概率论与数理统计历年考研试题Word下载.docx
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4．（1991年、数学一、填空）设X～N（2，）且P{2<
X<
4}=0.3,则P{X<
0}=（）。
[答案填：
0.2]
即,则
5．（1992年、数学一、填空）设随机变量X服从参数为1的指数分布,则（）.[答案填：
]
6．（1995年、数学一、填空）设X表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则=（）。
[答案填：
18.4]X～B（10,0.4）,则
7．（1996年、数学一、填空）设两个随机变量X与Y相互独立且均服从分布N（0,）,则E|X-Y|=（）.[答案填：
令U=X-Y,则U～N（0,1）,从而E|X-Y|=E|U|=
=
8．（1996年、数学一、计算）设两个随机变量与相互独立且同分布，的分布律为P（=k）=,k=1,2,3,又X=max（,）,Y=min（,）.
（1）写出（X,Y）的分布律;
（2）求E（X）.解：
（1）（X,Y）的分布律如下：
（2）X的边缘分布为:
则E（X）=.
9．（1997年、数学一、选择）设随机变量X与Y相互独立且D（X）=4,D（Y）=2,则D（3X-2Y）=（）.A.8B.16C.28D.44[答案选：
D]D（3x-2Y）=9D（x）+4D（Y）=44
10．（1997年、数学一、计算）从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，其概率均为0.4，用X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数和数学期望。
显然X～B（3,0.4）,其分布律为，i=0,1,2,3,分布函数为：
，E（X）=
11．（1998年、数学一、计算）设随机变量X与Y相互独立，均服从N（0,0.5）分布，求|X-Y|的方差。
显然X-Y～N（0,1）,则,而E|X-Y|=（见第102题），故|X-Y|=1-
12．（2000年、数学一、计算）某流水生产线上每个产品不合格的概率为p（0<
p<
1），各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修。
设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X,求E（X）和D（X）。
记q=1-p,则X的概率分布为，i=1,2,…
则：
13．（1987年、数学三、计算）设，求随机变量的期望。
由，可知
14．（1989年、数学三、计算）设与的联合密度为，求：
，。
，可知或
15．（1991年、数学三、选择）若，则（）正确。
与独立与不独立[答案选：
].由得又可知.由得可知.由，得，得，可知与不相关，但未必独立。
16．（1992年、数学三、计算）谋设备有三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率为，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数的期望与方差。
设{谋设备第个需调整的部件}且相互独立，，，，同时需调整的部件数的所有可能取值为由得
17．（1993年、数学三、计算）设且与同分布，与独立，，求：
（1）值；
（2）的期望。
（1）由设且与同分布，与独立，可知当时，即与相矛盾，因而，即，即即，即，（不合题意，舍去）
（2）。
18．（1994年、数学三、计算）由自动线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，设销售利润（元）与销售零件的内径的关系为问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
由，即且，可知由得令，即即即，平均内径取时，销售一个零件的平均利润最大。
19．（1996年、数学三、计算）设一部机器在一天内发生故障的概率为，机器发生故障时，全天停止工作，一周五个工作日，若无故障，可获利10万元，若发生一次故障，仍可获利5万元，若发生两次故障，获利为零。
若至少发生三次故障，要亏损2万元，求一周内的利润期望。
设{一周共五个工作日，机器发生故障的天数}且则：
所以一周内的利润期望为万元。
20．（1997年、数学三、计算）游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟，从底层起行，一游客在早八点的第分钟到达底层候梯处，且在上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。
由到达时刻在上服从均匀分布，可知且等候时间
21．（1997年、数学三、计算）两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，先开动其中的一台，当发生故障时，自动停机，另一台自动开机。
求：
两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度、期望值与方差。
设{第台自动记录仪无故障的工作时间}，，与独立同分布，且，即，当时，当时，即为两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度。
。
22．（1998年、数学三、计算）设一商店经销某种商品，每周的进货量与顾客对该商品的需求量是两个相互独立的随机变量，均服从区间上的均匀分布，此商店每售出一个单位的商品，可获利1000元，若需求量超过了进货量，可从其它商店调剂供应，此时售出的每单位商品，仅获利500元，求此商店经销这种商品每周获利的期望。
