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最新考研概率论与数理统计题库题目

考研概率论与数理统计题库-题目

概率论与数理统计

第一章概率论的基本概念

1.写出下列随机试验的样本空间

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）

（2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

2.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。

（1）A发生，B与C不发生

（2）A，B都发生，而C不发生

（3）A，B，C中至少有一个发生

（4）A，B，C都发生

（5）A，B，C都不发生

（6）A，B，C中不多于一个发生

（7）A，B，C中不多于二个发生

（8）A，B，C中至少有二个发生。

3.设A，B是两事件且P（A）=0.6，P（B）=0.7.问

（1）在什么条件下P（AB）取到最大值，最大值是多少,

（2）在什么条件下P（AB）取到最小值，最小值是多少,

4.设A，B，C是三事件，且P（A）?

P（B）?

P（C）?

1/4,P（AB）?

P（BC）?

0，P（AC）?

求A，B，C至少有一个发生的概率。

1.8

5.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。

（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2?

9）

6.在房间里有10人。

分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。

（1）求最小的号码为5的概率。

（2）求最大的号码为5的概率。

7.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。

在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少,

8.在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。

（1）求恰有90个次品的概率。

（2）至少有2个次品的概率。

9.从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少,10.将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少,

11.已知P（）?

0.3,P（B）?

0.4,P（A）?

0.5,求P（B|A?

）。

12.P（A）?

111,P（B|A）?

P（A|B）?

求P（A?

B）。

432

13.设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，

问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少,

（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球;第二只盒子装有4只红球，5只白球。

先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

14.已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。

今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少,

15.一学生接连参加同一课程的两次考试。

第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P;若第一次不及格则第二次及格的概率为P/2

（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。

（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。

16.某人下午5:

00下班，他所积累的资料表明:

某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:

47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。

17.有两箱同种类型的零件。

第一箱装5只，其中10只一等品;第二箱30只，其中18只一等品。

今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。

试求

（1）第一次取到的零件是一等品的概率。

（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

18.设有4个独立工作的元件1，2，3，4。

它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图

（1）的方式联接，求系统的可靠性。

19.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。

飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。

求飞机被击落的概率。

20.设由以往记录的数据分析。

某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分别为P

（A1）=0.8,P（A2）=0.15,P（A2）=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），试分别求P（A1|B）P（A2|B）,P（A3|B）

（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、

第二、第三件是互相独立地）

21.将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是（1,α）/2。

今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1,p2,p3（p1+p2+p3=1），已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少,（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。

）

第二章随机变量及其分布

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律

2.进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q=1,p（0<p<1）

（1）将实验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。

（此时称X服从以p为参数的几何分布。

）

（2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。

（此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布。

）

（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。

3.一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有2个设备被使用的概率是多少,

（2）至少有3个设备被使用的概率是多少,

（3）至多有3个设备被使用的概率是多少,

（4）至少有一个设备被使用的概率是多少,

4.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。

有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。

鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。

假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。

（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。

（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。

以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。

（3）求试飞次数X小于Y的概率;求试飞次数Y小于X的概率。

5.甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6,0.7，令各投三次。

求

（1）二人投中次数相等的概率。

（2）甲比乙投中次数多的概率。

6.有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。

如果从中挑4

杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。

（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少,

（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。

他连续试验10次，成功3次。

试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。

）

7.有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验:

从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收;否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求

（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率

（2）需作第二次检验的概率

（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率

（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率

（5）这批产品被接受的概率

8.电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求

（1）每分钟恰有8次呼唤的概率

（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。

9.以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是

0.4x,x?

0FX（x）?

求下述概率:

（1）P{至多3分钟};

（2）P{至少4分钟};（3）P{3分钟至4分钟之

间};

（4）P{至多3分钟或至少4分钟};（5）P{恰好2.5分钟}

0,x?

1,?

10.设随机变量X的分布函数为FX（x）?

lnx,1?

e,，

1,x?

求

（1）P（X<2）,P{0<X?

3},P（2<X<）;

（2）求概率密度fX（x）.

11.设随机变量X的概率密度f（x）为

（1）f（x）?

1其它

（2）f（x）?

x1?

其他?

求X的分布函数F（x），并作出

（2）中的f（x）与F（x）的图形。

12.某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度:

1000?

1000f（x）?

其它?

现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。

任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少,

13.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为:

FX（x）?

5e,x?

0,其它

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。

他一个月要到银行5次。

以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分

布律。

并求P（Y?

1）。

14.设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4x2?

4xK?

