未知数，列出方程：

设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．

（4）解方程：

解所列的方程，求出未知数的值．

（5）检验，写答案：

检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．

考点2

四、例题精析

【例题1】

【题干】某博物馆门票价为20元一张，购买方式有两种：

方式1：

团队中每位游客按八折购买；

方式2：

团队除五张按标价购买外，其余按七折购买；

选择哪种购买方式更合算？

【答案】解：

设团队人数为x人，按照方式1购买门票需费用共y1元，按照方式2购买门票需费用共y2元，

依题意得y1=20×0.8x=16x，

y2=20×5+20×0.7（x﹣5）=14x+30．

设y1＞y2即16x＞14x+30，解得x＞15；

设y1=y2即16x=14x+30，解得x=15；

设y1＜y2即16x＜14x+30，解得x＜15；

答：

当团队人数多于15人时，选择方式2购买门票合算；

当团队人数为15人时，两方案费用一样；

当团队人数少于15人时，选择方式1购买门票合算．

【解析】设团队人数为x人，按照方式1购买门票需费用共y1元，按照方式2购买门票需费用共y2元，可列出函数式，且假设一种方案优惠或者消费一样，可列成不等式组求解．并且讨论可得结果．

【例题2】

【题干】重百超市开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案有如下两种：

方案一

A

B

标价（单位：

元）

90

100

每件商品返利

按标价的30%

按标价的15%

例：

买一件A商品，只需付100（1﹣30%）元

方案二

若所购商品达到或超过101件（不同商品可累计），则按标价的20%返利

（同一种商品不可同时参与两种活动）

（1）某单位购买A商品30件，B商品90件，选用何种活动划算？

能便宜多少钱？

（2）若某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多一件，请问该单位该如何选择才能获得最大优惠？

请说明理由．

【答案】解：

（1）方案一付款：

30×90×（1﹣30%）+90×100×（1﹣15%）=9540元；

方案二付款：

（30×90+90×100）×（1﹣20%）=9360元，

∵9540＞9360，9540﹣9360=180元，

∴选用方案二更划算，能便宜180元；

（2）依题意得：

x+2x+1=100，

解得：

x=33，

当总件数不足100，即x＜33时，只能选择方案一的优惠方式；

当总件数达到或超过100，即x≥33时，

方案一需付款：

90（1﹣30%）x+100（1﹣15%）（2x+1）=233x+85，

方案二需付款：

[90x+100（2x+1）]（1﹣20%）=232x+80，

∵（233x+85）﹣（232x+80）=x+5＞0．

∴选方案二优惠更大．

方案三：

x≥50时，A商品采用方案一优惠；B商品采用方案二优惠！

此时需付款223x+80（元），优惠最大．

【解析】1）方案一根据表格数据知道买一件A商品需付款90（1﹣30%），一件B商品需付款100（1﹣15%），由此即可求出买A商品30件，B商品90件所需要的付款，由于买A商品30件，B商品90件，已经超过120件，所以按方案二付款应该返利20%，由此也可求出付款数；

（2）若购买总数没有超过100时，很明显应该按方案一购买；若购买总数超过100时，利用两种购买方式进行比较可以得到结论．

【例题3】

【题干】】某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：

甲、乙两家出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒10元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠，该班需买球拍6副，乒乓球若干盒（不小于6盒）

