惠州一模.docx
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惠州一模
惠州市2021届高三第一次调研考试
数学(理科)
第Ⅰ卷
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知A={1,2,4,8,16},B={y|y=log2x,x∈A},则AB=()
A.{1,2}B.{2,4,8}C.{1,2,4}D.{1,2,4,8}
2.若复数z满足z(1-i)=|1-i|+i,则z的实部为()
A.B.
2
⎧⎪3x-2
-1
()
(x<2)
C.1D.
2
3.函数f(x)=⎨
⎪⎩log3(x
,若f(a)=1,则a的值是()
2-1)x≥2
A.2B.1C.1或2D.1或﹣2
π
4.将函数y=
(sinx+cosx)图象上各点横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移
2
个单位,
2
所得函数图象的解析式是()
A.y=cosx
2
B.y=sin(x+3π
24
C.y=-sin(2x+π
4
D.y=sin(2x+3π
4
5.已知圆(x+2)2+(y-2)2=a截直线x+y+2=0所得弦长为6,则实数a的值为()
A.8B.11C.14D.17
6.执行如图的程序框图,则输出S的值为()
A.2B.-3
C.-1D.1
23
7.设a>0,b>0,若为()
是4a和2b的等比中项,则2+1的最小值
ab
A.2
B.8C.9D.10
8.某几何体的三视图如右图,其正视图中的曲线部分为半个圆弧,则该几何体的表面积为
()
A.19+πcm2
B.22+4πcm2
C.10+6
+4πcm2
D.13+6
+4πcm2
9.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:
广告费用x(万元)
1
2
4
5
销售额y(万元)
10
26
35
49
根据上表可得回归方程y=b⋅x+a的b约等于9,据此模型预报广告费用为6万元时,销售额约为()。
A.54万元B.55万元C.56万元D.57万元
10.已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,AB=2,
SA=SB=SC=2,则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是()
A.3
3
B.1C.
D.33
2
11.双曲线M:
x2y2
-
=1(a>0,b>0)实轴的两个顶点为A,B,点P为双曲线M上除
a2b2
A、B外的一个动点,若QA⊥PA且QB⊥PB,则动点Q的运动轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线12.已知f(x)是定义在R上的且以2为周期的偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2.
如果函数g(x)=f(x)-(x+m)有两个零点,则实数m的值为()
A.2k(k∈Z)
B.2k或2k+1(k∈Z)
4
C.0D.2k或2k-1(k∈Z)4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。
第
22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分。
13.已知|a|=4,|b|=2,且a与b夹角为120°,则(a+2b)⋅(a+b)=.
3
14.已知(
-
a)5的展开式中含x2的项的系数为30,则a=.
⎧y≥x
15.设m>1,变量x,y在约束条件⎪y≤mx
⎪x+y≤1
下,目标函数z=x+my的最大值为2,
则m=.
16.已知数列{a},{b}满足a
=1,a+b=1,b
=bn
(n∈N*),则b=.
n
nn1
2nnn+1
1-a2
2017
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
在∆ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3cos(B-C)-1=6cosBcosC.
(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)若a=3,∆ABC的面积为2
,求b,c边长.
18.(本小题满分12分)
4月23日是世界读书日,惠州市某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动。
为了解
本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查。
下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:
分钟)的频率分布直方图,且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”,低于60分钟的学生称为“非读书迷”.
(Ⅰ)根据已知条件完成下面2×2列联表,并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”
与性别有关?
非读书迷
读书迷
合计
男
15
女
45
合计
(Ⅱ)将频率视为概率,现在从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中“读书迷”的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列、数学期望E(X)和方差D(X).
附:
K2
=n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
n=a+b+c+d
P(K2≥k)
0
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,
AB//CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB上的点.
(Ⅰ)求证:
平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若E是PB的中点,且二面角P-AC-E的余弦值为6,求直线PA与平面EAC
3
所成角的正弦值.
20.(本小题满分12分)
已知点A(-1,0),B(1,0),直线AM与直线BM相交于点M,直线AM与直线BM的
斜率分别记为kAM与kBM,且kAM⋅kBM
(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程;
=-2.
(Ⅱ)过定点F(0,1)作直线PQ与曲线C交于P,Q两点,∆OPQ的面积是否存在最大值?
若存在,求出∆OPQ面积的最大值;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lnx-
a(x-1)
x
(a∈R).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求证:
∀x∈(1,2),不等式-1<1恒成立.
lnxx-12
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。
答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
22.(本小题满分10分)【选修4-1:
几何证明选讲】
如图,AB是O的直径,弦CD与AB垂直,并与AB相交于点E,点F为弦CD上异于点E的任意一点,连接BF、AF并延长交O于点M,N.
