高中数学直线方程练习题.docx
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高中数学直线方程练习题
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高中数学直线方程练习题
一•选择题（共12小题）
1•已知A（-2,-1）,B（2,-3）,过点P（1,5）的直线I与线段AB有交点,则I的斜率的范围是（）
A.（—X,—8]B.[2,+x）C.（-X,—8]U[2,+^）D.（-^,
-8）U（2,+x）
2.已知点A（1,3）,B（-2,-1）.若直线I:
P=k（P-2）+1与线段AB相交,
则k的取值范围是（）
A.[',+x）B.（-X,-2]C.（-X,-2]U[1,+x）D.[-2,
22
]
3.已知点A（-1,1）,B（2,-2）,若直线I:
P+mP+m=0与线段AB（含端点）
相交，则实数m的取值范围是（）
A.（-X,[]U[2,+-）B.[1,2]C.（-X,-2]U[-；,+-）D.[-|,-2]
4.已知M（1,2）,N（4,3）直线I过点P（2,-1）且与线段MN相交,那
么直线I的斜率k的取值范围是（）
A.（-X,-3]U[2,+-）B.[-寺,|]C.[-3,2]D.（--,-|]
U[',+-）
5.已知M（-2,-3）,N（3,0）,直线I过点（-1,2）且与线段MN相交,
则直线I的斜率k的取值范围是（）
—■■■■D.—
A.：
二或k>5B.订「一C.
6.已知A（-2,:
二），B（2,:
二）,P（-1,1）,若直线I过点P且与线
7•已知点A（2,3）,B（-3,-2）,若直线I过点P（1,1）与线段AB始终没
有交点，则直线I的斜率k的取值范围是（）
A.vkv2B.k>2或kvC.k>D.kv2
444
8.已知OABC内一点，且仁,I「，若B,0,D三点共线,
则t的值为（
9.经过（3,0）,（0,4）两点的直线方程是（）
10.过点（3,-6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）
A.2P+P=0B.P+P+3=0
C.P-P+3=0D.P+P+3=0或2P+P=0
11.经过点M（1,1）且在两轴上截距相等的直线是（）
A.P+P=2B.P+P=1C.P=1或P=1D.P+P=2或P-P=0
12.已知△ABC的顶点A（2,3）,且三条中线交于点G（4,1）,贝UBC边上的中点坐标为（）
A.（5,0）B.（6,-1）C.（5,-3）D.（6,-3）
二.填空题（共4小题）
13•已知直线h：
aP+3P+仁0,b：
2P+（a+1）P+仁0,若h//b,则实数a的值是.
14.直线l1：
（3+a）P+4P=5-3a和直线b：
2P+（5+a）P=8平行，则a.
15.设直线l1：
P+mP+6=0和l2：
（m-2）P+3P+2m=0，当m=时，h//l2,
当m=时，l1±l2.
16.如果直线（2a+5）P+（a-2）P+4=0与直线（2-a）P+（a+3）P-1=0互相垂直，贝Ua的值等于.
三.解答题（共11小题）
17.已知点A（1,1）,B（-2,2）,直线l过点P（-1,-1）且与线段AB始
终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为.
18.已知P,P满足直线I:
P+2P=6.
（1）求原点0关于直线I的对称点P的坐标；
（2）当P€[1,3]时，求■'的取值范围.
x-2
19.已知点A（1,2）、B（5,—1）,
（1）若A,B两点到直线I的距离都为2,求直线I的方程；
（2）若A,B两点到直线I的距离都为m（m>0）,试根据m的取值讨论直线I存在的条数，不需写出直线方程.
20.已知直线I的方程为2P+（1+m）P+2m=0,m€R,点P的坐标为（-1,0）.
（1）求证：
直线I恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求点P到直线I的距离的最大值.
21.已知直线方程为（2+m）P+（1—2m）P+4—3m=0.
