高中化学竞赛经典讲义晶体结构.docx
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高中化学竞赛经典讲义晶体结构
第五章晶体结构
§5-1晶体的点阵理论
1.晶体的结构特征
人们对晶体的印象往往和晶莹剔透联系在一起。
公元一世纪的古罗马作家普林尼在《博物志》中，将石英定义为“冰的化石”，并用希腊语中“冰”这个词来称呼晶体。
我国至迟在公元十世纪，就发现了天然的透明晶体经日光照射以后也会出现五色光，因而把这种天然透明晶体叫做"五光石"。
其实，并非所有的晶体都是晶莹剔透的，例如，石墨就是一种不透明的晶体。
日常生活中接触到的食盐、糖、洗涤用碱、金属、岩石、砂子、水泥等都主要由晶体组成，这些物质中的的晶粒大小不一，如，食盐中的晶粒大小以毫米计，金属中的晶粒大小以微米计。
晶体有着广泛的应用。
从日常电器到科学仪器，很多部件都是由各种天然或人工晶体而成，如，石英钟、晶体管，电视机屏幕上的荧光粉，激光器中的宝石，计算机中的磁芯等等。
晶体具有按一定几何规律排列的内部结构，即，晶体由原子（离子、原子团或离子团）近似无限地、在三维空间周期性地呈重复排列而成。
这种结构上的长程有序，是晶体与气体、液体以及非晶态固体的本质区别。
晶体的内部结构称为晶体结构。
晶体的周期性结构，使得晶体具有一些共同的性质：
（1）均匀性晶体中原子周期排布的周期很小，宏观观察分辨不出微观的不连续性，因而，晶体内部各部分的宏观性质（如化学组成、密度）是相同的。
（2）各向异性在晶体的周期性结构中，不同方向上原子的排列情况不同，使得不同方向上的物理性质呈现差异。
如，电导率、热膨胀系数、折光率、机械强度等。
（3）自发形成多面体外形无论是天然矿物晶体还是人工合成晶体，在一定的生长条件下，可以形成多面体外形，这是晶体结构的宏观表现之一。
晶体也可以不具有多面体外形，大多数天然和合成固体是多晶体，它们是由许多取向混乱、尺寸不一、形状不规则的小晶体或晶粒的集合。
（4）具有确定的熔点各个周期内部的原子的排列方式和结合力相同，到达熔点时，各个周期都处于吸热溶化过程，从而使得温度不变。
（5）对称性晶体的理想外形和内部结构具有对称性。
（6）X射线衍射晶体结构的周期和X射线的波长差不多，可以作为三维光栅，使X射线产生衍射现象。
X射线衍射是了解晶体结构的重要实验方法。
2.周期性
上面两个图形均表现出周期性：
沿直线方向，每隔相同的距离，就会出现相同的图案。
如果在图形中划出一个最小的重复单位（阴影部分所示），通过平移，将该单位沿直线向两端周期性重复排列，就构成了上面的图形。
最小重复单位的选择不是唯一的，例如，在图（a）中，下面任何一个图案都可以作为最小的重复单位。
确定了最小的重复单位后，为了描述图形的周期性，可以不考虑重复单位中的具体内容，抽象地用一个点表示重复单位。
点的位置可以任意指定，可以在单位中或边缘的任何位置，但一旦指定后，每个单位中的点的位置必须相同。
如，
不论点的位置如何选取，最后得到的一组点在空间的取向以及相邻点的间距不会发生变化。
对图（b）也用同样的方法处理，可以得到完全相同的一组周期性排列的点。
这样的一组抽象的点集中反映了2个图形中重复周期的大小和规律。
以上是一维周期性排列的例子，如果图案在二维的平面上不断重复，也可以用相同的方式处理。
还可以进一步推广的三维的情况。
3.结构基元
在晶体中，原子（离子、原子团或离子团）周期性地重复排列。
上面我们在图形找出了最小的重复单位，类似的，可以在晶体中划出结构基元。
结构基元是指晶体中能够通过平移在空间重复排列的基本结构单位。
【例】一维实例：
在直线上等间距排列的原子。
一个原子组成一个结构基元，它同时也是基本的化学组成单位。
结构基元必须满足如下四个条件：
