简单的逻辑联结词全称量词与存在量词B重点.docx
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简单的逻辑联结词全称量词与存在量词B重点
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（B）（重点）
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
全国新课标
课时时长（分钟）
60
知识点
1.简单的逻辑联结词2.全称量词和存在量词
3.复合命题真假的判断及应用4.全称命题与存在性命题真假的判断
5.含有一个量词的命题的否定
教学目标
一、知识与技能
使学生了解学习全称量词和存在量词的必要性，掌握命题的有关概念、能够辨别命题的真假,掌握了解命题的否定
二、过程与方法
1．教师提出问题，素材，并及时点拨，与学生进行交流，分析，抽象出数学模型。
2.设计较典型的问题，通过学生自主探究，激发学习兴趣和积极性
三、情感、态度与价值观
1.通过具体情景，让学生体会到学好数学对日常生活的重要作用。
2.培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，进而培养学生的实践能力。
进一步体会数形结合的重要方法，增强对事物间普遍联系规律的认识，树立辩证唯物主义思想。
教学重点
复合命题真假的判断及应用
教学难点
全称命题与存在性命题真假的判断
教学过程
一.课程导入：
在大量的数学实例的基础上，思考、探究、分析、发现，最后总结概括出相关概念和知识，是本章内容的突出特色。
本章内容，重在让学生通过对常用逻辑用语的学习，体会运用逻辑用语在表述和论证中的作用，能用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。
为此，教科书在安排内容时，就突出了让学生领会这些常用逻辑用语的含义，从而更好的运用这些常用逻辑用语的这一目的。
本章内容与学生日常生活中的某些概念有一定关联，但就在数学上的运用和含义还有一定差别，因此数学中如何正确理解和运用这些常用逻辑用语，是本章的关键也是较难处理的，为此，教科书是从大量的丰富数学实例出发，来帮助学生认识数学中的这些常用逻辑用语的含义的。
例如，对“命题”概念的阐述，就是通过总结6个数学例子的基础上概括得出的；对于四种命题及其关系，也是通过对命题“若f（x）是正弦函数，则f（x）是周期函数”的条件与结论的互换及否定等具体例子的讨论，达到对四种命题及其关系的认识；逻辑联结词“或”“且”“非”含义和用法的介绍，也是通过学生熟悉的数学实例讲授的；学习完命题及命题的否定后，教科书又安排了丰富的实例，使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词（全称量词和存在量词），并通过例子说明如何对含有一个量词的命题进行正确地否定。
二、复习预习
复习时应紧扣概念，理清相似概念间的异同点，准确把握逻辑联结词的含义和用法，熟练掌握对含有量词命题的否定的方法．本讲常与其他知识结合，在知识的交汇处命题，试题难度中档偏下
三、知识讲解
考点1、简单的逻辑联结词
（1）命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．
（2）简单复合命题的真值表：
p
q
p∧q
p∨q
¬p
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
假
假
假
真
考点2、全称量词与存在量词
（1）常见的全称量词有：
“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
（2）常见的存在量词有：
“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
（3）全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．
考点3、全称命题与特称命题
（1）含有全称量词的命题叫全称命题．
（2）含有存在量词的命题叫特称命题
考点4、命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
（2）p或q的否定为：
非p且非q；p且q的否定为：
非p或非q.
四、例题精析
【例题1】
【题干】下列命题中的假命题是（ ）．
A．∃x0∈R，lgx0＝0B．∃x0∈R，tanx0＝1
C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0
【答案】C
【解析】对于A，当x0＝1时，lgx0＝0正确；对于B，当x0＝
时，tanx0＝1，正确；对于C，当x＜0时，x3＜0错误；对于D，∀x∈R,2x＞0，正确．
【例题2】
【题干】命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是（ ）．
A．∃x0＞0，x20＋x0＞0B．∃x0＞0，x20＋x0≤0
C．∀x＞0，x2＋x≤0D．∀x≤0，x2＋x＞0
【答案】B
【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：
∃x0＞0，x20＋x0≤0.
【例题3】
【题干】ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是（ ）．
A．0＜a≤1B．a＜1
C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0
【答案】C
【解析】 （筛选法）当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C.
【例题4】
【题干】已知p：
|x－a|＜4；q：
（x－2）（3－x）＞0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ）．
A．a＜－1或a＞6B．a≤－1或a≥6
C．－1≤a≤6D．－1＜a＜6
【答案】C
【解析】解不等式可得p：
－4＋a＜x＜4＋a，q：
2＜x＜3，因此綈p：
x≤－4＋a或x≥4＋a，綈q：
x≤2或x≥3，于是由綈p是綈q的充分不必要条件，可知2≥－4＋a且4＋a≥3，解得－1≤a≤6.