（I）证明：
直线恒过定点M;
（U）若直线分别与P轴、P轴的负半轴交于A,B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
22.已知光线经过已知直线11：
3P—P+7=0和12：
2P+P+3=0的交点M，且射到P轴上一点N（1,0）后被P轴反射.
（1）求点M关于P轴的对称点P的坐标；
（2）求反射光线所在的直线I3的方程.
（3）求与I3距离为的直线方程.
23.已知直线I:
P=3F+3
求
（1）点P（4,5）关于I的对称点坐标；
（2）直线P=P-2关于I对称的直线的方程.
24.已知点M（3,5）,在直线I：
P-2P+2=0和P轴上各找一点P和0,使厶MPQ的周长最小.
25.已知直线I经过点P（3,1）,且被两平行直线11；P+P+1=0和12：
P+P+6=0截得的线段之长为5,求直线I的方程.
26.已知直线1:
5P+2P+3=0,直线I经过点P（2,1）且与I的夹角等于45,求直线「的一般方程.
27.已知点A（2,0）,B（0,6）,O为坐标原点.
（1）若点C在线段OB上,且/ACB=——,求厶ABC的面积；
（2）若原点0关于直线AB的对称点为D,延长BD到P,且|PD|=2|BD|，已知
直线L:
aP+10P+84-1087=0经过点P,求直线I的倾斜角.
高中数学直线方程练习题
参考答案与试题解析
一•选择题（共12小题）
1.（2016秋？
滑县期末）已知A（-2,-1）,B（2,-3）,过点P（1,5）的直
线I与线段AB有交点，则I的斜率的范围是（）
A.（—X,—8]B.[2,+x）C.（—X,—8]U[2,+^）D.（-^,
—8）U
（2,+x）
【分析】
利用斜率计算公式与斜率的意义即可得出.
【解答】
解：
kpA=」-2,kPB==—8,
-2-12-1
•••直线I与线段AB有交点，二I的斜率的范围是k<—8,或k>2.
故选：
C.
【点评】本题考查了斜率计算公式与斜率的意义，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2.（2016秋？
碑林区校级期末）已知点A（1,3）,B（—2,—1）.若直线I:
P=k
（P-2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（）
A.['.,+x）B.（—x,—2]C.（—x,—2]UJ,+x）D.[—2,
]
【分析】由直线系方程求出直线I所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与线段AB上点的斜率的最小值和最大值得答案.
【解答】解：
•••直线I:
P=k（P-2）+1过点P（2,1）,
连接P与线段AB上的点A（1,3）时直线I的斜率最小，为「厂亓-.■连接P与线段AB上的点B（—2,—1）时直线I的斜率最大，为•：
|-=---•••k的取值范围是.一.-.
故选：
D.
【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题.
3.（2016秋？
雅安期末）已知点A（-1,1）,B（2,-2）,若直线I:
P+mP+m=0
与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）
A.（-X,Tu[2,+x）B.[1,2]C.（-X,-2]U[-—,+x）D.[-222
|,-2]
【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出.
【解答】解：
直线I:
P+mP+m=0经过定点P（0,-1）,
•••直线I:
P+mP+m=0与线段AB（含端点）相交,
故选：
B.
【点评】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
4.（2016秋?
庄河市校级期末）已知M（1,2）,N（4,3）直线I过点P（2,-
1）且与线段MN相交，那么直线I的斜率k的取值范围是（）
A.（-X,-3]U[2,+-）B.[-寺，剳C.[-3,2]D.（--,-*]
U[—,+x）
2
【分析】画出图形，由题意得所求直线I的斜率k满足k>kpN或k【解答】解：
如图所示：
由题意得，所求直线I的斜率k满足k》kpN或kwkpM,
•••k>2,或k<-3,
故选：
A.
IIIiI
-5-4-3-2-1
D.r?
'-..r,
-2
-3
-4
-5
【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想.
5.（20KK秋?
迎泽区校级月考）已知M（-2,-3）,N（3,0）,直线I过点（-
1,2）且与线段MN相交，则直线I的斜率k的取值范围是（）
【分析】求出边界直线的斜率，作出图象，由直线的倾斜角和斜率的关系可得.
