教育资料第一章 3 3132学习精品.docx

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§3　全称量词与存在量词

3．1　全称量词与全称命题

3．2　存在量词与特称命题

学习目标

　1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题与特称命题的真假，并掌握其判定方法．

知识点一　全称量词、全称命题

思考　观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：

m≤5；

Q：

对所有的m∈R，m≤5.

上面的两个语句是命题吗？

二者之间有什么关系？

答案　语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．

梳理　

（1）全称量词及全称命题的概念

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题．

（2）全称命题的真假判定

要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p（x）成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x∈M，使得p（x）不成立即可．

知识点二　存在量词、特称命题

思考　找出下列命题的共同特征，并判断其真假．

（1）存在x∈R，x2≤0；

（2）有些三棱锥是正四面体．

答案　所给命题都是真命题，它们都表示“存在”的意思．

梳理　

（1）存在量词及特称命题的概念

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．含有存在量词的命题，叫作特称命题．

（2）特称命题的真假判定

要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p（x）成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．（×）

2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．（√）

3．全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．（×）

类型一　判断命题的类型

例1　判断下列命题是全称命题还是特称命题．

（1）正方形是矩形；

（2）球面是曲面；

（3）x2－x＋1＞0（x∈R）；

（4）有的素数为偶数；

（5）方程3x＋

＝2有实数解．

考点　全称命题与特称命题

题点　全称命题与特称命题的判定

解　结合题意知

（1）

（2）（3）为全称命题；（4）（5）为特称命题．

反思与感悟　判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．

跟踪训练1　判断下列命题是全称命题还是特称命题．

（1）梯形的对角线相等；

（2）存在一个四边形有外接圆；

（3）二次函数都存在零点；

（4）过两条平行线有且只有一个平面．

考点　量词与命题

题点　全称（存在）量词的识别

解　命题

（1）完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．

命题

（2）为特称命题．

命题（3）完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．

命题（4）是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．

类型二　判断命题的真假

例2　判断下列命题的真假．

（1）任意x∈R，x2－x＋1＞

；

（2）存在α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ；

（3）存在一个函数既是偶函数又是奇函数；

（4）每一条线段的长度都能用正有理数表示；

（5）存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．

考点　特称（全称）命题的真假性判断

题点　特称（全称）命题真假的判断

解　

（1）真命题，∵x2－x＋1－

＝x2－x＋

＝

2＋

≥

＞0，

∴x2－x＋1＞

恒成立．

（2）真命题，例如α＝

，β＝

，符合题意．

（3）真命题，函数f（x）＝0既是偶函数又是奇函数．

（4）假命题，如：

边长为1的正方形的对角线长为

，它的长度就不是有理数．

（5）假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．

反思与感悟　要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p（x）都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p（x）不成立，那么这个全称命题就是假命题．

要判定特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p（x）成立即可；如果在集合M中，使p（x）成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．

跟踪训练2　判断下列命题的真假．

（1）有一些奇函数的图像过原点；

（2）存在x∈R,2x2＋x＋1<0；

（3）任意x∈R，sinx＋cosx≤

.

考点　特称（全称）命题的真假性判断

题点　特称（全称）命题真假的判断

解　

（1）该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y＝x是奇函数，其图像过原点，故该命题是真命题．

（2）该命题是特称命题．

∵2x2＋x＋1＝2

2＋

≥

>0，

∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.故该命题是假命题．

（3）该命题是全称命题．

∵sinx＋cosx＝

sin

≤

恒成立，

∴对任意实数x，sinx＋cosx≤

都成立，故该命题是真命题．

类型三　利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围

例3　已知下列命题p（x）为真命题，求x的取值范围．

（1）命题p（x）：

x＋1>x；

（2）命题p（x）：

x2－5x＋6>0；

（3）命题p（x）：

sinx>cosx.

考点　全称命题的真假性判断

题点　恒成立求参数的取值范围

解　

（1）∵x＋1>x，∴1>0（此式恒成立），∴x∈R.

（2）∵x2－5x＋6>0，∴（x－2）（x－3）>0，

∴x>3或x<2.

（3）∵sinx>cosx，∴2kπ＋

（k∈Z）．

反思与感悟　已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．

解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．

跟踪训练3　已知命题p：

“存在x∈R，sinx＜m”，命题q：

“任意x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”，若p和q都是真命题，求实数m的取值范围．

考点　特称（全称）命题的真假性判断

题点　由命题真假性求参数的取值范围

解　因为“存在x∈R，sinx＜m”是真命题，所以m＞－1.

又因为“任意x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，

所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.