0有实根的概率15.设X,N（3.22）

（1）求P（2<X?

5），P（,4）<X?

10），P{|X|>2}，P（X>3）

（2）决定C使得P（X>C）=P（X?

C）

16.由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。

规定长度在范围10.05?

0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少,

17.设随机变量X的分布律为:

2，,1，0，1，3

1，5111，，，51561130

求Y=X2的分布律

18.设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布

（1）求Y=eX的分布密度

（2）求Y=,2lnX的概率密度。

19.设X,N（0，1）

（1）求Y=eX的概率密度

（2）求Y=2X2+1的概率密度。

（3）求Y=|X|的概率密度。

20.

（1）设随机变量X的概率密度为f（x），求Y=X3的概率密度。

（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X2的概率密度。

第三章多维随机变量及其分布

1.在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两

次，每次取一只。

考虑两种试验:

（1）放回抽样，

（2）不放回抽样。

我们定义随机变量X，Y如下:

0,若第一次取出的是正品X?

1,若第一次取出的是次品?

0,若第二次取出的是正品Y?

1,若第二次取出的是次品?

试分别就

（1）

（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

2.盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。

k（6?

y）,0?

2,2?

43.设随机变量（X，Y）概率密度为f（x,y）?

其它?

（1）确定常数k。

（3）求P（X<1.5}

（2）求P{X<1,Y<3}（4）求P（X+Y?

分析:

利用P{（X,Y）?

G}=?

f（x,y）dxdy?

f（x,y）dxdy再化为累次积分，其中

GG?

2,?

Do?

（x,y）?

4.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

4.8y（2?

x）f（x,y）?

1,0?

x其它

求边缘概率密度.

cxy,x?

5.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x,y）?

0,其它?

（1）试确定常数c。

（2）求边缘概率密度。

6.设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。

Y的概率密度?

e2,y?

为fY（y）?

0,y?

0.?

（1）求X和Y的联合密度。

（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。

7.设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为

te,f（t）?

0t?

并设各周的需要量是相互独立的，试求

（1）两周

（2）三周的需要量的概率密度。

（1）求P{X=2|Y=2}，P{Y=3|X=0}

（2）求V=max（X,Y）的分布律（3）求U=min（X,Y）的分布律

9.设随机变量（X，Y）的概率密度为

（x?

y）?

f（x,y）?

1,0?

其它

（1）试确定常数b;

（2）求边缘概率密度fX（x），fY（y）（3）求函数U=max（X,Y）的分布函数。

第四章随机变量的数字特征

1.某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。

每次随机地抽取10件产品进行检验，

如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E（X）。

（设诸产品是否是次品是相互独立的。

）

2，3，4，将球逐个独立2.有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，

地，随机地放入4

只盒子中去。

设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E（X）。

3.设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连

续型随机变量。

其概率密度为

10?

1500?

（1500）2x,?

1f（x）?

（x?

3000）,1500?

15002

（1500）?

其他?

求E（X）

4.设随机变量X的分布为

求E（X），E（3X2+5）

（1）求E（X），E（Y）。

（2）设Z=Y/X，求E（Z）。

（3）设Z=（X,Y）2，求E（Z）。

XPk

20.4

00.3

20.3

6.设随机变量X1，X2的概率密度分别为

2e?

2x,f1（x）?

0x?

4e?

4x,x?

0f2（x）?

0,x?

2求

（1）E（X1+X2），E（2X1,3X2）;

（2）又设X1，X2相互独立，求E（X1X2）

7.将n只球（1,n号）随机地放进n只盒子（1,n号）中去，一只盒子装一只球。

将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E（X）8.

（1）设随机变量X的数学期望为E（X），方差为D（X）>0，引入新的随机变量（X*称为标准化的随机变量）:

X*?

E（X）

D（X）

验证E（X*）=0，D（X*）=1

（2）已知随机变量X的概率密度。

|1?

x|,f（x）?

求X*的概率密度。

2其它,

9.设X为随机变量，C是常数，证明D（X）<E{（X,C）2}，对于C?

E（X），（由于D（X）=E{[X,E（X）]2}，上式表明E{（X,C）2}当C=E（X）时取到最小值。

）

1e?

010.设随机变量X服从指数分布，其概率密度为f（x）?

其中θ>0是常数，

0,x?

求E（X），D（X）。

11.设X1,X2,?

Xn是相互独立的随机变量且有E（Xi）?

μ,D（Xi）?

σ2,i=1,2,?

n.记

1n1Xi，S?

12?

σ2（Xi?

）.

