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惠州一模

惠州市2021届高三第一次调研考试

数学(理科)

第Ⅰ卷

一.选择题:

本大题共12小题,每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知A={1,2,4,8,16},B={y|y=log2x,x∈A},则AB=()

A.{1,2}B.{2,4,8}C.{1,2,4}D.{1,2,4,8}

2.若复数z满足z(1-i)=|1-i|+i,则z的实部为()

A.B.

2

⎧⎪3x-2

-1

()

(x<2)

C.1D.

2

3.函数f(x)=⎨

⎪⎩log3(x

,若f(a)=1,则a的值是()

2-1)x≥2

A.2B.1C.1或2D.1或﹣2

π

4.将函数y=

(sinx+cosx)图象上各点横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移

2

个单位,

2

所得函数图象的解析式是()

A.y=cosx

2

B.y=sin(x+3π

24

C.y=-sin(2x+π

4

D.y=sin(2x+3π

4

5.已知圆(x+2)2+(y-2)2=a截直线x+y+2=0所得弦长为6,则实数a的值为()

A.8B.11C.14D.17

6.执行如图的程序框图,则输出S的值为()

A.2B.-3

C.-1D.1

23

7.设a>0,b>0,若为()

是4a和2b的等比中项,则2+1的最小值

ab

A.2

B.8C.9D.10

8.某几何体的三视图如右图,其正视图中的曲线部分为半个圆弧,则该几何体的表面积为

()

A.19+πcm2

B.22+4πcm2

C.10+6

+4πcm2

D.13+6

+4πcm2

9.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:

广告费用x(万元)

1

2

4

5

销售额y(万元)

10

26

35

49

根据上表可得回归方程y=b⋅x+a的b约等于9,据此模型预报广告费用为6万元时,销售额约为()。

A.54万元B.55万元C.56万元D.57万元

10.已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,AB=2,

SA=SB=SC=2,则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是()

A.3

3

B.1C.

D.33

2

11.双曲线M:

x2y2

-

=1(a>0,b>0)实轴的两个顶点为A,B,点P为双曲线M上除

a2b2

A、B外的一个动点,若QA⊥PA且QB⊥PB,则动点Q的运动轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线12.已知f(x)是定义在R上的且以2为周期的偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2.

如果函数g(x)=f(x)-(x+m)有两个零点,则实数m的值为()

A.2k(k∈Z)

B.2k或2k+1(k∈Z)

4

C.0D.2k或2k-1(k∈Z)4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。

22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。

二.填空题:

本大题共4小题,每小题5分。

13.已知|a|=4,|b|=2,且a与b夹角为120°,则(a+2b)⋅(a+b)=.

3

14.已知(

-

a)5的展开式中含x2的项的系数为30,则a=.

⎧y≥x

15.设m>1,变量x,y在约束条件⎪y≤mx

⎪x+y≤1

下,目标函数z=x+my的最大值为2,

则m=.

16.已知数列{a},{b}满足a

=1,a+b=1,b

=bn

(n∈N*),则b=.

n

nn1

2nnn+1

1-a2

2017

三.解答题:

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

在∆ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3cos(B-C)-1=6cosBcosC.

(Ⅰ)求cosA的值;

(Ⅱ)若a=3,∆ABC的面积为2

,求b,c边长.

18.(本小题满分12分)

4月23日是世界读书日,惠州市某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动。

为了解

本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查。

下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:

分钟)的频率分布直方图,且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”,低于60分钟的学生称为“非读书迷”.

(Ⅰ)根据已知条件完成下面2×2列联表,并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”

与性别有关?

非读书迷

读书迷

合计

15

45

合计

(Ⅱ)将频率视为概率,现在从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中“读书迷”的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列、数学期望E(X)和方差D(X).

 

附:

K2

=n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

n=a+b+c+d

P(K2≥k)

0

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

19.(本小题满分12分)

如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,

AB//CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB上的点.

(Ⅰ)求证:

平面EAC⊥平面PBC;

(Ⅱ)若E是PB的中点,且二面角P-AC-E的余弦值为6,求直线PA与平面EAC

3

所成角的正弦值.

 

20.(本小题满分12分)

已知点A(-1,0),B(1,0),直线AM与直线BM相交于点M,直线AM与直线BM的

斜率分别记为kAM与kBM,且kAM⋅kBM

(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程;

=-2.

(Ⅱ)过定点F(0,1)作直线PQ与曲线C交于P,Q两点,∆OPQ的面积是否存在最大值?

若存在,求出∆OPQ面积的最大值;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lnx-

a(x-1)

x

(a∈R).

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)求证:

∀x∈(1,2),不等式-1<1恒成立.

lnxx-12

 

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

22.(本小题满分10分)【选修4-1:

几何证明选讲】

如图,AB是O的直径,弦CD与AB垂直,并与AB相交于点E,点F为弦CD上异于点E的任意一点,连接BF、AF并延长交O于点M,N.

