三角形 知识归纳+真题解析.docx

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三角形知识归纳+真题解析

三角形知识归纳＋真题解析

【知识归纳】

一、三角形

1、三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做（简称）。

2．三角形的中位线

三角形的中位线平行于，并且等于．

3.三角形的三边关系定理及推论

三角形三边关系：

任意两边之和第三边；任意两边之差第三边．

4、三角形的内角和定理及推论

1．三角形内角和：

三角形三内角之和等于．

2．三角形外角的性质：

（1）三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角；

（2）三角形的一个外角与它不相邻的两内角之和．

1．三角形的分类：

（1）按边分：

三角形分为和等腰三角形；等腰三角形又分为及.

（2）按角分：

三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为：

和.

答案部分

【知识归纳答案】

一、三角形

1、三角形中的主要线段

（1）三角形的角平分线。

（2）三角形的中线。

（3）三角形的高线（简称三角形的高）。

2．三角形的中位线：

三角形的第三边，并且等于第三边长的一半．

3.三角形的三边关系定理及推论：

任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．

4、三角形的内角和定理及推论

1．180°．

2．三角形外角的性质：

（1）大于；

（2）等于．

1．三角形的分类：

（1）按边分：

三角形分为不等边三角形和等腰三角形；等腰三角形又分为底和腰不等的三角形及等边三角形.

（2）按角分：

三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为：

锐角三角形和钝角三角形.

真题解析

一．选择题（共9小题）

1．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（　　）

A．中线B．角平分线C．高D．中位线

【考点】K3：

三角形的面积；K2：

三角形的角平分线、中线和高．

【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．

【解答】解：

∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，

∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．

故选A．

2．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：

DB=CE：

EB=2：

3，则△DBE与△ADC的面积比为（　　）

A．3：

5B．4：

5C．9：

10D．15：

16

【考点】K3：

三角形的面积．

【分析】根据三角形面积求法进而得出S△BDC：

S△ADC=3：

2，S△BDE：

S△DCE=3：

2，即可得出答案．

【解答】解：

∵AD：

DB=CE：

EB=2：

3，

∴S△BDC：

S△ADC=3：

2，S△BDE：

S△DCE=3：

2，

∴设S△BDC=3x，则S△ADC=2x，S△BED=1.8x，S△DCE=1.2x，

故△DBE与△ADC的面积比为：

1.8x：

2x=9：

10．

故选：

C．

　Zxxk

3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（　　）

A．1B．

C．

D．2

【考点】K5：

三角形的重心；KW：

等腰直角三角形．

【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=

CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．

【解答】解：

连接CP并延长，交AB于D，

∵P是Rt△ABC的重心，

∴CD是△ABC的中线，PD=

CD，

∵∠C=90°，

∴CD=

AB=3，

∵AC=BC，CD是△ABC的中线，

∴CD⊥AB，

∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，

故选：

A．

4．三角形的重心是（　　）

A．三角形三条边上中线的交点

B．三角形三条边上高线的交点

C．三角形三条边垂直平分线的交点

D．三角形三条内角平行线的交点

【考点】K5：

三角形的重心．

【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答．

【解答】解：

三角形的重心是三条中线的交点，

故选：

A．

5．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则

的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】K5：

三角形的重心；S9：

相似三角形的判定与性质．

【分析】根据三角形的重心性质可得OC=

CE，根据直角三角形的性质可得CE=AE，根据等边三角形的判定和性质得到CM=

CE，进一步得到OM=

CE，即OM=

AE，根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF=

AE，MF=

EF，依此得到MF=

AE，从而得到

的值．

【解答】解：

∵点O是△ABC的重心，

∴OC=

CE，

∵△ABC是直角三角形，

∴CE=BE=AE，

∵∠B=30°，

∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，

∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，

∴CM=

CE，

∴OM=

CE﹣

CE=

CE，即OM=

AE，

∵BE=AE，

∴EF=

AE，

∵EF⊥AB，

∴∠AFE=60°，

∴∠FEM=30°，

∴MF=

EF，

∴MF=

AE，

∴

=

=

．

故选：

D．

6．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（　　）

A．4B．5C．6D．9

【考点】K6：

三角形三边关系．

【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．

【解答】解：

由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．

因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．

4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，

故选：

C．

7．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（　　）

A．2a+2b﹣2cB．2a+2bC．2cD．0

【考点】K6：

三角形三边关系．

【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．

【解答】解：

∵a、b、c为△ABC的三条边长，

∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，

∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）

=0．

故选D．

8．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（　　）

A．6B．7C．11D．12

【考点】K6：

三角形三边关系．

【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．

【解答】解：

设第三边的长为x，

∵三角形两边的长分别是2和4，

∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．

则三角形的周长：

8＜C＜12，

C选项11符合题意，

故选C．

9．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（　　）

A．54°B．62°C．64°D．74°

【考点】K7：

三角形内角和定理；JA：

平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质得到∠C=∠AED=54°，根据三角形的内角和即可得到结论．

