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有理数知识小结

1．正数：

定义：

比0大的数叫正数。

　大于0的数.若一个数大于零（>0），则称它是一个正数．正数的前面可以加上正号“＋”来表示．正数有无数个，其中分正整数,正分数和正无理数．

正数的几何意义:

数轴上0右边的数叫做正数

2．正数和正整数的区别

　　正数包括：

正整数、正分数（包括正小数）。

　　辩析：

零（0）既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量.正整数、负整数、正分数、负分数和零（0）统称有理数。

最小的正整数是1.

  负数：

人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。

比如,在记账时有余有亏;在计算粮仓存米时,有时要记进粮食,有时要记出粮食。

为了方便，人们就考虑了相反意义的数来表示。

于是人们引入了正负数这个概念，把余钱进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负。

可见正负数是生产实践中产生的。

3．负数的简介

　　任何正数前加上负号都等于负数.

　　在数轴线上，负数都在0的左侧，没有最大与最小的负数，所有的负数都比自然数小最大的负整数是-1.

　　比零小（<0）的数．用负号（即相当于减号）“－”标记．

　　如-2,-5.33,-45,-0.6等。

4．有理数：

有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式理数，

可分为整数和分数也可分为正有理数，0，负有理数。

除了整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成

分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。

任何一个有理数都可以在数轴上表示。

其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数

或无限循环小数。

不循环小数以外的数统称有理数

5．有理数包括

（1）自然数：

数0，1，2，3，…叫做自然数.

（2）正整数：

＋1，＋2，＋3，…叫做正整数。

包括—（—1），

｜—1｜。

（3）负整数：

－1，－2，－3，……叫做负整数。

包括—｜—1｜。

（4）整数：

正整数、0、负整数统称为整数。

（5）分数：

正分数、负分数统称为分数。

（6）奇数：

不能被2整除的整数叫做奇数。

如-3，-1，1，5等。

所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示，n为整数。

（7）偶数：

能被2整除的整数叫做偶数。

如-2，0，4，8等。

所有的偶数都可用2n表示，n为整数。

（8）质数：

如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，没有其他因数，这个数就称为质数，又称素数，如2，3，11，13等。

2是最小的质数。

（9）合数：

如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，还有其他因数，这个数就称为合数，如4，6，9，15等。

4是最小的合数。

一个合数至少有3个因数。

（10）互质数：

如果两个正整数，除了1以外没有其他公因数，这两个整数称为互质数，如2和5，7和13等。

　　如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。

全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。

6．数轴：

规定了唯一的原点，唯一的正方向和唯一的单位长度的直线叫数轴。

所有的实数都可以用

数轴上的点来表示。

也可以用数轴来比较两个实数的大小。

画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点）选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向（就得到右面的数轴。

意义：

　　1）从原点出发朝正方向的射线上的点对应正数，相反方向的射线上的点对应负数，原点对应零。

　　2）在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数。

　　3）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

　　数轴是一种特定几何图形；原点、正方向、长度单位称数轴的三要素，这三者缺一不可．

要素：

把规定了唯一的原点，正方向，单位长度的一条直线叫做数轴

　　　任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的数不都是有理数。

一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数。

有理数比较大小；

　　一切正数大于0，0大于一切负数，正数大于一切负数。

　绝对值；

　　在数轴上表示一个数的点离开原点的距离就叫做这个数的绝对值

　　一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数。

0的绝对值是0。

　　公式　/a/=?

