(2)直线y=kx+b(k≠0)与直线y=kx(k≠0)的位置关系.
直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)
当b>0时,把直线y=kx向上平移b个单位,可得直线y=kx+b;
当b﹤O时,把直线y=kx向下平移|b|个单位,可得直线y=kx+b.
(3)直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2(k1≠0 ,k2≠0)的位置关系.
①k1≠k2
y1与y2相交;
②
y1与y2相交于y轴上同一点(0,b1)或(0,b2);
③
y1与y2平行;
④
y1与y2重合.
典例剖析
基本概念题
本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系,以及构成一次函数及正比例函数的条件.
例1 下列函数中,哪些是一次函数?
哪些是正比例函数?
(1)y=-
x;
(2)y=-
;(3)y=-3-5x;
(4)y=-5x2; (5)y=6x-
(6)y=x(x-4)-x2.
例2 当m为何值时,函数y=-(m-2)x
+(m-4)是一次函数?
基础知识应用题
本节基础知识的应用主要包括:
(1)会确定函数关系式及求函数值;(2)会画一次函数(正比例函数)图象及根据图象收集相关的信息;(3)利用一次函数的图象和性质解决实际问题;(4)利用待定系数法求函数的表达式.
例3一根弹簧长15cm,它所挂物体的质量不能超过18kg,并且每挂1kg的物体,弹簧就伸长0.5cm,写出挂上物体后,弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并判断y是否是x的一次函数.
例4某物体从上午7时至下午4时的温度M(℃)是时间t(时)的函数:
M=t2-5t+100(其中t=0表示中午12时,t=1表示下午1时),则上午10时此物体的温度为 ℃.
例5 已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)当x=4时,求y的值;
(3)当y=4时,求x的值.
例6若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1﹤x2时,y1>y2,则m的取值范围是( )
A.m﹤OﻩﻩB.m>0
C.m﹤
ﻩﻩﻩD.m>M
例7已知一次函数y=kx+b的图象如图11-22所示,求函数表达式.
例8求图象经过点(2,-1),且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式.
综合应用题
本节知识的综合应用包括:
(1)与方程知识的综合应用;
(2)与不等式知识的综合应用;(3)与实际生活相联系,通过函数解决生活中的实际问题.
例9 已知y+a与x+b(a,b为是常数)成正比例.
(1)y是x的一次函数吗?
请说明理由;
(2)在什么条件下,y是x的正比例函数?
例10某移动通讯公司开设了两种通讯业务:
“全球通”使用者先交50元月租费,然后每通话1分,再付电话费0.4元;“神州行”使用者不交月租费,每通话1分,付话费0.6元(均指市内通话)若1个月内通话x分,两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元.
(1)写出y1,y2与x之间的关系;
(2)一个月内通话多少分时,两种通讯方式的费用相同?
(3)某人预计一个月内使用话费200元,则选择哪种通讯方式较合算?
例11已知y+2与x成正比例,且x=-2时,y=0.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)画出函数的图象;
(3)观察图象,当x取何值时,y≥0?
(4)若点(m,6)在该函数的图象上,求m的值;
(5)设点P在y轴负半轴上,
(2)中的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且S△ABP=4,求P点的坐标.
例12 已知一次函数y=(3-k)x-2k2+18.
(1)k为何值时,它的图象经过原点?
(2)k为何值时,它的图象经过点(0,-2)?
(3)k为何值时,它的图象平行于直线y=-x?
(4)k为何值时,y随x的增大而减小?
例13判断三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一条直线上.
学生做一做判断三点A(3,5),B(0,-1),C(1,3)是否在同一条直线上.
探索与创新题
主要考查学生运用知识的灵活性和创新性,体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用.
例14 老师讲完“一次函数”这节课后,让同学们讨论下列问题:
(1)x从0开始逐渐增大时,y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30?
这说明了什么?
(2)直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何?
甲生说:
“y=6x的函数值先达到30,说明y=6x比y=2x+8的值增长得快.”
乙生说:
“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的.”
你认为这两个同学的说法正确吗?
例15某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游,用旅行社说:
“如果老师买全票,其他人全部半价优惠.”乙旅行社说:
“所有人按全票价的6折优惠.”已知全票价为240元.
(1)设学生人数为x,甲旅行社的收费为y甲元,乙旅行社的收费为y乙元,分别表示两家旅行社的收费;
(2)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠.
学生做一做某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案.甲方案:
每千克9元,由基地送货上门;乙方案:
每千克8元,由顾客自己租车运回,已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.
(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式,并写出自变量X的取值范围;
(2)当购买量在什么范围时,选择哪种购买方案付款少?
并说明理由.
例16一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6,相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2,则这个函数的解析式为 .
基础训练习题:
1.某地举办乒乓球比赛的费用y(元)包括两部分:
一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b(元),另一部分与参加比赛的人数x(人)成正比例,当x=20时y=160O;当x=3O时,y=200O.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)动果有50名运动员参加比赛,且全部费用由运动员分摊,那么每名运动员需要支付多少元?