(Ⅰ)求证:
B,E,F,N四点共圆;
(Ⅱ)求证:
AC2+BF⋅BM=AB2.
23.(本小题满分10分)【选修4-4:
极坐标和参数方程】
在直角坐标系xOy中,直线l的倾斜角为α且经过点P(-1,0).以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C的极坐标
方程为ρ2-6ρcosθ+5=0.
(Ⅰ)若直线l与曲线C有公共点,求α的取值范围;
(Ⅱ)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.
24.(本小题满分10分)【选修4-5:
不等式选讲】设函数f(x)=|ax-1|.
(Ⅰ)若f(x)≤2的解集为[-6,2],求实数a的值;
(Ⅱ)当a=2时,若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)-f(x-1)≤7-3m成立,求实数m的取值范围.
惠州市2017届高三第一次调研考试
数学(理科)参考答案与评分标准
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
A
A
B
A
C
C
D
A
C
D
1.C【解析】由已知可得B={log21,log22,log24,log28,log216}={0,1,2,3,4},所以
AB={1,2,4},所以选C.
2.【解析】由z(1-i)=|1-i|+i=+i,得z===+i,
则z的实部为2-1,故选A.
2
1-i
(1-i)(1+i)22
考点:
复数的代数运算
3
3.【解析】若a<2,则由f(a)=1得,3a-2=1,∴a=2.此时不成立.若a≥2,则由f(a)=1得,log(a2-1)=1,∴a=2,故选A.
考点:
函数的零点;函数的值.
4.【解析】将函数y=
(sinx+cosx)=sin(x+
π
)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2
倍,可得函数
y=
24
个单位,所得函数图象的解析式为
sin(
考点:
三角函数的图象变换.
5.【解析】圆
(x+2)2+(y-2)2=a
,圆心(-2,2)
,半径
.故弦心距
d==.再由弦长公式可得a=2+9=11;故选B.
考点:
直线与圆的位置关系.
6.【解析】k=1,s=-3;k=2,s=-1;k=3,s=1;k=4,s=2,以4作为一个周期,所以
23
k=2016,s=2,故选A
7.【解析】因为4a+2b=2,所以2a+b=1,2+1=(2a+b)⎛2+1⎫=5+2⎛b+a⎫≥9
ab
当且仅当b=a即a=b=1时“=”成立,故选C
ç⎪ç⎪
abab
⎝⎭⎝⎭
ab2
考点:
基本不等式;等比数列的性质.
8.【解析】几何体是一个组合体,包括一个三棱柱和半个圆柱,三棱柱的是一个底面是腰为2
的等腰直角三角形,高是3,其底面积为:
2⨯1⨯2⨯2=4
2
,侧面积为:
3⨯2
+3⨯2=6
+6;圆柱的底面半径是1,高是3,其底面积为:
2⨯1⨯1⨯π=π,
2
侧面积为:
3⨯π=3π;
∴组合体的表面积是π+6
+4+6+3π=4π+10+6
故选C.
9.【解析】x=1+2+4+5=3,y=10+26+35+49=30,中心点为(3,30),
44
代入回归方程得30=27+a∴a=3∴y=9x+3∴x=6时y=57考点:
回归方程
10.【解析】因为三棱锥S-ABCSA=SB=SC=2,
的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,
∴S在面ABC内的射影为AB中点H,∴SH⊥平面ABC,∴SH上任意一点到A,B,C的
距离相等.
SH=
,CH=1,在面SHC内作SC的垂直平分线MO,则O为S-ABC的外接球球
心.
SC=2,∴SM=1,∠OSM
=30︒,∴SO=23,OH=3,即为O到平面ABC的距
33
离,故选A.
考点:
球内接多面体;点到面的距离的计算.
x2
11.【解析】设P(m,n),Q(x,y),双曲线M:
a2
y2
-=1,实轴的两个顶点
b2
A(-a,0),B(a,0)
QA=(-x-a,-y),PA=(-m-a,-n)∵QA⊥PA,∴(-x-a)(-m-a)+ny=0
,可得
m+a=-
ny,
x+a
同理根据QB⊥PB,可得m-a=-ny
两式相乘可得m2-2=
n2y2
P(m,n)
x-a
ax2-a2
m2n2
∵点为双曲线M上除A、B外的一个动点,∴-=1,
a2b2
整理得n2
=b2
a2
(m2-a2)
x2b2y2
a2a21
故选:
C.
