数学六年级下沪教版长方体的再认识Ⅱ第一部分教师版.docx
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数学六年级下沪教版长方体的再认识Ⅱ第一部分教师版
数学学科教师辅导讲义
课
题
长方体的再认识Ⅱ
教学目的
1．通过观察长方体中棱、面之间的位置关系，直观认识线面、面面的平行和垂直关系，并会用数学符号表示，知道一些简单的检验方法，形成初步的空间观念．
2．体会数学与生活的密切联系，关心现实世界中的数学现象，激发学习数学的兴趣．
年级：
预初
科目：
数学
课时数：
3
教学内容
【知识梳理】
1.平面与直线垂直：
如图所示，直线PQ垂直于平面ABCD，记作：
直线PQ平面ABCD，读作：
直
线PQ垂直于平面ABCD．
2.直线与平面垂直的检验方法：
（1）“铅垂线”检验：
用一根细绳，一端系一重物，另一端用手提起，使重物悬空，静止后的这根细绳是垂直于
水平面的直线，我们通常称为铅垂线，用铅垂线可以检验细棒是否垂直于水平面，如果铅垂线能与细棒紧贴，那么细
捧垂直于水平面．
（2）“三角尺”检验：
用三角尺可以检验细棒是否垂直于墙面．如果两把三角尺各有一条直角边紧贴墙面且位置
相交，另一条直角边都能紧贴细棒，那么细棒垂直于墙面．
（3）“合页型折纸”检验：
将一张长方形的硬纸片对折，然后张开一个角度，我们把这个制作称为合页型折纸，如果将合页型折纸立于桌面，那么可以看到折痕垂直于桌面，若在桌面上立着一根细棒，
折痕能紧贴细棒，那么细棒垂直于桌面．
3.直线与平面平行:
如图所示，直线PQ平行于平面ABCD，记作：
直线PQ//平面ABCD，
读作：
直线PQ平行于平面ABCD．
4.直线与平面平行的检验:
（1）“铅垂线”检验：
铅垂线检验黑板的边沿是否平行于地面．从黑板边沿的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂
线的下端刚好接触地面．如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么黑板的边沿与地面平行．类似
地用铅垂线法可以检验直线与水平面平行．
（2）“长方形纸片”检验：
一边贴合在被检验平面内，观察另一边是否与被检验直线重合．若重合，则直线与平
面平行．
【注意】“长方形纸片”检验充分利用了长方形一组对边平行的性质，所以也可以用具有这一性质的平行四边形
纸片或梯形纸片．
5.平面垂直于平面:
如图所示，平面垂直于平面，记作：
平面平面，读作：
平面垂直于平面．
6.平面与平面垂直的检验:
（1）铅垂线检验；
（2）合页型折纸检验；
（3）三角尺检验．
检验时要观察“铅垂线”、“折痕”、“三角尺的公共边”能否与另一个面紧贴，从而
确定两个面的位置关系是否垂直．
7.平面与平面平行:
如图所示，平面平行于平面，记作：
平面∥平面，读作：
平面平行于平面．
8.平面与平面平行的检验：
“长方形纸片”检验：
用长方形纸片可以检验两块硬纸板是否平行，把长方形纸片放在两块硬纸板之间，按交叉的方向放两次，使纸
片的一边都紧贴一块硬纸板，再观察它的对边，如果对边都能与另一块硬纸板紧贴，那么这两块硬纸板平行．
【典型例题讲解】
题型一：
直线与平面、平面与平面位置关系的理解及判断
【例l】如右图所示，在长方体ABCDEFGH中，
（1）写出所有与棱AB垂直的面；
（2）写出所有与平面EFGH垂直的棱．
【分析】与棱AB垂直的面只有两个，分别过A、B两点的面AEHD、面BFGC,.
与平面EFGH垂直的棱即为图中的四条高AE、BF、CG、DH.
【解析】
（1）平面AEHD、平面BFGC；
（2）棱AE、棱BF、棱CG、棱DH.
【方法总结】理解平面与直线的垂直的概念，并应用概念在直观图中进行判断．
2】一个正方体的边长是3厘米，求与底面平行的棱长和是多少？
在正方体中与一个面平行的棱有4条，即为该面相对的面的四条边，由于这四条边的长都是3厘米，所以与
底面平行的棱长和是3厘米412厘米．
12厘米．
【方法总结】理解直线与平面平行的概念，能在长方体等各种直观图中找出与平面
平行的所有直线，之后可以进行相应的计算．
【例3】如图所示，在一个正方体的三个面上分别写上1、2、3，在与这三个面相对
的面上依次写上4、5、6（1的对面写上4，依次类推）．如果与一个面垂直的面上的
数字之和是14，那么这个面上的数字是多少？
【分析】首先要明确与一个面垂直的面有四个．其次通过分情况讨论得到最后的答
案．
1）与1垂直的面有4个，分别是3和它的对面6、2和它的对面5，所以3625=l6．不对．
（2）与2垂直的面有4个，分别是1和它的对面4、3和它的对面6，所以143+614．对．
（3）类似可以求出与3垂直的四个面数字之和为12.所以只有与2垂直的面上数字之和为14．
【解析】2.
【方法总结】在熟练掌握长方体的各要素及其对应关系以及平面与平面垂直的概念的基础之上，先判断出与某一平面
垂直的平面有哪些，之后可以进行相关的计算.
【例4】举出三个平面与平面平行的生活实例．
【解析】
（1）桌面与地面平行；
（2）教室的前后两个墙面平行；
（3）书架的顶面与底面平行．
【借题发挥】
如右图所示回答下列问题：
1.