2.已知一次函数y=kx+b,当x=-4时,y的值为9;当x=2时,y的值为-3.
(1)求这个函数的解析式。
(2)在直角坐标系内画出这个函数的图象.
3.如图所示,大拇指与小拇指尽量张开时,两指尖的距离称为指距.某项研究表明,一般情况下人的身高h是指距d的一次函数,下表是测得的指距与身高的一组数据.
指距d/cm
20
21
22
23
身高h/cm
160
169
178
187
(1)求出h与d之间的函数关系式;(不要求写出自变量d的取值范围)
(2)某人身高为196cm,一般情况下他的指距应是多少?
4.汽车由重庆驶往相距400千米的成都,如果汽车的平均速度是100千米/时,那么汽车距成都的路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数关系用图象(如图所示)表示应为()
5.已知函数:
(1)图象不经过第二象限;
(2)图象经过点(2,-5).请你写出一个同时满足
(1)和
(2)的函数关系式:
.
6.人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果用a表示一个人的年龄,用b表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数,另么b=0.8(220-a).
(1)正常情况下,在运动时一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是多少?
(2)一个50岁的人运动10秒时心跳的次数为20次,他有危险吗?
7.某市的A县和B县春季育苗,急需化肥分别为90吨和60吨,该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨,全部调配给A县和B县.已知C,D两县运化肥到A,B两县的运费(元/吨)如下表所示.
(1)设C县运到A县的化肥为x吨,求总运费W(元)与x(吨)的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案.
8.2006年夏天,某省由于持续高温和连日无雨,水库蓄水量普遍下降,图11-29是某水库的蓄水量V(万米2)与干旱持续时间t(天)之问的关系图,请根据此图回答下列问题.
(1)该水库原蓄水量为多少万米2?
持续干旱10天后.水库蓄水量为多少万米3?
(2)若水库存的蓄水量小于400万米3时,将发出严重干旱警报,请问:
持续干旱多少天后,将发生严重干旱警报?
(3)按此规律,持续干旱多少天时,水库将干涸?
9.图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中,路程y(千米)随时间x(分)变化的图象(全程),根据图象回答下列问题.
(1)当比赛开始多少分时,两人第一次相遇?
(2)这次比赛全程是多少千米?
(3)当比赛开始多少分时,两人第二次相遇?
10.如图11-31所示,已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A,B两点,直线l经过原点,与线段AB交于点C,把△AOB的面积分为2:
1的两部分,求直线l的解析式.
参考答案
基本概念题
例1:
[分析] 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解.
解:
(1)(3)(5)(6)是一次函数,(l)(6)是正比例函数.
例2:
[分析]某函数是一次函数,除应符合y=kx+b外,还要注意条件k≠0.
解:
∵函数y=(m-2)x
+(m-4)是一次函数,
∴
∴m=-2.
∴当m=-2时,函数y=(m-2)x
+(m-4)是一次函数.
小结 某函数是一次函数应满足的条件是:
一次项(或自变量)的指数为1,系数不为0.而某函数若是正比例函数,则还需添加一个条件:
常数项为0.
基础知识应用题
例3:
[分析]
(1)弹簧每挂1kg的物体后,伸长0.5cm,则挂xkg的物体后,弹簧的长度y为(l5+0.5x)cm,即y=15+0.5x.
(2)自变量x的取值范围就是使函数关系式有意义的x的值,即0≤x≤18.
(3)由y=15+0.5x可知,y是x的一次函数.
解:
(l)y=15+0.5x.
(2)自变量x的取值范围是0≤x≤18.
(3)y是x的一次函数.
学生做一做乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米,火车从乌鲁木齐出发,其平均速度为58千米/时,则火车离库尔勒的距离s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数关系式是 .
老师评一评研究本题可采用线段图示法,如图11-19所示.
火车从乌鲁木齐出发,t小时所走路程为58t千米,此时,距离库尔勒的距离为s千米,故有58t+s=600,所以,s=600-58t.
例4:
[分析]本题给出了函数关系式,欲求函数值,但没有直接给出t的具体值.从题中可以知道,t=0表示中午12时,t=1表示下午1时,则上午10时应表示成t=-2,当t=-2时,M=(-2)3-5×(-2)+100=102(℃).
答案:
102
例5:
[分析]由y-3与x成正比例,则可设y-3=kx,由x=2,y=7,可求出k,则可以写出关系式.
解:
(1)由于y-3与x成正比例,所以设y-3=kx.
把x=2,y=7代入y-3=kx中,得:
7-3=2k,∴k=2.
∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x,即y=2x+3.
(2)当x=4时,y=2×4+3=11.
(3)当y=4时,4=2x+3,∴x=
.
学生做一做已知y与x+1成正比例,当x=5时,y=12,则y关于x的函数关系式是 .
老师评一评由y与x+1成正比例,可设y与x的函数关系式为y=k(x+1).
再把x=5,y=12代入,求出k的值,即可得出y关于x的函数关系式.
设y关于x的函数关系式为y=k(x+1).∵当x=5时,y=12,
∴12=(5+1)k,∴k=2.∴y关于x的函数关系式为y=2x+2.
