矩形的性质与判定的综合应用同步练习新北师大版九年级数学.docx

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矩形的性质与判定的综合应用同步练习新北师大版九年级数学

第3课时　矩形的性质与判定的综合应用

知识点　矩形性质与判定的应用

1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）

A．对边分别相等B．对角分别相等

C．对角线互相平分D．对角线相等

2．下列说法：

①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．已知矩形的两条对角线所夹锐角为44°，那么对角线与矩形相邻两边所夹的角分别是（　　）

A．22°，68°B．44°，66°

C．24°，66°D．40°，50°

4．如图1－2－31所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且EB平分∠AEC，则△ABE的面积为（　　）

A．2.4B．2C．1.8D．1.5

图1－2－31

图1－2－32

5．如图1－2－32，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为________．

6．在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图1－2－33所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝________cm.

图1－2－33

图1－2－34

7．如图1－2－34，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．

8．如图1－2－35，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：

AE＝CE.

　图1－2－35

9．如图1－2－36，在矩形ABCD中（AD＞AB），E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F，在下列结论中，不一定正确的是（　　）

A．△AFD≌△DCEB．AF＝

AD

C．AB＝AFD．BE＝AD－DF

图1－2－36

图1－2－37

10．如图1－2－37，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（　　）

A．2

B．3

C．4D．4

11．如图1－2－38，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长的最小值为（　　）

图1－2－38

A．4B．4.8C．5.2D．6

12．如图1－2－39，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD＝4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，则对角线AC的长为________cm.

图1－2－39

图1－2－40

13．如图1－2－40，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件____________时，四边形PEMF为矩形．

14．教材例4变式题如图1－2－41，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，AE∥BC，DE∥AB，连接CE，DE交AC于点G.

（1）求证：

四边形ADCE为矩形；

（2）点F在BA的延长线上，请直接写出图中所有与∠FAE相等的角．

　图1－2－41

15．如图1－2－42，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，点E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.

求证：

四边形EFPH为矩形．

图1－2－42

16．2016·贵阳期末如图1－2－43，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.

（1）求证：

四边形BFDE为平行四边形；

（2）若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．

图1－2－43

17．如图1－2－44，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF.

（1）求证：

四边形DAEF是平行四边形．

（2）探究下列问题（只填满足的条件，不需证明）：

①当△ABC满足条件：

____________时，四边形DAEF是矩形；

②当△ABC满足条件：

____________时，四边形DAEF是菱形；

③当△ABC满足条件：

____________时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在．

　　　　　　　　　　　　　　　　　图1－2－44

1．D　2.A　3.A

4．D　

5．20.

6．5.8.

7．4　

8．证明：

如图，过点B作BF⊥CE于点F.

∵CE⊥AD，

∴∠D＋∠DCE＝90°.

∵∠BCD＝90°，

∴∠BCF＋∠DCE＝90°，

∴∠BCF＝∠D.

在△BCF和△CDE中，∠BCF＝∠D，∠BFC＝∠CED＝90°，BC＝CD，

∴△BCF≌△CDE（AAS），

∴BF＝CE.

∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE，

∴四边形AEFB是矩形，

∴AE＝BF，

∴AE＝CE.

9．B　

10．A　.

11．B

12．5　

13．2AB＝BC

14．解：

（1）证明：

∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD.

∵D为BC的中点，

∴BD＝CD，∴AE＝CD，

∴四边形ADCE是平行四边形．

∵AB＝AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，

∴四边形ADCE是矩形．

（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.

∵AE∥BC，∴∠AED＝∠EDC，∠EAC＝∠ACB，∠FAE＝∠B，

∴∠FAE＝∠B＝∠ACB＝∠AEG＝∠EAG＝∠GDC.

15．证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AD∥BC.

又∵DE＝BP，

∴四边形DEBP是平行四边形，

∴BE∥DP.

∵AD＝BC，DE＝BP，

∴AE＝CP.

又∵AD∥BC，即AE∥CP，

∴四边形AECP是平行四边形，

∴AP∥CE，

∴四边形EFPH是平行四边形．

∵在矩形ABCD中，∠ADC＝∠ABP＝90°，

AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，DE＝BP＝1，

∴CE＝

，同理BE＝2

，

∴BE2＋CE2＝BC2，

∴∠BEC＝90°，

∴四边形EFPH为矩形．

16．解：

（1）证法一：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB.

由折叠的性质可得：

∠ABE＝

∠ABD，∠CDF＝

∠CDB，

∴∠ABE＝∠CDF.

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴DE＝BF，DE∥BF，

∴四边形BFDE为平行四边形．

证法二：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠ABD＝∠CDB，DE∥BF.

由折叠的性质得∠EBD＝

∠ABD，∠FDB＝

∠CDB，

∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF.

又∵DE∥BF，

∴四边形BFDE为平行四边形．

（2）∵四边形BFDE为菱形，

∴BE＝DE，∠FBD＝∠EBD＝∠ABE.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝∠FBD＝∠EBD＝30°.

在Rt△ABE中，∵AB＝2，

∴AE＝

＝

，BE＝2AE＝

，

∴BC＝AD＝AE＋DE＝AE＋BE＝

＋

＝2

.

17．解：

（1）证明：

∵△ABD和△BCF都是等边三角形，

∴∠ABC＋∠FBA＝∠DBF＋∠FBA＝60°，

∴∠ABC＝∠DBF.

又∵BA＝BD，BC＝BF，

∴△ABC≌△DBF，

∴AC＝DF＝AE.

同理可证△ABC≌△EFC，

∴AB＝EF＝AD，

∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

（2）①∠BAC＝150°

②AB＝AC≠BC

③∠BAC＝60°