二元一次方程组知识点汇总及练习超详细.docx
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二元一次方程组知识点汇总及练习超详细
二元一次方程组知识点梳理及经典练习
【知识点梳理】
知识点1：
二元一次方程组的定义
1.二元一次方程
（1）定义：
含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程
（2）三个条件：
①方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数.
②含有未知数的项的次数都是1.
③二元一次方程的左右两边都必须是等式.
（3）含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数均为1。
即若axm+byn=c是二元一次方程，则a≠0，b≠0且m=1,n=1
2.二元一次方程组
（1）定义：
由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组。
（2）三个条件：
方程组中有且只有两个未知数。
方程组中含有未知数的项的次数为1。
方程组中每个方程均为整式方程。
3.二元一次方程组的解
（1）定义：
使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。
（2）常考题型：
①根据定义判断
②已知方程组的解，求方程组待定系数。
（将解代入方程）
③列方程组求相关字母的值。
知识点2：
解二元一次方程组
1.代入消元法
（1）定义：
通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法。
（2）用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
①从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
②把①中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
③解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
④把所求得的一个未知数的值代入①中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.
例：
解方程组：
2.加减消元法
（1）定义：
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
（2）加减消元法解方程步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；
②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程；
④将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。
例1：
解方程组：
例2：
方程组
中，n的系数的特点是，所以我们只要将两式，就可以消
去未知数，化成一个一元一次方程，达到消元的目的．
例3：
用加减法解
时，将方程①两边乘以，把方程②两边乘以，可以比
较简便地消去未知数．
*3.特殊方法
（1）加减-代入混合使用方法
例：
13x+14y=41
14x+13y=40
（2）换元法
例：
（x+5）+（y-4）=8
（x+5）-（y-4）=4
（3）另类换元
例3：
x:
y=1:
4
5x+6y=29
知识点3：
二元一次方程组的实际应用
1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
“找、设、列、解、答”（五步），即：
①找：
通过审题，把实际问题抽象成数学问题，找出能够表示题意两个等量关系；
②设：
分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
③列：
根据这两个等量关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
④解：
解这个方程组，求出两个未知数的值；
⑤答：
在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.
2.列方程组解应用题中常用的基本等量关系
（1）行程问题：
①追击问题：
行程问题重要的一种，特点是同向而行。
这类问题较直观，画线段图便于理解和分析。
基本等量关系：
路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。
直线追击:
环形追击：
②相遇问题：
行程问题重要的一种，特点是相向而行。
这类问题较直观，画线段图可帮助理解与分析。
等量关系：
③行船问题：
船在静水中的速度+水速=船的顺水速度
船在静水中的速度-水速=船的逆水速度
顺水速度-逆水速度=2×水速
注意：
飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
（2）工程问题：
工作效率×工作时间=工作量
（3）商品销售利润问题：
①利润=售价-成本（进价）
②利润率=（售价-进价）÷进价×100%=利润÷进价×100%
③利润=成本（进价）×利润率
④标价=成本（进价）×（1+利润率）
⑤实际售价=标价×打折率
（4）储蓄问题：
①利息=本金×利率×期数×（1-利息税率）
②本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数×（1-利息税率）
③利息税=利息×利息税=本金×利率×期数×利息税率
④税后利息=利息×（1-利息税率）
（5）配套问题：
总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例
（6）增长率问题：
①原量×（1+增长率）=增长后的量；②原量×（1-减少率）=减少后的量
（7）和差倍份问题：
①较大量=较小量+多余量；②总量=倍数×倍量
（8）数字问题：
自然数、奇数、偶数等。
如当n为整数时，奇数可表示为2n+1（或2n-1），偶数可表示为2n等。
有关两位数的基本等量关系式为：
两位数=十位数×10+个位数。
（9）优化方案问题：
从几种方案中选择最佳方案。
如买不同套餐的东西、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。
【重点考点例析】
考点1：
二元一次方程组的定义
1.已知（a－2）x－by|a|－1＝5是关于x、y的二元一次方程，则a＝______，b＝_____．
2.下列方程为二元一次方程的有_________
①
，②
，③
，④
，⑤
，⑥
，
⑦
，⑧
，⑨
3.下列方程组中，是二元一次方程组的是（）
考点2：
二元一次方程组的解
题型一：
根据定义判断
1.方程组
的解是（）
A．
B．
C．
D．
题型二：
已知方程组的解，求方程组待定系数。
（将解代入方程）
1.已知
是方程组
的解，则m2－n2的值为_________．
2.若满足方程组
的x、y的值相等，则k＝_______．
题型三：
列方程组求相关字母的值。
1.若
，
都是关于x、y的方程ax＋by＝6的解，则a＋b的值为
2.关于x，y的二元一次方程ax＋b＝y的两个解是
，
，则这个二元一次方程是_________________
考点3：
二元一次方程组的解法（①代入消元法；②加减消元法）
1.方程
用含y的代数式表示，x是（）
A．
B．
C．
D．
2.把方程
写成用含x的代数式表示y的形式，得（）
A．x=
3.用代入法解方程组