【注意】y与x+1成正比例,表示y=k(x+1),不要误认为y=kx+1.
例6:
[分析] 本题考查正比例函数的图象和性质,因为当x1<x2时,y1>y2,说明y随x的增大而减小,所以1-2m﹤O,∴m>
故正确答案为D项.
学生做一做某校办工厂现在的年产值是15万元,计划今后每年增加2万元.
(1)写出年产值y(万元)与年数x(年)之间的函数关系式;
(2)画出函数的图象;
(3)求5年后的产值.
老师评一评
(1)年产值y(万元)与年数x(年)之间的函数关系式为y=15+2x.
(2)画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x≥0,因此,函数y=15+2x的图象应为一条射线.
画函数y=12+5x的图象如图11-21所示.
(3)当x=5时,y=15+2×5=25(万元)
∴5年后的产值是25万元.
例7:
[分析]从图象上可以看出,它与x轴交于点(-1,0),与y轴交于点(0,-3),代入关系式中,求出k为即可.
解:
由图象可知,图象经过点(-1,0)和(0,-3)两点,
代入到y=kx+b中,得
∴
∴此函数的表达式为y=-3x-3.
例8:
[分析] 图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2,则可设此表达式为y=2x+b,再将点(2,-1)代入,求出b即可.
解:
由题意可设所求函数表达式为y=2x+b,
∴图象经过点(2,-1),∴-l=2×2+b.∴b=-5,
∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.
综合应用题
例9:
[分析]判断某函数是一次函数,只要符合y=kx+b(k,b中为常数,且k≠0)即可;判断某函数是正比例函数,只要符合y=kx(k为常数,且k≠0)即可.
解:
(1)y是x的一次函数.∵y+a与x+b是正比例函数,
∴设y+a=k(x+b)(k为常数,且k≠0)整理得y=kx+(kb-a).
∵k≠0,k,a,b为常数,∴y=kx+(kb-a)是一次函数.
(2)当kb-a=0,即a=kb时,y是x的正比例函数.
例10:
[分析]这是一道实际生活中的应用题,解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算,方可得出正确结论.
解:
(1)y1=50+0.4x(其中x≥0,且x是整数)
y2=0.6x(其中x≥0,且x是整数)
(2)∵两种通讯费用相同,∴y1=y2,
即50+0.4x=0.6x.∴x=250.
∴一个月内通话250分时,两种通讯方式的费用相同.
(3)当y1=200时,有200=50+0.4x,∴x=375(分).∴“全球通”可通话375分.当y2=200时,有200=0.6x,∴x=333
(分).∴“神州行”可通话333
分.∵375>333
∴选择“全球通”较合算.
例11:
[分析]由已知y+2与x成正比例,可设y+2=kx,把x=-2,y=0代入,可求出k,这样即可得到y与x之间的函数关系式,再根据函数图象及其性质进行分析,点(m,6)在该函数的图象上,把x=m,y=6代入即可求出m的值.
解:
(1)∵y+2与x成正比例,∴设y+2=kx(k是常数,且k≠0)
∵当x=-2时,y=0.∴0+2=k·(-2),∴k=-1.
∴函数关系式为x+2=-x,即y=-x-2.
(2)列表;
x
0
-2
y
-2
0
描点、连线,图象如图11-23所示.
(3)由函数图象可知,当x≤-2时,y≥0.∴当x≤-2时,y≥0.
(4)∵点(m,6)在该函数的图象上,∴6=-m-2,∴m=-8.
(5)函数y=-x-2分别交x轴、y轴于A,B两点,∴A(-2,0),B(0,-2).
∵S△ABP=
·|AP|·|OA|=4,∴|BP|=
.∴点P与点B的距离为4.
又∵B点坐标为(0,-2),且P在y轴负半轴上,∴P点坐标为(0,-6).
例12:
[分析]函数图象经过某点,说明该点坐标适合方程;图象与y轴的交点在y轴上方,说明常数项b>O;两函数图象平行,说明一次项系数相等;y随x的增大而减小,说明一次项系数小于0.
解:
(1)图象经过原点,则它是正比例函数.
∴
∴k=-2.∴当k=-3时,它的图象经过原点.
(2)该一次函数的图象经过点(0,-2).∴-2=-2k2+18,且3-k≠0,
∴k=±
。
∴当k=±
时,它的图象经过点(0,-2)
(3)函数图象平行于直线y=-x,∴3-k=-1,∴k=4.
∴当k=4时,它的图象平行于直线x=-x.
(4)∵随x的增大而减小,∴3-k﹤O.∴k>3.∴当k>3时,y随x的增大而减小.
例13:
[分析] 由于两点确定一条直线,故选取其中两点,求经过这两点的函数表达式,再把第三个点的坐标代入表达式中,若成立,说明在此直线上;若不成立,说明不在此直线上.
解:
设过A,B两点的直线的表达式为y=kx+b.
由题意可知,
∴
∴过A,B两点的直线的表达式为y=x-2.
∴当x=