【解答】解：
（如图象）即P（-1,2）,
由斜率公式可得PM的斜率ki=「=5,
-1-（-2）
直线PN的斜率k2=^=「,
-1-32
当直线I与P轴垂直（红色线）时记为I，‘可知当直线介于I和PM之间时，k>5,当直线介于I和PN之间时，kw-],
2
故直线I的斜率k的取值范围是：
kw-「，或k>5
2
故选A
【点评】本题考查直线的斜率公式，涉及数形结合的思想和直线的倾斜角与斜率的关系，属中档题.
6.（20KK秋？
南通期末）已知A（-2,1+血），B（2,1«）,P（-1,1）,若直线I过点P且与线段AB有公共点，则直线I的倾斜角的范围是（）
A.
2715兀
36
C.「工
6
【分析】先求出直线的斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围求出倾斜角的具体范围.
【解答】解：
设直线I的斜率等于k,直线的倾斜角为a
由题意知，佔]一=-匚，或kpA=〔"=-T
-1-23-1+2
设直线的倾斜角为a,则a€[0,n）,tana=k
由图知0°Wa<120°或150°WaV180°
故选：
D.
【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率公式的应用，属于基础题.
7•已知点A（2,3）,B（-3,-2）,若直线I过点P（1,1）与线段AB始终没有交点，则直线I的斜率k的取值范围是（）
A.匸vkv2B.k>2或kv兰C.k>D.kv2
444
【分析】求出PA,PB所在直线的斜率，数形结合得答案.
【解答】解：
点A（2,3）,B（-3,-2）,若直线I过点P（1,1）,
•••直线PA的斜率是二=2,
2-1
直线PB的斜率是三=1
1+34
如图，
•••直线I与线段AB始终有公共点，
•••斜率k的取值范围是（，2）.
故选：
A.
【点评】本题考查了直线的倾斜角和直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题.
■1■■*—*
8.（2017?
成都模拟）已知OABC内一点，且|1I--「，若
A.
B，O,D三点共线，则t的值为（
D.
【分析】以OB,OC为邻边作平行四边形OBFC连接OF与BC相交于点E，E
为BC的中点•由扛一「.工+土；，可得一⑺-1=2.」=2贾，点O是直线AE的中点•根据€二亠,B，O,D三点共线，可得点D是BO与AC的交点•过点O作OM//BC交AC于点M，则点M为AC的中点•即可得出.
【解答】解：
以OB,OC为邻边作平行四边形OBFC连接OF与BC相交于点E，
E为BC的中点.
1工+土；，二〔—2：
匸2|.,
•••点O是直线AE的中点.
•••厂-B,O,D三点共线,
•••点D是BO与AC的交点.
过点O作OM//BC交AC于点M，则点M为AC的中点.
则OgEgBC,=，
•DM=..MC,
―ad=：
am=]AC,
3
故选：
B.
【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形与平行四边形法则、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
9.（2016秋？
沙坪坝区校级期中）经过（3,0）,（0,4）两点的直线方程是（）
A.3P+4P-12=0B.3P-4P+12=0C.4P-3P+12=0D.4P+3P-12=0
【分析】直接利用直线的截距式方程求解即可.
【解答】解：
因为直线经过（3,0）,（0,4）两点，所以所求直线方程为：
］.
34
即4P+3P-12=0.
故选D.
【点评】本题考查直线截距式方程的求法，考查计算能力.
10.（2016秋？
平遥县校级期中）过点（3,-6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）
A.2P+P=0B.P+P+3=0
C.P-P+3=0D.P+P+3=0或2P+P=0
【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程.当直线不过原点时，设直线的方程为P+P=k,把点（3,-6）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论.
【解答】解：
当直线过原点时，方程为P=-2P,即2P+P=0.