五、课堂运用
【基础】
1.若函数f（x）＝x2＋
（a∈R），则下列结论正确的是（ ）．
A．∀a∈R，f（x）在（0，＋∞）上是增函数
B．∀a∈R，f（x）在（0，＋∞）上是减函数
C．∃a∈R，f（x）是偶函数
D．∃a∈R，f（x）是奇函数
【答案】C
【解析】对于A只有在a≤0时f（x）在（0，＋∞）上是增函数，否则不成立；对于B，如果a≤0就不成立；对于D若a＝0，则f（x）为偶函数了，因此只有C是正确的，即对于a＝0时有f（x）＝x2是一个偶函数，因此存在这样的a，使f（x）是偶函数．
2.若命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】见解析
【解析】因为“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2
≤a≤2
.
3.已知命题p：
x2＋2x－3＞0；命题q：
＞1，若綈q且p为真，则x的取值范围是________．
【答案】见解析
【解析】因为q且p为真，即q假p真，而q为真命题时，
＜0，即2＜x＜3，所以q假时有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，
由
得x≥3或1＜x≤2或x＜－3，
所以x的取值范围是x≥3或1＜x≤2或x＜－3.
故填（－∞，－3）∪（1,2]∪[3，＋∞）．
4.令p（x）：
ax2＋2x＋a＞0，若对∀x∈R，p（x）是真命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】见解析
【解析】∵对∀x∈R，p（x）是真命题．
∴对∀x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立，
当a＝0时，不等式为2x＞0不恒成立，
当a≠0时，若不等式恒成立，
则
∴a＞1.
【巩固】
5.已知命题p：
∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：
∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．
p：
x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤（x2）min＝1，
所以命题p：
a≤1；
q：
设f（x）＝x2＋2ax＋2－a，存在x0∈R使f（x0）＝0，
只需Δ＝4a2－4（2－a）≥0，
即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，
所以命题q：
a≥1或a≤－2.
由
得a＝1或a≤－2
∴实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.
6.下列命题错误的是（ ）．
A．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：
“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．对于命题p：
∃x0∈R，使得x20＋x0＋1＜0，则綈p：
∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0
【答案】C
【解析】依次判断各选项，易知只有C是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．
7.已知p：
∃x0∈R，mx
＋2≤0.q：
∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是（ ）．
A．[1，＋∞）B．（－∞，－1]
C．（－∞，－2]D．[－1,1]
【答案】A
【解析】（直接法）∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：
∃x0∈R，mx
＋2≤0为假，得∀x∈R，mx2＋2＞0，∴m≥0.①
由q：
∀x∈R，x2－2mx＋1＞0为假，得∃x0∈R，x
－2mx0＋1≤0，∴Δ＝（－2m）2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
【拔高】
8.命题“∃x0∈R，x0≤1或x20＞4”的否定是______________．
【答案】∀x∈R，x＞1且x2≤4
【解析】已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题．
9.已知命题“∀x∈R，x2－5x＋
a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】见解析
【解析】由“∀x∈R，x2－5x＋
a＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x∈R，x2－5x＋
a＞0”必为真命题，即不等式x2－5x＋
a＞0对任意实数x恒成立．
设f（x）＝x2－5x＋
a，则其图象恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×
a＜0，解得a＞
，即实数a的取值范围为
.
10.已知c＞0，设命题p：
函数y＝cx为减函数．命题q：
当x∈
时，函数f（x）＝x＋
＞
恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围．
【答案】见解析
【解析】由命题p知：
0＜c＜1.由命题q知：
2≤x＋
≤
要使此式恒成立，则2＞
，即c＞
.
又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，
当p为真，q为假时，c的取值范围为0＜c≤
.
当p为假，q为真时，c≥1.
综上，c的取值范围为
.
六、课堂小结
逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
两类否定
1．含有一个量词的命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题
全称命题p：
∀x∈M，p（x），它的否定¬p：
∃x0∈M，¬p（x0）．
（2）特称命题的否定是全称命题
特称命题p：
∃x0∈M，p（x0），它的否定¬p：
∀x∈M，¬p（x）．
2．复合命题的否定
（1）﹃（p∧q）⇔（¬p）∨（¬q）；
（2）﹃（p∨q）⇔（¬p）∧（¬q）．
三条规律
（1）对于“p∧q”命题：
一假则假；
（2）对“p∨q”命题：
一真则真；
（3）对“¬p”命题：
与“p”命题真假相反．
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