综上所述，实数m的取值范围是（－1,2）．

1．下列命题中，是正确的全称命题的是（　　）

A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0

B．菱形的两条对角线相等

C．存在x，

＝x

D．对数函数在定义域上是单调函数

考点　全称量词与全称命题

题点　全称命题的识别

答案　D

2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是（　　）

A．存在一个α，使tan（90°－α）＝tanα

B．存在实数x，使sinx＝

C．对一切α，sin（180°－α）＝sinα

D．对任意α，β，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

考点　特称命题的真假性判断

题点　特称命题真假的判断

答案　A

3．若对于任意x∈[1,2]，a≥x2＋1，则实数a的取值范围为（　　）

A．[5，＋∞）B．（3，＋∞）

C．（－∞，2]D．[3,5]

考点　全称命题的真假性判断

题点　恒成立求参数的范围

答案　A

解析　依题意a≥（x2＋1）max＝5，故a∈[5，＋∞）．

4．命题“对任意x∈R，存在m∈Z，使m2－m＜x2＋x＋1”是________命题．（填“真”“假”）

考点　特称命题的真假性判断

题点　特称命题真假的判断

答案　真

解析　由于对任意x∈R，x2＋x＋1＝

2＋

≥

，所以只需m2－m＜

，即－

＜m＜

.所以当m＝0或m＝1时，对任意x∈R，m2－m＜x2＋x＋1成立，因此该命题是真命题．

5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．

（1）任意x∈（－1,2），x2－x＜2；

（2）存在x∈{x|x＞1），log2x＋logx2＜2；

（3）指数函数都是单调函数；

（4）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．

考点　量词与命题

题点　全称（特称）命题的识别

解　

（1）全称命题．由于x2－x＜2⇔x2－x－2＜0⇔－1＜x＜2，所以任意x∈（－1,2），x2－x＜2成立．真命题．

（2）特称命题．当x∈{x|x＞1}时，log2x＞0，

故log2x＋logx2＝log2x＋

≥2，当且仅当x＝2时，（log2x＋logx2）min＝2，所以不存在x∈{x|x＞1}，使log2x＋logx2＜2成立．假命题．

（3）全称命题．当a＞1时，指数函数f（x）＝ax为增函数，当0＜a＜1时，指数函数f（x）＝ax为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．

（4）特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除．真命题．

利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧

（1）转化为恒成立问题：

含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．

（2）转化为方程或不等式有解问题：

含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．

一、选择题

1．下列说法正确的个数是（　　）

①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；

②命题“任意x∈R，x2＋2＜0”是全称命题；

③命题“存在x∈R，x2＋4x＋4≤0”是特称命题．

A．0B．1C．2D．3

考点　量词与命题

题点　特称（全称）命题的识别

答案　C

解析　只有②③正确．

2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是（　　）

A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使

＞2

考点　存在量词与特称命题

题点　特称命题的真假判断

答案　B

3．下列命题中，不是全称命题的是（　　）

A．任何一个实数乘以0都等于0

B．自然数都是正整数

C．每一个向量都有大小

D．一定存在没有最大值的二次函数

答案　D

解析　D是特称命题．

考点　

题点　

4．已知正四面体A－BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（　　）

A．对任意的F∈BC，EF⊥AD

B．存在F∈BC，EF⊥AC

C．对任意的F∈BC，EF≥

D．存在F∈BC，EF∥AC

考点　特称命题的真假性判断

题点　特称命题真假的判断

答案　A

解析　因为△ABD和△ACD为等边三角形，E为AD的中点，

⇒AD⊥平面BCE，

又EF平面BCE，

故AD⊥EF.

5．下面命题是真命题的是（　　）

A．任意x∈R，x3≥x

B．存在x∈R，x2＋1＜2x

C．任意xy＞0，x－y≥2

D．存在x，y∈R，sin（x＋y）＝sinx－siny

考点　量词与命题

题点　全称（特称）命题的真假性判断

答案　D

6．若“任意x∈

，cosx≤m”是真命题，则实数m的最小值为（　　）

A．－

B．－

C.

D.

考点　全称命题的真假性判断

题点　恒成立求参数的取值范围

答案　C

7．有四个关于三角函数的命题：

p1：

存在x∈R，sin2

＋cos2

＝

；

p2：

存在x，y∈R，sin（x－y）＝sinx－siny；

p3：

对任意的x∈[0，π],

＝sinx；

p4：

sinx＝cosy⇒x＋y＝

.

其中假命题为（　　）

A．p1，p4B．p2，p4

C．p1，p3