化学组成相同；空间结构相同；排列取向相同；周围环境相同。
【例】一维实例：
在伸展的聚乙烯链中，-CH2-CH2-组成一个结构基元，而不是-CH2-。
注意，上图所示的聚乙烯链结构中，红色和蓝色的球虽然均表示-CH2-，可它们各自的周围环境并不相同。
上图右侧画出了两种CH2-CH2-CH2片段，其组成和结构相同，但从空间位置关系来看，两者的取向不同，其中一个可由另一个通过旋转180︒而得，这表明相邻-CH2-的周围环境不同，因而，-CH2-只是基本的化学组成，而不是结构基元。
【例】二维实例：
层状石墨分子，其结构基元由两个C原子组成（相邻的2个C原子的周围环境不同）。
结构基元可以有不同的选法，但其中的原子种类和数目应保持不变。
上图用阴影部分标出了3种选法，但在每种选法中结构基元均含有2个C原子。
如，在第三个图中，六边形的每个角上只有1/3的C原子位于六边形之内，所以平均有2个C原子属于一个六边形。
【例】二维实例：
NaCl晶体内部的一个截面。
一个Na+和一个Cl-组成一个结构基元（四边形内部有1个Na+，顶角上的每个Cl-只有1/4属于结构基元）。
【例】二维实例：
Cu晶体内部的一个截面。
一个Cu原子组成一个结构基元。
【例】三维实例：
Po晶体。
结构基元含1个Po原子。
【例】三维实例：
CsCl晶体。
结构基元含1个Cs+和Cl-。
【例】三维实例：
金属Na。
每个Na原子的周围环境都相同，结构基元应只含有1个Na原子。
左侧的立方体中含有2个Na原子（每个顶点提供1/8个Na原子，中心提供1个Na原子），它不是结构基元，右侧图中虚线部分包围的平行六面体给出了一种正确的选法。
【例】三维实例：
金属Cu（左图所示立方体的每个顶点和每个面的中心有一个Cu原子）。
每个Cu原子的周围环境都相同，结构基元只含有1个Cu原子。
右侧图中虚线部分所示平行六面体为一个结构基元。
【例】三维实例：
金刚石。
结构基元含2个C原子（红色和蓝色分别表示周围环境不同的2种C原子）。
这是因为：
如右图所示，每个C原子虽然都是以正四面体的形式和周围原子成键，但相邻C原子周围的4个键在空间取向不同，周围环境不同。
4.点阵
确定了结构基元后，可以不管它的具体内容和具体结构，用一个抽象的几何点来表示它，这个点可以是每个结构基元中某个原子的中心、或某个键的中心、或其它任何指定的点，但每个结构基元中点的位置应相同。
这样就抽象出来一组点。
从晶体中无数结构单元中抽象出来的一组几何点形成一个点阵。
每个点称为点阵点（简称阵点）。
点阵反映了晶体中结构基元的周期排列方式。
点阵：
点阵是按周期性规律在空间排布的一组无限多个点，按照连接其中任意两点的向量（矢量）进行平移时，能使点阵复原。
或者说当向量的一端落在任意一个点阵点上时，另一端也必定落在点阵点上。
点阵中每个点具有相同的周围环境。
5.点阵和晶体结构
如前所述，结构基元表示晶体中周期性变化的具体内容，它可以是一个原子，也可以是若干相同或不同的原子，取决于具体的晶体结构；点阵代表重复周期的大小和规律，点阵点是由结构基元抽象出来的几何点。
因此，晶体结构可表示为
6.点阵单位
（1）直线点阵：
分布在同一直线上的点阵。
在直线点阵中，连接相邻两个点阵点的向量，称为直线点阵的素向量，用a表示（晶体学中往往用字母加下划线代表向量）。
2a、3a、3a等称为复向量。
素向量a的长度a称为直线点阵的点阵参数。
以任何一个阵点为原点，所有点阵点都落在下式所表示的向量的端点上。
（m=0,±1,±2,…）
上式称为平移群。
这是因为这些向量的集合满足群的定义，构成了一个群，群的乘法规则是向量加法。
按照任何一个向量移动阵点，点阵能与原来位置完全重合。
平移群是点阵的代数形式。
（2）平面点阵：
分布在平面上的点阵。