(Ⅰ)求证:

B,E,F,N四点共圆;

(Ⅱ)求证:

AC2+BF⋅BM=AB2.

23.(本小题满分10分)【选修4-4:

极坐标和参数方程】

在直角坐标系xOy中,直线l的倾斜角为α且经过点P(-1,0).以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C的极坐标

方程为ρ2-6ρcosθ+5=0.

(Ⅰ)若直线l与曲线C有公共点,求α的取值范围;

(Ⅱ)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.

 

24.(本小题满分10分)【选修4-5:

不等式选讲】设函数f(x)=|ax-1|.

(Ⅰ)若f(x)≤2的解集为[-6,2],求实数a的值;

(Ⅱ)当a=2时,若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)-f(x-1)≤7-3m成立,求实数m的取值范围.

惠州市2017届高三第一次调研考试

数学(理科)参考答案与评分标准

一.选择题:

本大题共12小题,每小题5分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

A

A

A

B

A

C

C

D

A

C

D

1.C【解析】由已知可得B={log21,log22,log24,log28,log216}={0,1,2,3,4},所以

AB={1,2,4},所以选C.

2.【解析】由z(1-i)=|1-i|+i=+i,得z===+i,

则z的实部为2-1,故选A.

2

1-i

(1-i)(1+i)22

考点:

复数的代数运算

3

3.【解析】若a<2,则由f(a)=1得,3a-2=1,∴a=2.此时不成立.若a≥2,则由f(a)=1得,log(a2-1)=1,∴a=2,故选A.

考点:

函数的零点;函数的值.

4.【解析】将函数y=

(sinx+cosx)=sin(x+

π

)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2

 

倍,可得函数

y=

 

24

个单位,所得函数图象的解析式为

sin(

考点:

三角函数的图象变换.

5.【解析】圆

(x+2)2+(y-2)2=a

,圆心(-2,2)

,半径

.故弦心距

d==.再由弦长公式可得a=2+9=11;故选B.

考点:

直线与圆的位置关系.

6.【解析】k=1,s=-3;k=2,s=-1;k=3,s=1;k=4,s=2,以4作为一个周期,所以

23

k=2016,s=2,故选A

7.【解析】因为4a+2b=2,所以2a+b=1,2+1=(2a+b)⎛2+1⎫=5+2⎛b+a⎫≥9

ab

当且仅当b=a即a=b=1时“=”成立,故选C

ç⎪ç⎪

abab

⎝⎭⎝⎭

ab2

考点:

基本不等式;等比数列的性质.

8.【解析】几何体是一个组合体,包括一个三棱柱和半个圆柱,三棱柱的是一个底面是腰为2

的等腰直角三角形,高是3,其底面积为:

2⨯1⨯2⨯2=4

2

,侧面积为:

3⨯2

+3⨯2=6

+6;圆柱的底面半径是1,高是3,其底面积为:

2⨯1⨯1⨯π=π,

2

侧面积为:

3⨯π=3π;

∴组合体的表面积是π+6

+4+6+3π=4π+10+6

故选C.

9.【解析】x=1+2+4+5=3,y=10+26+35+49=30,中心点为(3,30),

44

代入回归方程得30=27+a∴a=3∴y=9x+3∴x=6时y=57考点:

回归方程

10.【解析】因为三棱锥S-ABCSA=SB=SC=2,

的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,

∴S在面ABC内的射影为AB中点H,∴SH⊥平面ABC,∴SH上任意一点到A,B,C的

距离相等.

SH=

,CH=1,在面SHC内作SC的垂直平分线MO,则O为S-ABC的外接球球

心.

SC=2,∴SM=1,∠OSM

=30︒,∴SO=23,OH=3,即为O到平面ABC的距

33

离,故选A.

考点:

球内接多面体;点到面的距离的计算.

x2

11.【解析】设P(m,n),Q(x,y),双曲线M:

a2

y2

-=1,实轴的两个顶点

b2

A(-a,0),B(a,0)

QA=(-x-a,-y),PA=(-m-a,-n)∵QA⊥PA,∴(-x-a)(-m-a)+ny=0

,可得

m+a=-

ny,

x+a

同理根据QB⊥PB,可得m-a=-ny

两式相乘可得m2-2=

n2y2

 

P(m,n)

x-a

ax2-a2

m2n2

∵点为双曲线M上除A、B外的一个动点,∴-=1,

a2b2

整理得n2

=b2

a2

(m2-a2)

x2b2y2

a2a21

故选:

C.