　　如a大于0那么a的绝对值等于a

　　如a等于0那么a的绝对值等于0　

　　如a小于0那么a的绝对值等于-a

　说明；数轴上右边的数总比左边的数大，两个负数相比较，绝对值大的反而小

　数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值。

绝对值只能为非负数。

几何意义：

在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：

指在数轴上表示的点与原点的距离，这个距离是5，所以的绝对值是5，又如指在数轴上表示1.5的点与原点的距离，这个距离是1.5，所以1.5的绝对值是1.5

。

代数定义：

　|a|=a（a≥0）|a|=-a（a≤0）

代数意义：

正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0

　　互为相反数的两个数的绝对值相等

　　a的绝对值用“|a|”表示．读作“a的绝对值”．应该是等于小于号和大于等于号

　　如：

|－2|读作负二的绝对值。

性质正数的绝对值是它本身。

负数的绝对值是它的相反数。

绝对值是非负数≥0。

0的绝对值还是零。

　特殊的零的绝对值既是他的本身又是他的相反数,写作|0|=0|3|=3=|-3|=3

两个负数比较大小，绝对值大的反而小

　　比如:

若|2（x—1）—3|+|2（y—4）|=0，则x=___,y=____。

（|是绝对值）

　　答案:

2（X-1）-3=0X=5/22Y-8=0Y=4

　　一对相反数的绝对值相等：

　　例+2的绝对值等于—2的绝对值（因为在数轴上他们离原点的单位长度相等）

有关性质：

　　无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质：

（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。

（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0。

　（3）绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数互为相反数。

（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。

（5）在数轴上表示互为相反数（0除外）的点位于原点的两旁，并且关于原点对称。

7．倒数

乘积为1的两个数互为倒数。

8．绝对值不等式

（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；

（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：

　A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：

换元法、讨论法、平方法；

　B）利用不等式：

|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来9．相反数：

像-2和2这样，只有符号不同的两个数,绝对值相等叫做互为相反数。

　　若两个实数a和b满足b=﹣a。

我们就说b是a的相反数。

　　此时，b的相反数为﹣b=﹣（﹣a）=a，那么我们就说“相反数具有互称性”；

　　两个互为相反数的实数a和b必满足a+b=0。

　　实数a相反数的相反数，就是a本身。

　　相反数不具有传递性，即如果x是y的相反数，y是z的相反数，那么x不一定是z的相反数（除非x=y=z=0）。

　　当a，b都等于0时，才有a=b，也就是说0的相反数是0。

　　在ａ≠ｂ时，必有ab<0，|a|=|b|，即两个互为相反数的实数a和b其绝对值相等符号相反。

　　互为相反数的两个实数在数轴上表示的两个点，分别在原点的两旁，

与原点的距离相等，即关于原点对称

性质正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。

　　0的相反数是0

10.有理数的运算法则

加法：

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

一个数同零相加，仍得这个数。

减法：

减去一个数等于加上这个数的相反数。

例，（-11）-7+（-9）-（-6）按减法法则应为=（-11）+（-7）+（-9）+（+6），

11.加减法统一成加法算式

（-11）-7+（-9）-（-6）按减法法则应为

（-11）+（-7）+（-9）+（+6），这样便把加减法统一成加法算式．

几个正数或负数的和称为代数和．

再看16-（-2）+（-4）-（-6）-7写成代数和是

16+2+（-4）+6+（-7）．

既然都可以写成代数和，加号可以省略，每个括号都可以省略，

如：

（-11）-7+（-9）-（-6）=-11-7-9+6，

读作“负11，负7，负9，正6的和”，运算上可读作“负11减7减9加6”；

16+2+（-4）+6+（-7）=16+2-4+6-7，读作“正16，正2，负4，正6，负7的和”，运算上读作“16加2减4加6减7”．

乘法：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘都得零。

几个不为零的有理数相乘，负因数有偶数个时积为正，负因数有奇数个时积为负，如果有一个因数为零，积就为零。

特例，多个有理数相乘，

除法：