【解答】解：

∵DE∥BC，

∴∠C=∠AED=54°，

∵∠A=62°，

∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=64°，

故选C．

二．填空题（共5小题）

10．在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为　4

　cm．

【考点】K5：

三角形的重心；KQ：

勾股定理．

【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．

【解答】解：

连接AO并延长，交BC于H，

由勾股定理得，DE=

=2

，

∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，

∴BC=2DE=4

，O是△ABC的重心，

∴AH是中线，又BD⊥CE，

∴OH=

BC=2

，

∵O是△ABC的重心，

∴AO=2OH=4

，

故答案为：

4

．

11．在△ABC中，∠A：

∠B：

∠C=2：

3：

4，则∠A的度数为　40°　．

【考点】K7：

三角形内角和定理．

【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．

【解答】解：

∵∠A：

∠B：

∠C=2：

3：

4，

∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴2x+3x+4x=180°，

解得：

x=20°，

∴∠A的度数为：

40°．

故答案为：

40°．

12．如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件　AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）　，使得△ABC≌△DEF．

学科网

【考点】KB：

全等三角形的判定．

【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．

【解答】解：

∵BC∥EF，

∴∠ABC=∠E，

∵AC∥DF，

∴∠A=∠EDF，

∵在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF，

同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF．

故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．

13．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：

①∠ABC=∠ADC；

②AC与BD相互平分；

③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；

④四边形ABCD的面积S=

AC•BD．

正确的是　①④　（填写所有正确结论的序号）

学科网

【考点】KD：

全等三角形的判定与性质；KG：

线段垂直平分线的性质．

【分析】①证明△ABC≌△ADC，可作判断；

②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；

④根据面积和求四边形的面积即可．

【解答】解：

①在△ABC和△ADC中，

∵

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠ABC=∠ADC，

故①结论正确；

②∵△ABC≌△ADC，

∴∠BAC=∠DAC，

∵AB=AD，

∴OB=OD，AC⊥BD，

而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，

故②结论不正确；

③由②可知：

AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，

而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；

故③结论不正确；

④∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=

BD•AO+

BD•CO=

BD•（AO+CO）=

AC•BD．

故④结论正确；

所以正确的有：

①④；

故答案为：

①④．

14．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是　x=0或x=4

﹣4或4＜x＜4

　．

【考点】KI：

等腰三角形的判定．

【分析】分三种情况讨论：

先确定特殊位置时成立的x值，

①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；

②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；

③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：

分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．

【解答】解：

分三种情况：

①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；

②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，

∴MC⊥OB，

∵∠AOB=45°，

∴△MCO是等腰直角三角形，

∴MC=OC=4，

∴OM=4

，

当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4

﹣4时，同理可知：

点P恰好有三个；

③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，

则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；

点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；

∴当4＜x＜4

时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；

综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：

x=0或x=4

﹣4或4

．

故答案为：

x=0或x=4

﹣4或4

．

三．解答题（共9小题）

15．如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：

△ADF≌△BCE．

【考点】KB：

全等三角形的判定．

【分析】根据全等三角形的判定即可求证：

△ADF≌△BCE

【解答】解：

∵AE=BF，

∴AE+EF=BF+EF，

∴AF=BE，

在△ADF与△BCE中，

∴△ADF≌△BCE（SAS）

16．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：

∠A=∠D．

【考点】KD：

全等三角形的判定与性质．

【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．

【解答】证明：

∵BE=FC，

∴BE+EF=CF+EF，

即BF=CE；

又∵AB=DC，∠B=∠C，

∴△ABF≌△DCE；（SAS）

∴∠A=∠D．

17．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：

AC∥DF．

【考点】KD：

全等三角形的判定与性质．

【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边角边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．

【解答】证明：

∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠DEF，

又∵BE=CF，

∴BE+EC=CF+EC，

即：

BC=EF，

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴∠ACB=∠DFE，

∴AC∥DF．

　学科网

18．已知：

△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．

（1）如图1，求证：

AE=BD；

（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．

【考点】KD：

全等三角形的判定与性质；KW：

等腰直角三角形．

【分析】

（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；

（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；

【解答】解：

（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，

∠ACB=∠DCE=90°，

∴AC=BC，DC=EC，

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△ACE与△BCD中，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE=BD，