12.【解析】设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,f(-x)=(-x)2=x2=

f(x),

综上,f(x)=x2,x∈[-1,1],f(x)=(x-2k)2,x∈[2k-1,2k+1],

由于直线y=x+a的斜率为1,在y轴上的截距等于a,在一个周期[-1,1]上,a=0时满足条件,a=-1时,在此周期上直线和曲线相切,并和曲线在下一个区间上图象有一个交点,

4

也满足条件.由于f(x)的周期为2,故在定义域内,满足条件的a应是

∈Z.故选D.

2k+0或2k-1,k

4

二.填空题:

本大题共4小题,每小题5分

2017

13.1214.-6

15.1+16.

2018

13.【解析】a=4,b=2

a⋅b=a⋅b⋅cos120︒

2

,且a与b夹角为120︒,∴a

2

=16,b=4,

=4⨯2⨯⎛-1⎫=-4,(-

)()

⋅+=a2-⋅-

2

=12,故答案为12.

ç2⎪

a2bab

ab2b

⎝⎭

考点:

1、平面向量模与夹角;2、平面向量的数量积.

14.【解析】T=Cr(

x)5-r(-

a)r,5-r=3,∴r=1,C1(-a)=30,a=-6

r+15

225

15.【解析】作出可行域如图所示,当直线z=x+my经过点B时,z有最大值,此时点B的

坐标为(

1,

m+1

mm+1

),z=

1

 

m+1

+

m⋅

mm+1

=2,解之得m=1+或m=1-(舍去),

所以m=1+.

考点:

线性规划.

16.【解析】∵a+b

=1,a=1,∴b=1,∵b

=bn

,∴b=1,∴

n

nn1212

n+1

1-a2

n+1

2

-bn

1-1

=-1,又∵b=1,∴1

 

=-2.∴数列⎧1⎫是以﹣2为首项,﹣1为

 

 

b-1b-1

12b-1

⎨b-1⎬

n+1n

1⎩n⎭

公差的等差数列,

∴1=-n-1,∴b=

n.则b=2017.故答案为:

2017.

bn-1

nn+1

2017

2018

2018

考点:

数列递推式.

三.解答题:

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

【解析】(Ⅰ)由3cos(B-C)-1=6cosBcosC,

得3(cosBcosC-sinBsinC)=-1,...............2分即cos(B+C)=-1,.......................................3分

3

在∆ABC内,cosA=-cos(B+C)=1......................................5分

3

(Ⅱ)∵0

由S∆ABC=2

3

,得1bcsinA=2

2

3

,即bc=6..........................6分

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,.............................7分

∴9=(b+c)2-2bc(1+cosA)=(b+c)2-16,

∴b+c=5..................................................................9分

⎧b+c=5

⎧b=2⎧b=3

由⎨bc=6

,得⎨c=3或⎨c=2.............................................12分

⎩⎩⎩

考点:

1、三角恒等变换;2余弦定理、;3、正弦定理的应用.

18.(本小题满分12分)

【解析】(Ⅰ)2×2列联表如下:

非读书迷

读书迷

合计

40

15

55

20

25

45

合计

60

40

100

100⨯(40⨯25-15⨯20)2

易知K2的观测值k=≈8.249....................4分

60⨯40⨯55⨯45

因为8.249>6.635,所以有99%的把握认为“读书迷”与性别有关...............5分

(Ⅱ)由频率分布直方图可知从该校学生中任意抽取1名学生恰为“读书迷”的概率为

2

..............6分

5

由题意可知XB(3,2),X的所有可能取值为0,1,2,3,......................7分

5

P(X=0)=033=

27,

P(X=1)=1232=54,

35125355125

P(X=2)=2223=36,

P(X=3)=323=

8

...........9分

3

X的分布列为

55125

35125

X

0

1

2

3

P

27

125

54

125

36

125

8

125

..................................................................10分

E(X)=3⨯2=6................................................11分

55

D(X)=3⨯2⨯(1-2)=18......................................12分

5525

19.(本小题满分12分)

【解析】(Ⅰ)证明:

PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PC,1

AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=

∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC...........................................2分又BCPC=C,PC⊂面PBC,BC⊂面PBC...................3分

∴AC⊥平面PBC,.................................................................4分

∵AC⊂平面EAC,∴平面EAC⊥平面PBC...........................5分

(Ⅱ)以C为原点,建立空间直角坐标系如图所示,

则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0)设P(0,0,a)(a>0),则E(1,-1,a),

222

CE=11a

CA=(1,1,0),CP=(0,0,a),

取m=(1,-1,0)

(,-,

22

),.......6分

2

则m⋅CP=m⋅CA=0,∴m为面PAC的法向量

设n=(x,y,z)为面EAC的法向量,则n⋅CA=n⋅CE=0,

⎧x+y=0,

即⎨x-y+az=0

 

,取x=a,y=-a,z=-2,则n=(a,-a,-2),..............8分

a

依题意,cos=

==

a2+2

,则a=2

3

...............9分

 

于是n=(2,-2,-2)................

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