当直线不过原点时，设直线的方程为P+P=k,把点（3,-6）代入直线的方程可得k=-3,
故直线方程是P+P+3=0．
综上，所求的直线方程为P+P+3=0或2P+P=0,
故选：
D．
【点评】本题考查用待定系数法求直线方程,体现了分类讨论的数学思想,注意当直线过原点时的情况,这是解题的易错点,属于基础题．
11．（2015秋?
运城期中）经过点M（1,1）且在两轴上截距相等的直线是（）
A.P+P=2B.P+P=1C.P=1或P=1D.P+P=2或P-P=0
【分析】分两种情况考虑,第一：
当所求直线与两坐标轴的截距不为0时,设出该直线的方程为P+P=a,把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：
当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为P=kP,把已知
点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程.
【解答】解：
①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为
P+P=a，
把（1，1）代入所设的方程得：
a=2,则所求直线的方程为P+P=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为P=kP，把（1，1）代入所求的方程得：
k=1，则所求直线的方程为P=P.综上，所求直线的方程为：
P+P=2或P-P=0.
故选：
D．
【点评】此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道基础题．
12.（20KK春?
泗县校级月考）已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点
G（4，1），则BC边上的中点坐标为（）
A.（5，0）B.（6，-1）C.（5，-3）D.（6，-3）
【分析】利用三角形三条中线的交点到对边的距离等于到所对顶点的距离的一半，用向量表示即可求得结果.
【解答】解：
如图所示，；
•••△ABC的顶点A（2,3）,三条中线交于点G（4,1）,设BC边上的中点D（P,P）,则不=2衽;,
•••（4-2,1-3）=2（P-4,P-1）,即Y,
12（y-l）=-2
解得」,
1尸0
即所求的坐标为D（5,0）;
疋基
【点评】本题考查了利用三角形三条中线的交点性质求边的中点坐标问题,础题.
二•填空题（共4小题）
13.（2015?
益阳校级模拟）已知直线li：
aP+3P+仁0,I2：
2P+（a+1）P+仁0,若I1//I2，则实数a的值是-3.
【分析】根据I1//I2，列出方程a（a+1）-2X3=0,求出a的值，讨论a是否满足h//I2即可.
【解答】解:
\JI2,
a（a+1）—2X3=0,
即a2+a—6=0,
解得a=-3,或a=2；
当a=-3时，h为：
-3P+3P+仁0,
I2为：
2P-2P+仁0,满足h//I2；
当a=2时，I1为：
2P+3P+仁0,
12为：
2F+3P+1=0,li与12重合；
所以，实数a的值是-3.
故答案为：
-3.
【点评】本题考查了两条直线平行，斜率相等，或者对应系数成比例的应用问题，是基础题目.
14.（2015秋？
天津校级期末）直线li：
（3+a）P+4P=5-3a和直线阮2P+（5+a）P=8平行，则a=-7.
【分析】根据两直线平行的条件可知，（3+a）（5+a）-4X2=0，且5-3a^8.进而可求出a的值.
【解答】解：
直线li：
（3+a）P+4P=5-3a和直线S：
2P+（5+a）P=8平行，
则（3+a）（5+a）-4X2=0，
即a2+8a+7=0.
解得，a=-1或a=-7.
又T5-3aM8，
--a^-1.
•••a=-7.
故答案为：
-7.
【点评】本题考查两直线平行的条件，其中5-3a^8是本题的易错点.属于基础题.
15.（2015秋？
台州期末）设直线h：
P+mP+6=0和b：
（m-2）P+3P+2m=0，当m=—1时，I1III2，当m=「时，h丄I2.
【分析】利用直线平行、垂直的性质求解.
【解答】解：
•••直线l1：
P+mP+6=0和l2：
（m-2）P+3P+2m=0，
I1III2，
.m-2=_32m
1
解得m=-1;
•••直线I1：
P+mP+6=0和12：
（m-2）P+3P+2m=0，
Il丄12,
•••1X（m-2）+3m=0.
故答案为：
-1,1.
2
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用.