选择任意一个阵点作为原点，连接两个最相邻的两个阵点作为素向量a，再在其它某个方向上找到最相邻的一个点，作素向量b。
素向量b的选择有无数种方式，如下图中的b1和b2均可作为素向量。
素向量a和b的长度a、b，以及两者的夹角γ=a∧b，称为平面点阵的点阵参数。
平面点阵的平移群可表示为
（m,n=0,±1,±2,…）
根据所选择的素向量，将各点阵点连上线，平面点阵划分为一个个并置堆砌的平行四边形，平面点阵形成由线连成的格子，称为平面格子。
其中的每个平行四边形称为一个单位。
所谓并置堆砌，是指平行四边形之间没有空隙，每个顶点被相邻的4个平行四边形共用。
下面两种图形都不满足并置堆砌的定义。
由于素向量的选择方式有无数种，因此，平面格子也有无数种，下图为对同一平面点阵画出的2种平面格子。
相应的单位分别为下图所示的平行四边形。
平行四边形单位顶点上的阵点，对每个单位的平均贡献为1/4；内部的阵点，对每个单位的贡献为1。
因此，上图左侧所示的单位只含有一个阵点，这种单位称为素单位；右侧所示的单位含有2个阵点，这种含有2个或2个以上阵点的单位称为复单位。
注意：
素向量不一定构成素单位，如上面例子中的复单位就是由素向量构成的。
为方便研究，常采用正当单位，即，在考虑对称性尽量高的前提下，选取含点阵点尽量少的单位。
这要求：
①素向量之间的夹角最好是90︒，其次是60︒，再次是其它角度；②选用的素向量尽量短。
对于平面格子，正当单位只有4种形状（5种型式）：
正方形、矩形、带心矩形、六方和平行四边形。
♦只有矩形正当单位有带心的（复单位），其它的都是素单位。
如，如果正方形格子带心，一定可以取出更小的正方形素单位。
（2）空间点阵：
分布在三维空间的点阵。
选择任一点阵点为原点，分别和邻近的3个点阵点相连，构成三个素向量a、b、c，这3个素向量要求互相不平行。
3个素向量的长度a、b、c以及彼此间的夹角α＝b∧c、β＝a∧c、γ=a∧b称为空间点阵的点阵参数。
空间点阵的平移群可表示为
（m,n,p=0,±1,±2,…）
按照选择的素向量，将点阵点连上线，把空间点阵划分并置堆砌的平行六面体（这时，每个顶点被八个平行六面体共有），空间点阵形成的由线连成的格子称为晶格。
划分出的每个平行六面体为一个单位。
平行六面体单位顶点上的点阵点，对每个单位的平均贡献为1/8；面上的点阵点对每个单位的贡献为1/2，内部的点阵点，对每个单位的贡献为1。
根据平行六面体单位中包含的点阵点的数目，分为素单位和复单位。
空间点阵的正当单位有七种形状（十四种型式），具体讨论见“晶体的对称性”一节。
7.点阵点、直线点阵、平面点阵的指标
对空间点阵，选择素向量a、b、c。
以任一点阵点为原点，定义坐标轴x、y、z的方向分别和a、b、c平行，可以在该坐标系中标记各个点阵点、直线点阵、平面点阵的指标。
（1）点阵点指标uvw
从原点向某一点阵点作矢量r，并将矢量用素向量表示为r=ua+vb+wc，uvw称为该点阵点的指标。
点阵点指标可以为任意整数。
下图中标出了指标为221的点阵点。
（2）直线点阵指标（或晶棱指标）[uvw]
空间点阵可以划分为一组相互平行、间距相等的直线点阵。
一组相互平行的直线点阵用直线点阵指标[uvw]进行标记，其中u、v、w是三个互质的整数，它们的取向与矢量ua+vb+wc相同。
晶体外形上晶棱的记号与和它平行的直线点阵相同。
（3）平面点阵指标（或晶面指标、密勒指标）（h*k*l*）
空间点阵可以划分为一组相互平行、间距相等的平面点阵。
设一组平面点阵和三个坐标轴相交，其中一个平面在三个轴上的截距分别为ra,sb,tc，r,s,t称为截数。
有时平面会与某个轴平行，这时，在该轴上的截距为无穷大，为了避免这种情况，对截长取倒数1/r,1/s,1/t，这些倒数称为倒易截数。
将把倒易截数进一步化作互质的整数h*,k*,l*，
1/r:
1/s:
1/t=h*:
k*:
l*
（h*k*l*）称为平面点阵指标。
它表示一组相互平行的平面点阵。
晶体外形上的晶面用和它平行的一组平面点阵的指标进行标记。
8.晶胞的划分
根据素向量，可以将空间点阵划分为晶格，用晶格切割实际晶体，得到一个个并置堆砌的平行六面体，这些平行六面体不再是抽象的几何体，而是包括了晶体的具体组成物质，称为晶胞。
晶胞是晶体结构中的基本重复单位。
晶胞可以是素晶胞，也可以是复晶胞，只含一个结构基元的晶胞称为素晶胞（在点阵中，相应的平行六面体单位含一个点阵点，为素单位），否则称为复晶胞。
♦晶胞不等同于结构基元，它不一定是最小的重复单位，只有素晶胞才是最小的重复单位。
如果按照正当单位划分晶格，相应的，切割晶体得到的晶胞称为正当晶胞。
正当晶胞可能是素晶胞，也可能是复晶胞。
通常所说的晶胞是指正当晶胞。
♦晶胞一定是平行六面体，不能为六方柱或其它形状，否则不满足并置堆砌的要求。
9.晶胞的基本要素
晶胞有两个基本要素：
①晶胞参数：
晶胞的大小和形状。
晶胞参数和点阵参数一致，由a,b,c,α,β,γ规定，即平行六面体的边长和各边之间的夹角。
②坐标参数：
晶胞内部各个原子的坐标位置。
若从原点指向原子的向量可表示为r=xa+yb+zc，则原子的坐标参数为（x,y,z）。
【例】CsCl晶胞。
八个顶点上只贡献一个原子，内部一个原子，因此晶胞中含有两个原子。
中心Cs+的坐标参数为：
（1/2,1/2,1/2）。
如果坐标参数的差别是加1或减1，则这些参数指的是同一种原子，所以对顶点上的Cl-只需用0,0,0表示，不必写出（0,1,0）；（0,0,1）；。
。
。
10.晶体结构和点阵结构的对应关系
晶体结构和点阵结构之间有如下对应关系
空间点阵
点阵点
直线点阵
平面点阵
素单位
复单位
正当单位
晶体
结构基元
晶棱
晶面
素晶胞
复晶胞
正当晶胞
第一行是数学上的抽象模型；而第二行则涉及具体的实际晶体。
如，结构基元是晶体中最小的周期排列的重复单位，在点阵理论中，它被抽象成一个几何点−点阵点。
§5-2晶体的对称性
对称操作：
不改变物体中任何两点之间的距离，在空间进行变换，变换前后物体的位置在物理上无法区分。
对称元素：
进行对称操作时，所依赖的点、线、面等几何元素。
对称操作群；当一个物体中的全部对称操作的集合满足群的四个基本性质：
封闭性、结合律、单位元素、逆元素时，这些对称操作的集合构成一个对称操作群。
（注意对称操作群的元素是指对称操作，不要和对称元素混淆）
晶体的对称性可分为宏观对称性和微观对称性。
如果把晶体作为连续、均匀、并具有有限的理想外形的研究对象，这种宏观观察中所表现的对称性为宏观对称性。
在对称操作的时候，有限晶体的质量中心必须保持不动，否则操作前后在物理上可以分辨，这种操作为点操作。
因此，晶体在宏观观察中表现出来的对称元素一定要以质量中心为公共点，在进行对称操作时公共点保持不动，这种点对称操作构成的群称为点群。
晶体结构具有空间点阵式的周期结构，如果将晶体看作是不连续、不均匀、无限多结构基元的周期性排列，所表现出来的对称性为微观对称性。
这种情况下，通过平移等操作也可以使晶体结构复原，在平移对称操作下，所有点在空间发生移动，这种点阵结构的空间对称操作构成的群称为空间群。
1.晶体结构的对称元素和对称操作
在讨论分子对称性时，曾采用熊夫利记号标记对称元素、对称操作以及分子点群。
如，n重旋转轴记为Cn，旋转操作记为
，只有一个n重旋转轴的群（n≥2）记为Cn群。
在晶体学中，对称元素和对称操作通常采用国际记号进行标记。
①旋转操作：
L（2π/n），旋转2π/n弧度。
n重旋转轴：
n
♦在晶体中，只可能有五种旋转轴，即n=1,2,3,4,6（证明见课本p.494）
②反映操作：
M，按镜面进行反映
反映面或镜面：
m