（2）∵AC=DC，

∴AC=CD=EC=CB，

△ACB≌△DCE（SAS）；

由

（1）可知：

∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC

∴∠DOM=90°，

∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，

∴△EMC≌△BCN（ASA），

∴CM=CN，

∴DM=AN，

△AON≌△DOM（AAS），

∵DE=AB，AO=DO，

∴△AOB≌△DOE（HL）

19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．

（1）如图1，若AB=4

，BE=5，求AE的长；

（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：

DC=BC．

【考点】KD：

全等三角形的判定与性质；KQ：

勾股定理．

【分析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=

AB=4，根据勾股定理得到CE=

=3，于是得到结论；

（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，F，C，B四点共圆，根据圆周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°，求得∠DFC=∠AFC=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：

（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴AC=BC=

AB=4，

∵BE=5，

∴CE=

=3，

∴AE=4﹣3=1；

（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=45°，

∵AF⊥BD，

∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴A，F，C，B四点共圆，

∴∠CFB=∠CAB=45°，

∴∠DFC=∠AFC=135°，

在△ACF与△DCF中，

，

∴△ACF≌△DCF，

∴CD=AC，

∵AC=BC，

∴AC=BC．

20．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．

（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．

（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．

【考点】KD：

全等三角形的判定与性质；KW：

等腰直角三角形．

【分析】

（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；

（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：

（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：

∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，

∵QH⊥AP，

∴∠AHM=90°，

∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；

（2）PQ=

MB；理由如下：

连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：

∵AC⊥QP，CQ=CP，

∴∠QAC=∠PAC=α，

∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，

∴AP=AQ=QM，

在△APC和△QME中，

，

∴△APC≌△QME（AAS），

∴PC=ME，

∴△MEB是等腰直角三角形，

∴

PQ=

MB，

∴PQ=

MB．

21．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．

（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；

（2）求证：

过点A、F的直线垂直平分线段BC．

【考点】KH：

等腰三角形的性质；KG：

线段垂直平分线的性质．

【分析】

（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；

（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．

【解答】解：

（1）∠ABE=∠ACD；

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD，

∴∠ABE=∠ACD；

（2）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

由

（1）可知∠ABE=∠ACD，

∴∠FBC=∠FCB，

∴FB=FC，

∵AB=AC，

∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，

即直线AF垂直平分线段BC．

22．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：

（1）求证：

△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；

（2）求△PQR面积的最小值；

（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？

若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【考点】KY：

三角形综合题．

【分析】

（1）先利用锐角三角函数表示出QE=4t，QD=3（2﹣t），再由运动得出AP=3t，CR=4t，BP=3（2﹣t），AR=4（2﹣t），最后用三角形的面积公式即可得出结论；

（2）借助

（1）得出的结论，利用面积差得出S△PQR=18（t﹣1）2+6，即可得出结论；

（3）先判断出∠DQR=∠EQP，用此两角的正切值建立方程求解即可．

【解答】解：

（1）如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sin∠B=

=

=

，sin∠C=

，

过点Q作QE⊥AB于E，

在Rt△BQE中，BQ=5t，

∴sin∠B=

=

，

∴QE=4t，

过点Q作QD⊥AC于D，

在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，

∴QD=CQ•sin∠C=

（10﹣5t）=3（2﹣t），

由运动知，AP=3t，CR=4t，

∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），

∴S△APR=

AP•AR=

×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），

S△BPQ=

BP•QE=

×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），

S△CQR=

CR•QD=

×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），

∴S△APR=S△BPQ=S△CQR，

∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；

（2）由

（1）知，S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t（2﹣t），

∵AB=6，AC=8，

∴S△PQR=S△ABC﹣（S△APR+S△BPQ+S△CQR）

=

×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，

∵0≤t≤2，

∴当t=1时，S△PQR最小=6；

（3）存在，由

（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），

∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），

过点Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，∵∠A=90°，

∴四边形APQD是矩形，

∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，

∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=|4（2t﹣2）|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=|3（2t﹣2）|

∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，

∴∠DQR=∠EQP，

∴tan∠DQR=tan∠EQP，

在Rt△DQR中，tan∠DQR=

=

，

在Rt△EQP中，tan∠EQP=

=

，

∴

，

∴16t=9（2﹣t），

∴t=

．

23．如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=

，则

S△ABC=

BC×AD=

×BC×ACsin∠C=

absin∠C，

即S△ABC=

absin∠C

同理S△ABC=

bcsin∠A

S△ABC=

acsin∠B

通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：

如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则

a2=b2+c2﹣2bccos∠A