较为简便的方法是（）
A．先把①变形B．先把②变形C．可先把①变形，也可先把②变形D．把①、②同时变形
4.用加减法解方程组
时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四种变形正确的是（）
A．
（1）
（2）B．
（2）（3）C．（3）（4）D．（4）
（1）
5.对于方程组
而言，你能设法让两个方程中x的系数相等吗？
你的方法是______________；若让两个方程中y的系数互为相反数，你的方法是．
6.用加减消元法解方程组
正确的方法是（）
A．
B．
C．
D．
考点4：
二元一次方程组的实际应用
题型一：
列二元一次方程组解决——行程问题
1.甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
题型二：
列二元一次方程组解决——工程问题
2.一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？
（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？
题型三：
列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
3.有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？
题型四：
列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？
（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）
题型五：
列二元一次方程组解决——生产中的配套问题
5.某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
题型六：
列二元一次方程组解决——增长率问题
6.某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
题型七：
列二元一次方程组解决——和差倍分问题
7.“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？
题型八：
列二元一次方程组解决——数字问题
8.一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？
题型九：
列二元一次方程组解决——浓度问题
9.现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？
题型十：
列二元一次方程组解决——几何问题
10.用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？
题型十一：
列二元一次方程组解决——年龄问题
11.今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？
题型十二：
列二元一次方程组解决——优化方案问题
12.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：
甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？
【巩固练习】
1.下列方程中是二元一次方程的是（）
A．3x-y2=0B．
+
=1C．
-
y=6D．4xy=3
2.已知下列方程组：
（1）
，
（2）
，（3）
，（4）
，其中属于二元一次方程组的个数为（）
A．1 B.2 C．3 D．4
3.若
是关于x、y二元一次方程，则m=_________，n=_________。
4.当
，
满足方程
，则
_________.
5.下面几个数组中，哪个是方程7x+2y=19的一个解（）。
A、
B、
C、
D、
6.若方程组
的解互为相反数，则k的值为。
7.若方程组
与
有相同的解，则a=，b=。
8.如果
是方程组
的解，那么，下列各式中成立的是（）
A、a＋4c＝2B、4a＋c＝2C、a＋4c＋2＝0D、4a＋c＋2＝0
9.甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
10.两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
11.小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？
请你说明理由.
12.某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1380
1200
求该商场购进A、B两种商品各多少件。
13.李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？
（注：
公民应缴利息所得税=利息金额×20%）
14.小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
15.现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
16.某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。
17.一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。
现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？
能配多少张方桌？
18.某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。
19.“地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．
20.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？
21.某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。
22.要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？
23.一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。
用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？
24.一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？
25.今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.
26.某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：
如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案
方案一：
将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：
尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：
将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成
你认为选择哪种方案获利最多？
为什么？
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