③反演操作：
I，按照对称中心进行反演
对称中心：
i
④旋转反演操作：
L（2π/n）I，旋转2π/n弧度，再按对称中心反演，也可反顺序操作。
n重反轴：
♦和旋转轴一样，反轴也只有五种，n=1,2,3,4,6。
这些反轴中只有
是独立的对称元素，容易证明，其它的反轴可表示为上面提到的对称元素的组合：
=i、
=m、
=3+i、
=3+m。
因此，讨论晶体的对称性时，只需列出
。
此外，由于
=i，通常采用
表示对称中心。
♦反轴是直线和点的组合，而介绍分子对称元素时所提到的象转轴则是直线和面的组合。
可以证明，反轴和象转轴是可以互通互换的，在晶体学中习惯采用反轴。
⑤平移操作：
T（t），其中t是平移的距离
点阵：
没有国际记号
⑥螺旋旋转操作：
L（2π/n）T（mt/n），t是与轴平行的素向量的长度，操作为先旋转2π/n弧度，再沿该轴平移m/n个素向量的长度，反顺序操作亦可。
螺旋轴：
nm
⑦滑移反映操作：
MT（t），按平面反映后，再沿平行于该平面的某个方向平移长度为t的距离，反顺序操作亦可。
滑移面：
根据平移的方向和距离不同，滑移面分为三类
A．轴线滑移面：
a（或b、c）。
对应的操作为，反映后沿a（或b、c）的方向平移a/2（或b/2、c/2）
B．对角线滑移面：
n。
对应的操作为，反映后沿a的方向平移a/2，再沿b的方向平移b/2，即，平移向量为a/2+b/2（或a/2+c/2、b/2+c/2）
C．菱形滑移面：
d。
对应的操作为，反映后再按照向量a/4+b/4（或a/4+c/4、b/4+c/4）进行平移
对称操作可以分为两类，一类是可以具体实现的，称为实操作：
旋转，平移，螺旋旋转；另一类是在想象中才能实现的，称为虚操作：
反映，反演，滑移反映，旋转反演。
2.晶体的宏观对称性
①宏观对称元素
在讨论晶体的宏观对称性时，所有对称操作都必须保证有一点不动，所有对称元素通过公共点，满足这一条件的对称元素有：
旋转轴、反映面、对称中心、反轴。
这四类宏观对称元素中只有8个是独立的，分别为：
1,2,3,4,6；m；i（=
）；
③晶系
晶体的32个点群可分为七类，称为7个晶系，每个晶系包含着若干个点群，属于同一晶系的点群有一些共同的对称元素，称为特征对称元素。
对于每一晶系，国际记号中三个位序的方向都有不同规定。
⑴立方晶系
晶胞形状：
立方体
晶胞参数：
a=b=c,α=β=γ=90︒
特征对称元素：
立方体对角线方向上的4个
。
位序的方向：
a,a+b+c,a+b。
按照对称性联系在一起的其它方向也是可用的。
如，第一位的方向为a，与之等同的还有b和c。
因此，第一位代表3条边的方向；第二位代表4条体对角线的方向；第三位代表6条面对角线的方向。
⑵六方晶系
晶胞形状：
六方
晶胞参数：
a=b≠c,α=β=90︒,γ=120︒
特征对称元素：
上图红色虚线所示方向上的1个
或1个
位序的方向：
c（6次轴）,a（与6次轴垂直）,2a+b（与6次轴垂直并与第二位方向成30︒）
⑶四方晶系
晶胞形状：
四方
晶胞参数：
a=b≠c,α=β=γ=90︒
特征对称元素：
上图红色虚线所示方向上的1个
位序的方向：
c（4次轴）,a（与4次轴垂直）,a+b（与4次轴垂直并与第二位方向成45︒）。
⑷三方晶系
晶胞形状：
三方晶系的晶体可按两种方法进行划分：
一部分晶体按六方晶胞划分，可得到素晶胞；而另一部分晶体按此法划分晶胞则得到含三个结构基元的复晶胞，如果要得到素晶胞，可按照菱面体型式进行划分，如上面右图所示。
晶胞参数：
a=b≠c,α=β=90︒,γ=120︒（六方）；a=b=c,α=β=γ<120︒≠90︒（菱面体）
特征对称元素：
上图红色虚线所示方向上的1个
位序的方向：
c,（3次轴）a（与3次轴垂直）。
⑸正交晶系
晶胞形状：
正交
晶胞参数：