（1）当购买乒乓球多少盒时两种优惠办法付款一样？

（2）当购买20盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买为什么？

（3）当购买40盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买为什么？

【答案】解：

（1）设购买x盒乒乓球时，两家优惠办法付款一样．

由题意得：

40×6+10（x﹣6）=（40×6+10x）×90%，

解得：

x=36，

答：

购买36盒乒乓球时两种优惠办法付款一样；

（2）当购买20盒乒乓球时，

甲店需付款：

40×6+10（20﹣6）=380（元），

乙店需付款：

（40×6+10×20）×0.9=396（元），

∴380＜396，

答：

去甲店合算；

（3）当购买40盒乒乓球时，

甲店需付款：

40×6+10（40﹣6）=580（元），

乙店需付款：

（40×6+10×40）×0.9=576（元），

580＞576．

答：

去乙店合算．

【解析】

（1）设购买x盒乒乓球时，甲商店应付款40×6+10（x﹣6），乙商店应付款（40×6+10x）×90%，根据两家优惠办法付款一样，直接列方程求解；

（2）（3）分别列出当购买20盒、40盒乒乓球时，甲、乙两店所需付款，比较后选择价格低的即可．

五、课堂运用

【基础】“中国竹乡”安吉县有着丰富的毛竹资源．某企业已收购毛竹52.5吨．根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利100元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利1000元；如果进行精加工，每天可加0.5吨，每吨可获利5000元．由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批毛竹全部销售．为此研究了二种方案：

方案一：

将毛竹全部粗加工后销售，则可获利　　元．

方案二：

30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利　　元．

问：

是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？

若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由．

【答案】：

解：

由已知得：

将毛竹全部粗加工后销售，则可获利为：

1000×52.5=52500（元）．

故答案为：

52500．

30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利为：

0.5×30×5000+（52.5﹣0.5×30）×100=78750（元）．

由已知分析存在第三种方案．

设粗加工x天，则精加工（30﹣x）天，依题意得：

8x+0.5×（30﹣x）=52.5，

解得：

x=5，30﹣x=25，

所以销售后所获利润为：

1000×5×8+5000×25×0.5=102500（元）．

【解析】由已知将毛竹全部粗加工后销售，即获利为：

1000×52.5元．30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利为：

0.5×30×5000+（52.5﹣0.5×30）×100（元）．由已知分析存在第三种方案，可设粗加工x天，则精加工（30﹣x）天，则得方程8x+0.5×（30﹣x）=52.5，解方程求出粗加工、精加工的天数，从求出销售后所获利润．

【巩固】学校综合实践活动小组的同学们乘车到天池山农科所进行社会调查，可供租用的车辆有两种：

第一种可乘8人，第二种可乘4人．若只租用第一种车若干辆，则空4个座位；若只租用第二种车，则比租用第一种车多3辆，且刚好坐满．

（1）参加本次社会调查的学生共多少名？

（2）已知：

第一种车租金为300元/天，第二种车租金为200元/天．要使每个同学都有座位，并且租车费最少，应该怎样租车．

【答案】解：

（1）设参加本次社会调查的同学共x人，则4（

+3）=x，

解之得：

x=28

答：

参加本次社会调查的学生共28人．

（2）其租车方案为

①第一种车4辆，第二种车0辆；

②第一种车3辆，第二种车1辆；

③第一种车2辆，第二种车3辆；

④第一种车1辆，第二种车5辆；

⑤第一张车0辆，第二种车7辆．

比较后知：

租第一种车3辆，第二种车1辆时费用最少，

其费用为1100元．

【解析】

（1）要注意关键语“只租用第一种车若干辆，则空4个座位；若只租用第二种车，则比租用第一种车多3辆，且刚好坐满”，根据两种坐法的不同来列出方程求解；

（2）要考虑到不同的租车方案，然后逐个比较，找出最佳方案．

【拔高】某地的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润4000元，经精加工后销售，每吨利润7000元．当地一家公司现有这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：

如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但每天两种方式不能同时进行．受季节等条件的限制，必须用15天时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种方案：

方案一：

将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：

尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售；

方案三：

将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成．

如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，说说理由．

【答案】解：

方案一：

4000×140=560000（元）；

方案二：

15×6×7000+（140﹣15×6）×1000=680000（元）；

方案三：

设精加工x吨，则

；

解得：

x=60，

7000×60+4000×（140﹣60）=740000（元）；

答：

选择第三种．

【解析】方案

（1）和方案

（2）的获利情况可直接算出，方案三：

设精加工x吨，本题中的相等关系是：

精加工的天数+粗加工的天数=15天．即：

+

=15，就可以列出方程．求出精加工和粗加工个多少，从而求出获利．然后比较可得出答案．

课程小结

列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题：

弄清题意．

（2）找出等量关系：

找出能够表示本题含义的相等关系．

（3）设出未知数，列出方程：

设出未知数后，