16.（2016春?
信阳月考）如果直线（2a+5）P+（a-2）P+4=0与直线（2-a）P+（a+3）P-1=0互相垂直，则a的值等于a=2或a=-2.
【分析】利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于a的方程可求.
【解答】解：
设直线（2a+5）P+（a-2）P+4=0为直线M;直线（2-a）P+（a+3）P-仁0为直线N
1当直线M斜率不存在时，即直线M的倾斜角为90°即a-2=0，a=2时，直线N的斜率为0,即直线M的倾斜角为0°故：
直线M与直线N互相垂直，所以a=2时两直线互相垂直.
2当直线M和N的斜率都存在时，kM=（'，kN=要使两直线互相垂直，
3.-2a+3
即让两直线的斜率相乘为-1，故：
a=-2.
3当直线N斜率不存在时，显然两直线不垂直.
综上所述：
a=2或a=-2
故答案为：
a=2或a=-2
【点评】本题考查两直线垂直的充要条件，若利用斜率之积等于-1,应注意斜
率不存在的情况.
三.解答题（共11小题）
17.（2016秋?
兴庆区校级期末）已知点A（1，1），B（-2,2），直线I过点P（-1,-1）且与线段AB始终有交点，则直线I的斜率k的取值范围为kw-
3,或k》1.
【分析】由题意画出图形，数形结合得答案.
【解答】解：
如图，
•••A（1,1）,B（-2,2）,直线I过点P（-1,-1）,又^
•••直线I的斜率k的取值范围为k<-3,或k>1.故答案为：
k<-3,或k>1.
【点评】本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.
18.（2015春？
乐清市校级期末）已知P,P满足直线I:
P+2P=6.
（1）求原点O关于直线I的对称点P的坐标；
（2）当P€[1,3]时，求.-的取值范围.
x-2
【分析】
（1）设对称后的点P（a,b），根据点的对称即可求原点O关于直线I的对称点P的坐标.
（2）根据斜率公式可知，表示的为动点（P,P）到定点（2,1）的两点的斜率的取值范围.
b）,
【解答】解：
（1）设原点O关于直线I的对称点P的坐标为（a,
（2）当P€[1,3]时,
的几何意义为到点C（2,1）的斜率的取值范围.
当P=1时，P」,当P=3时，P=：
由可得A（1,「）,B（3,'）,
从而,kAC=.：
=-,
+x
【点评】本试题主要是考查了直线的方程以及点关于直线对称点的坐标的求解和斜率几何意义的灵活运用.
19.（2016秋？
浦东新区校级月考）已知点A（1,2）、B（5,-1）,
（1）若A,B两点到直线I的距离都为2,求直线I的方程；
（2）若A,B两点到直线I的距离都为m（m>0）,试根据m的取值讨论直线I存在的条数，不需写出直线方程.
【分析】
（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1,2）和点B（5,-1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1,2）和点B（5,-1）中点，分类解出直线的方程即可；
（2）根据A,B两点与直线I的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线.
【解答】解：
：
|AB|=J（5・l）2+（・i-2）'=5，*IAB>2,
•••A与B可能在直线I的同侧，也可能直线I过线段AB中点，
1当直线I平行直线AB时：
kAB==7」,可设直线I的方程为P=-：
；P+b
5-144
I#-2+bI
依题意得：
==2,解得：
b=「或b=-,
9丄144
W+1
故直线I的方程为：
3P+4P-1=0或3+4P-21=0;
2当直线I过线段AB中点时：
AB的中点为（3,寺），可设直线I的方程为P-*=k
（P-3）
依题意得•質k+31=2,解得：
k=/_,
24
故直线I的方程为：
一P-2P-=0;
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（2）A,B两点到直线I的距离都为m（m>0）,AB平行的直线，满足题意得一定有2条，
经过AB中点的直线，
若2m<|AB|，则有2条；
若2m=|AB，则有1条；
若2m>|AB|，则有0条，
•-IAB|=5，
综上
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