a≠b≠c,α=β=γ=90︒
特征对称元素：
通过相对面中点的3个
（相互垂直）；或垂直于边的2个m（相互垂直）
位序的方向：
a,b,c（3个互相垂直的2次轴）
⑹单斜晶系
晶胞形状：
单斜
晶胞参数：
a≠b≠c,α=γ=90︒≠β
特征对称元素：
上图红线所示的1个
；或垂直于红线的1个m
位序的方向：
b（2次轴）
⑺三斜晶系
晶胞形状：
三斜
晶胞参数：
a≠b≠c,α≠β≠γ
特征对称元素：
无
位序的方向：
a（平行六面体的边）
④晶族
高次轴：
n>2的旋转轴或反轴。
根据高次轴的数目，七个晶系可进一步归为三个晶族：
⑴高级晶族多于一个高次轴：
立方晶系。
⑵中级晶族只有一个高次轴：
六方晶系，四方晶系，三方晶系。
⑶低级晶族没有高次轴：
正交晶系，单斜晶系，三斜晶系。
⑤空间点阵型式
七个晶系共有七种（正当）晶胞形状，晶体的正当晶胞和空间点阵的正当单位互相对应，因此，正当单位的形状也有七种：
立方、六方、四方、三方、正交、单斜、三斜。
从七种形状的几何体出发，每个顶点上放置一个点阵点，得到素（正当）单位，给出简单（P）的点阵型式。
在这些素单位中再加入点阵点，得到复（正当）单位，这个过程称为点阵有心化。
点阵有心化必须遵循三个原则：
⑴由于点阵点周围环境相同，这要求加入的点阵点只能位于体心、面心、底心位置，给出体心（I）、面心（F）、底心（C）的点阵型式。
⑵不破坏晶系的特征对称元素。
⑶能给出新的正当单位。
【例】无底心立方的点阵型式。
对于立方晶系，若底面带心，会破坏体对角线上三重旋转轴（立方晶系的特征对称元素）的对称性，不能保持为立方晶系。
所以立方晶系的点阵型式中没有底心立方。
【例】无四方面心和四方底心的点阵型式。
四方面心可由更小的四方体心代替；四方底心可由更小的简单四方代替，因此，没有给出新的正当单位。
遵循遵循点阵有心化的原则，只有14种正当单位，称为14种空间点阵型式（或称布拉维格子）。
立方晶系的点阵有简单（P）、体心（I）、面心（F）三种型式。
四方点阵有简单（P）和体心（I）两种型式。
正交点阵有简单（P）、底心（C）、体心（I）、面心（F）四种型式。
单斜点阵有简单（P）和底心（C）两种型式。
六方、三方和三斜都不带心，只有一种点阵型式。
六方点阵的记号为H，三方点阵的记号为R。
下图为14种空间点阵型式。
3.晶体的微观对称性
①微观对称元素
在讨论晶体的微观对称性时，考虑的是晶体的空间点阵结构。
空间点阵是无限大的图形，除了点操作外，平移等空间操作也可以使结构复原。
因此，晶体的微观对称元素不仅包含前面提到微观对称元素，还增加了点阵、螺旋轴和滑移面。
②空间群
点阵结构的空间对称操作构成了空间群。
根据晶体中的宏观对称元素，可将晶体分别归属与32个点群。
在此基础上，将宏观对称元素用微观对称元素代替，即
旋转轴→旋转轴，或螺旋轴（轴的阶相同）
反映面→反映面，或滑移面（平行）
将这些对称元素与点阵对应的平移操作结合，从每个点群可推引出若干个空间群，共230个空间群。
空间群的符号和点群相似，只是：
⑴熊夫利记号上加了一个上标，表示派生出来的不同空间群；⑵国际记号前面增加了点阵形式。
如
点群：
→空间群：
230个空间群的符号参见课本p509中的表5-2.7。
♦综合上述，晶体按照其对称性可依次归属为：
3个晶族→7个晶系（包括14种空间点阵型式）→32个点群→230个空间群。
§5-3金属晶体结构
1.晶体结构的密堆积原理
金属键、离子键、范德华力无饱和性和方向性。
通过金属键、离子键、范德华力结合的晶体中，每个微粒倾向于吸引尽可能多的其它微粒，形成配位数高、堆积密度大的结构，称为密堆积结构。
密堆积结构的空间利用率高，体系
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