设一商店经销某种商品的每周所获利润为元，据题意可知：
当时，当时，即且所以此商店经销这种商品每周获利的期望是14167元。
23．（1999年、数学三、填空）设随机变量独立同分布，，则的数学期望（）。
（答案：
）
24．（2000年、数学三、填空）设随机变量在区间上服从均匀分布；
随机变量则（）。
[答案填：
25．（1998年、数学四、填空）设一次试验的成功率为，进行100此独立重复试验，当（）时，成功次数的标准差的值最大，最大值为（）。
（答案：
）解：
据题意可知，，即令，得且。
26．（1987年、数学四、计算）设随机变量的概率分布为。
（1）写出其分布函数；
（2）求的期望与方差。
（1）由，可知，当时，当时，当时，当时，即的分布函数。
（2）。
27．（1988年、数学四、计算）设十只同种电器元件中有两只废品，装配仪器时，从这批元件众任取1只，若是废品，则扔掉从新任取1只，若仍是废品，则在扔掉还取1只。
在取到正品之前，已取出的废品数的概率分布、数学期望及方差。
设事件{从10只电器元件中，任取一只，第次取到废品}在取到正品前，已取出废品数为随机变量，其所有可能取的值为，，，其概率分布如下：
由得：
28．（1989年、数学四、计算）设随机变量与的联合分布为
（1）的概率分布；
（2）的概率分布；
（3）的数学期望。
（1）由与的联合分布可知的概率分布如下：
（2）的概率分布如下：
（3）的概率分布如下：
可知：
29．（1989年、数学四、填空）设随机变量相互独立且，若，则（）。
46]解：
由，可知；
由，可知；
由，可知相互独立
30．（1993年、数学四、计算）设随机变量与相互独立，均在区间上服从均匀分布，引进事件，且。
（2）的数学期望。
（1）由与在上均服从均匀分布，可知，当时由随机变量与相互独立，可知事件与也是相互独立的。
与相矛盾，因而。
当时，即，即或
（2）。
31．（1995年、数学四、填空）设，则（）。
]解：
。
32．（1997年、数学四、选择）设是随机变量且，则对任意常数，（）成立。
[答案选：
]由，得显然
33．（1997年、数学四、计算）设且，求：
（1）与的联合概率分布；
（1）由，可知由，得，
（2）又。
34．（1998年、数学四、计算）设商店经销某种商品的每周需求量服从区间上的均匀分布，而进货量为区间中的某一个整数，商店每售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每售出一单位商品仅获利300元，求此商店经销这种商品每周进货量为多少，可使获利的期望不少于9280元。
设一商店经销某种商品的每周进货量为且当时，当时，即且令，即，即，取。
答：
此商店经销这种商品每周进货量为21个单位，可使获利的期望不少于9280元。
35．（1999年、数学四、填空）设随机变量服从参数为的泊松（Poisson）分布，且已知，则（）。
1]
36．（20XX年、数学四、计算）设随机变量X和Y的联合分布在以点（0,1）,（1,0）,（1,1）,为顶点的三角形区域D上服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的方差。
由条件可知（X,Y）的联合分布密度为：
，则：
同理，
又：
，综上可知：
37．（1993年、数学一、计算）设
（1）求E（X）,D（X）；
（2）求X与|X|的协方差且判定二者是否不相关；
（3）判断X与|X|是否相互独立。
（1）由于X的密度为偶函数则E（X）=0,若设随机变量Y服从参数为1的指数分布，利用指数分布随机变量的均值及方差的有关结论不难知：
（2），即X与|X|不相关。
（3）设0<
a<
+,则从而，但是
则，即知X与|X|不独立。
38．（1994年、数学一、计算）设，其中求：
（1）E（Z）,D（Z）;
（2）；
（3）X与Z是否相互独立？
为什么？
（1），
（2）
所以
（3）由于X,Z均为正态变量，故独立与不相关等价，则由知X、Z独立。
39．（2000年、数学一、选择）设二维随机向量（X,Y）服从二维正态分布，则随机变量与不相关的充要条件为（）。
[答案选：
B]
40．（1991年、数学三、计算）设与在圆域上服从联合均匀分布，
（1）求与的相关系数；
（2）问与是否独立？
（1）由与服从圆域上的联合均匀分布，即可知关于各自的边缘概率密度函数为：
且（奇函数对称区间上的积分为0）因而且，即与的相关系数为0。
（2）由及可知，即与不独立。
41．（1995年、数学三、选择）设与独立且同分布,，则与必（）。
.不独立.独立.相关系数不为零.相关系数为零[答案：
选]由与相互独立且同分布，可知且由且得：
由，得且而
42．（1999年、数学三、计算）假设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，记，
（1）求和的联合分布；
（2）求和的相关系数。
由题设可得，
（1）有四个可能取值：
，，，
（2）由以上可见以及和的分布为：
，，于是，有，
43．（2000年、数学三、证明）设是二随机事件，随即变量：
，试证明随机变量和不相关的充要条件是与相互独立。
证明：
记，由数学期望的定义，可见现在求。
由于只有两个可能取值和，可见从而因此即随机变量和不相关当且仅当事件与相互独立。
44．（20XX年、数学三、选择）将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（）。
A.–1B.0C.0.5D.1
[答案选：
A]
由X+Y=n知：
Y=n-X,显然二者负相关。
45．（2000年、数学四、计
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