（1）验证E（）?

μ,D（）?

（2）验证ni?

12nn1?

22?

.（3）验证E（S2）S?

in?

12.设X,N（μ，σ2），Y,N（μ，σ2），且X，Y相互独立。

试求Z1=αX+βY和Z2=αX,βY的相关系数（其中?

是不为零的常数）.

13.对于两个随机变量V,W若E（V2）E（W2）存在,证明[E（VW）]2?

E（V2）E（W2）这一不等式称为柯西施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式.

14.

（1）设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且有E（Xi）=i,D（Xi）=5

i,i=1,2,3,4。

设

Y=2X1,X2+3X3,1X4，求E（Y），D（Y）。

（2）设随机变量X，Y相互独立，且X,N（720，302），Y,N（640，252），求Z1=2X+Y，Z2=X,Y的分布，并求P{X>Y},P{X+Y>1400}

第五章大数定理及中心极限定理

1.据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。

2.计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（,0.5，0.5）上服从均匀分布，

（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少,

（2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.903.一复杂的系统，由100个互相独立起作用的部件所组成。

在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。

为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。

求整个系统工作的概率。

（2）一个复杂的系统，由n个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。

且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95。

4.随机地取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以,分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均:

（1）求P{4.9<?

5.1}

（2）P{?

0.1?

0.1}

5.某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差σ2=400为了估计μ，随机地取几只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相

互独立的）直到失败，测得其

n1寿命X1，?

，Xn，以?

少,?

Xi?

1i作为μ的估计，为使P{|?

μ|}?

0.95,问n至少为多

第六章样本及抽样分布

1.在总体N（52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率。

2.在总体N（12，4）中随机抽一容量为5的样本X1，X2，X3，X4，X5.

（1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。

（2）求概率P{max（X1，X2，X3，X4，X5）>15}.

（3）求概率P{min（X1，X2，X3，X4，X5）>10}.

3.设X1，X2，?

，Xn是来自泊松分布π（λ）的一个样本，，S2分别为样本均值和样本方差，求E（）,D（）,E（S2）.

4.设总体X~b（1,p），X1，X2，?

，Xn是来自X的样本。

（1）求（X1,X2,?

Xn）的分布律;

（2）求?

1ni的分布律;（3）求E（）,D（）,E（S2）.

5.设总体X~N（μ，σ2），X1，?

，X10是来自X的样本。

（1）写出X1，?

，X10的联合概率密度

（2）写出的概率密度。

第七章参数估计

1.随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）

74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求总体均值

μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。

2.设X1，X1，?

，Xn为准总体的一个样本。

求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。

θcθx?

（θ?

1）,x?

（1）f（x）?

0,其它?

1,0?

（2）f（x）?

0,其它.?

（5）P（X?

x）?

其中c>0为已知，θ>1，θ为未知参数。

其中θ>0，θ为未知参数。

xx（1?

p）m?

x,x?

0,1,2,?

m,0?

1,p为未知参数。

3.求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。

4.设X1，X1，?

，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。

5.设总体X~N（μ，σ2），X1，X1，?

，Xn是来自X的一个样本。

试确定常数c使c?

（X

1n?

1i?

Xi）2为σ2的无偏估计。

6.设X1，X2，X3，X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量

T1?

11（X1?

X2）?

（X3?

X4）63

T2?

（X1?

2X2?

3X3?

4X4）5

T3?

（X1?

X2?

X3?

X4）

（1）指出T1，T2，T3哪几个是θ的无偏估计量;

（2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。

7.设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.05.7

5.86.57.06.3

5.66.15.0。

设干燥时间总体服从正态分布N~（μ，σ2），求μ的置信度为0.95的置信区间。

（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）

（2）若σ为未知。

8.随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11（m/s）。

设炮口速度服从正态分布。

求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。

9.研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。

设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为

求两燃烧率总体均值差μ1,μ2的置信度为

0.99x1?

18cm/s,x2?

24cm/s.设两样本独立，

的置信区间。

10.设两位化验员A，B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测

2222定值的样本方差依次为SA分别为A，B所测定的测定值?

0.5419,SB?

0.6065.设σA,σB

22总体的方差，设总体均为正态的。

设两样本独立，求方差比σA的置信度为0.95的置B

信区间。

第八章假设检验

1.某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.253.273.24

3.263.24。

设测定值总体服从正态分布，问在α=0.01下能否接受假设:

这批矿砂的含镍量的均值为

3.25.

1（5?

1）?

0.618，这样的矩形称为黄金2

矩形。

这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的

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