12.【解析】设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,f(-x)=(-x)2=x2=
f(x),
综上,f(x)=x2,x∈[-1,1],f(x)=(x-2k)2,x∈[2k-1,2k+1],
由于直线y=x+a的斜率为1,在y轴上的截距等于a,在一个周期[-1,1]上,a=0时满足条件,a=-1时,在此周期上直线和曲线相切,并和曲线在下一个区间上图象有一个交点,
4
也满足条件.由于f(x)的周期为2,故在定义域内,满足条件的a应是
∈Z.故选D.
2k+0或2k-1,k
4
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分
2017
13.1214.-6
15.1+16.
2018
13.【解析】a=4,b=2
a⋅b=a⋅b⋅cos120︒
2
,且a与b夹角为120︒,∴a
2
=16,b=4,
=4⨯2⨯⎛-1⎫=-4,(-
)()
⋅+=a2-⋅-
2
=12,故答案为12.
ç2⎪
a2bab
ab2b
⎝⎭
考点:
1、平面向量模与夹角;2、平面向量的数量积.
14.【解析】T=Cr(
x)5-r(-
a)r,5-r=3,∴r=1,C1(-a)=30,a=-6
r+15
225
15.【解析】作出可行域如图所示,当直线z=x+my经过点B时,z有最大值,此时点B的
坐标为(
1,
m+1
mm+1
),z=
1
m+1
+
m⋅
mm+1
=2,解之得m=1+或m=1-(舍去),
所以m=1+.
考点:
线性规划.
16.【解析】∵a+b
=1,a=1,∴b=1,∵b
=bn
,∴b=1,∴
n
nn1212
n+1
1-a2
n+1
2
-bn
1-1
=-1,又∵b=1,∴1
=-2.∴数列⎧1⎫是以﹣2为首项,﹣1为
b-1b-1
12b-1
⎨b-1⎬
n+1n
1⎩n⎭
公差的等差数列,
∴1=-n-1,∴b=
n.则b=2017.故答案为:
2017.
bn-1
nn+1
2017
2018
2018
考点:
数列递推式.
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)由3cos(B-C)-1=6cosBcosC,
得3(cosBcosC-sinBsinC)=-1,...............2分即cos(B+C)=-1,.......................................3分
3
在∆ABC内,cosA=-cos(B+C)=1......................................5分
3
(Ⅱ)∵0由S∆ABC=2
3
,得1bcsinA=2
2
3
,即bc=6..........................6分
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,.............................7分
∴9=(b+c)2-2bc(1+cosA)=(b+c)2-16,
∴b+c=5..................................................................9分
⎧b+c=5
⎧b=2⎧b=3
由⎨bc=6
,得⎨c=3或⎨c=2.............................................12分
⎩⎩⎩
考点:
1、三角恒等变换;2余弦定理、;3、正弦定理的应用.
18.(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)2×2列联表如下:
非读书迷
读书迷
合计
男
40
15
55
女
20
25
45
合计
60
40
100
100⨯(40⨯25-15⨯20)2
易知K2的观测值k=≈8.249....................4分
60⨯40⨯55⨯45
因为8.249>6.635,所以有99%的把握认为“读书迷”与性别有关...............5分
(Ⅱ)由频率分布直方图可知从该校学生中任意抽取1名学生恰为“读书迷”的概率为
2
..............6分
5
由题意可知XB(3,2),X的所有可能取值为0,1,2,3,......................7分
5
P(X=0)=033=
27,
P(X=1)=1232=54,
35125355125
P(X=2)=2223=36,
P(X=3)=323=
8
...........9分
3
X的分布列为
55125
35125
X
0
1
2
3
P
27
125
54
125
36
125
8
125
..................................................................10分
E(X)=3⨯2=6................................................11分
55
D(X)=3⨯2⨯(1-2)=18......................................12分
5525
19.(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)证明:
PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PC,1
分
AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=
∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC...........................................2分又BCPC=C,PC⊂面PBC,BC⊂面PBC...................3分
∴AC⊥平面PBC,.................................................................4分
∵AC⊂平面EAC,∴平面EAC⊥平面PBC...........................5分
(Ⅱ)以C为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0)设P(0,0,a)(a>0),则E(1,-1,a),
222
CE=11a
CA=(1,1,0),CP=(0,0,a),
取m=(1,-1,0)
(,-,
22
),.......6分
2
则m⋅CP=m⋅CA=0,∴m为面PAC的法向量
设n=(x,y,z)为面EAC的法向量,则n⋅CA=n⋅CE=0,
⎧x+y=0,
⎩
即⎨x-y+az=0
,取x=a,y=-a,z=-2,则n=(a,-a,-2),..............8分
a
依题意,cos=
==
a2+2
,则a=2
3
...............9分
于是n=(2,-2,-2)................