除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数；两数相除，同号得正，

异号为负；零除以任意非零的数都得零

12.运算顺序

先定符号，在运算

有理数混合运算的运算顺序是

先算乘方，再算乘除，最后算加减。

同级运算，按照从左到右的顺序进行。

（有括号的先算括号内的）

如果有括号，要先算括号里面的

以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：

　　①加法的交换律a+b=b+a；

　　②加法的结合律a+（b+c）=（a+b）+c；

　　③存在数0，使0+a=a+0=a；

　　④乘法的交换律ab=ba；

　　⑤乘法的结合律a（bc）=（ab）c；

⑥乘法的分配律a（b+c）=ab+ac

13.乘方中的特殊数据

平方数

立方数

2的幂运算

-2的幂运算

14规律数

特殊数列　　

1,2,3,4,5,6,7,8.......---------

　　1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------

　　2，4，6，8，10，12，14.......-------

　　1,3,5,7,9,11,13,15.....-------

　　-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------

　　1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------

　　1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1....------

　　1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------

　　9,99,999,9999,99999,.........------

　　1,11,111,1111,11111.......--------

n,nn,nnn,nnnn,nnnnn......---------

1，4，9，16，25，36，49，......

1,2,4,8,16,32......--------

（补充）分数的学习

1．性质

　　2→分子　　－→分数线　　3→分母

　　读作：

三分之二

　　写作：

　　分数中间的一条横线叫做分数线，分数线上面的数叫做分子，分数线下面的数叫做分母。

读作几分之几。

　　分数可以表述成一个除法算式：

如二分之一等于1除以2。

其中，1分子等于被除数，－分数线等于除号，2分母等于除数，而0.5分数值则等于商。

　　分数还可以表述为一个比，例如；二分之一等于1：

2，其中1分子等于前项，1，分数线等于比号，2，分母等于后项，而0.5分数值则等于比值。

分数的基本性质：

分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得到的分数与原分数的大小相等。

a/b=a/b=a:

b（b不等于零）

　　分数还有一个有趣的性质：

一个分数不是有限小数，就是无限循环小数，像π等这样的无限不循环小数，是不可能用分数代替的。

　　分数的另一个性质是：

当分子与分母同时乘或除以相同的数，分数值不会变化。

因此，每一个分数都有无限个与其相等的分数。

利用此性质，可进行约分与通分。

名称起源

　　为什么叫它分数呢？

分数这个名称直观而生动地表示这种数的特征。

例如，一个西瓜四个人平均分，不把它分成相等的四块行吗？

从这个例子就可以看出，分数是度量和数学本身的需要－－除法运算的需要而产生的。

　　最简分数化小数是先看分母的素因数有哪些，如果只有2和5，那么就能化成有限小数，如果不是，就不能化成有限小数。

不

2.小数化分数．

1、看是几位小数，就在1后面添几个0做分母；

2、把原来的小数去掉小数点后作分子；

3、能约分的要约分

如：

0.125

三位小数——在1后面添3个0做分母（就是1000）——把0.125去掉小数点做分子（就是125）

——分数就是1000分之125——约分后是8分之1

　　有限小数化分数，小数部分有几个零就有几位分母。

例：

0.45=45/100=9/20

　　如是纯循环小数，循环节有几位，分母就有几个9。

例：

0.3（3循环）=3/9=1/3

　　如是混循环小数，循环节有几位，分母就有几个9；不循环的数字有几位，9后面就有几个0，分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。

例：

0.12（2循环）=（12-1）/90=11/90

　　注意：

最后一定要约分。

分数的应用

3分数化小数，

也就是用分子除以分母，得出的即是小数，小数化为百分数，也就是让小数乘上100，再在其后面加上个%号就可以了，反之，则反过来就可以了。

比如：

1/4化为小数，就是1除以4＝0.25就是小数，再化成百分数就是0.25*100＝25再加上%即25%

若把25%化成小数即去掉百分号现除以10025/100＝0.25

0.25化成分数即25/100再化简得1/4。

１、填空

０．3里面有（）个十分之一，它表示（）分之（）。

0．17里面有（）个百分之一，它表示（）分之（）．

０．００９里面有（）个千分之一，它表示（）分之（）

分数计算

分母相同，分子相加减；分母不同，先通分，然后分子相加减。