在长方体ABCDEFGH中，已知AB4厘米，AE5厘米，AD2厘米，
那么与平面BCGF垂直的棱长和是多少？
【答案】与平面BCGF垂直的棱有棱AB、棱EF、棱CD和棱GH，棱长和是44=16
（厘米）
2.在长方体ABCDEFGH中，已知AB6厘米，AE4厘米，AD2厘米，
求与棱EF垂直的平面的面积和是多少？
【答案】与棱EF垂直的平面有平面ADHE和平面BCGF，所以与棱EF垂直
224=16（厘米2）．
3.在长方体ABCDEFGH中，已知AB6厘米，AE4厘米，AD4厘米，与面EFGH平行的棱长和是多
少？
【答案】与面EFGH平行的棱有棱AB、棱BC、棱CD和棱DA，由此可以算出棱长总和为
264=2（厘米）0．所以与面EFGH平行的棱长和是20厘米.
4.在长方体ABCDEFGH中，已知AB4厘米，AE6厘米，AD4厘米，与棱EF平行的平面的面积和是
多少？
【答案】与棱EF平行的面有面ABCD和面CGHD．然后算出这两个面的面积和44+64=40（厘米2）．所以与
棱EF平行的平面的面积和是40厘米2．
5.在长方体ABCDEFGH中，长、宽、高分别是6厘米、4厘米和3厘米，求与面ABCD垂直的面的面积和是多
少？
【答案】与面ABCD垂直的面有：
面ADHE，面ABFE，面BCGF，面DCGH，与面ABCD垂直的面的面积
和是234+26360（厘米2）．
题型二：
直线与平面、平面与平面位置关系的检验
【例5】细棒插入黄沙堆中，检验细棒是否垂直于地面常用的方法是（）．
A．合页型折纸检验法B．三角尺检验法
C．铅垂线检验法D．长方形纸片检验法
【分析】由于细棒插在黄沙堆中，不方便用合页型折纸的折痕或三角尺的一边紧贴细棒，而铅垂线是用于检验直线与
水平面的垂直关系，用于检验细棒与地面垂直最适合．
【解析】C
【方法总结】理解直线与平面垂直的三种检验方法：
“铅垂线”检验、“三角尺”检验和“合页型折纸”检验，并能结
合实际情况用适当的方法进行检验，即要灵活应用三种检验方法.
【例6】如果检验单杠（如右图所示）是否与地面平行？
请说明方法．
【分析】如图所示，AB、CD相当于两条铅垂线，测量线段AB、CD的长，发现ABCD，从而说明单杠平行
于地面．
找一张长方形硬纸片（充分大），一边紧贴地面，发现另一边能够与单杠BD重合，
说明单杠平行于地面．
【解析】平行；用铅垂线检验或长方形纸片检验．
【方法总结】先利用一定的几何性质来说明直线与平面的平行关系，之后要对直线与平
面的平行关系进行检验，对于所讲的两种方法：
“铅垂线”检验和“长方形纸片”检验，
要根据具体情况灵活应用。
【例7】如图所示，在长方体ABCDEFGH中，写出所有垂直于平面BCGF的平面，
并说明你是怎样检验的．
【分析】找现成的“合页型折纸”，在长方体中，长方体ABFE和长方形EFGH组
成一个“合页型折纸”，折痕EF紧贴“平面ABFE”，边BF、FG贴合在“平面BCGF
上，所以有平面ABFE与平面BCGF垂直，其余同理．
【解析】平面ABFE、平面EFGH、平面CDHG、平面ABCD;
合页型折纸．
【方法总结】理解平面与平面垂直的概念，在直观图中找出与某一个面垂直的所有平
面，并会用适当的方法对其进行检验.
【例8】在长方体ABCDEFGH中（如图所示），
（1）与平面ABFE平行的平面有哪些？
说明你的检验的方法．
（2）互相平行的平面有几对？
写出这些平面．
【分析】找现成的“长方形纸片”，把长方形纸片BCGF和长方形纸片EFGH可以看作把长方形纸片交叉放二次，
边BF、EF紧贴“平面ABFE”，边CG、GH都紧贴“平面DCGH”．所以平面ABFE∥平面DCGH.
【解析】
（1）平面DCGH，“长方形纸片”检验；
（2）互相平行的平面有3对，平面ABCD∥平面EFGH、平面BCGF∥平面ADHE、平面ABFE∥平面
DCGH．
【方法总结】理解平面与平面的平行关系，能从直观图中熟练地找出相互平行的平面，并能用适当的方法对所找到的
平行平面进行检验.
【借题发挥】
1.
怎样检验黑板的边缘是否平行于地面？
【答案】检验黑板和地面平行事实上就是检验一条直线和一个平面平行，
垂线”可以检验黑板的边沿是否平行地面.所以，我们可以从黑板边沿的两个不同的点放下铅垂线，
刚好接触地面，如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，
黑板的边沿是与地面平行的，当然如果从这两个不同点到铅垂线的下端昀线段的长度不
相等，那么就可以说黑板的边沿是与地面不平行的．
【注意】本题也可以用“长方形纸片”来检验，也可以用梯形纸片、平行四边形纸片来
代替长方形纸片．
2.怎样检验两块硬纸板足否平行．
【答案】检验两个平面是否平行的方法主要用“长方形纸片”检验．所以我们可以用
“长方形纸片”来检验．把长方形纸片放在二两块硬纸板之问．按交叉的方向放两次，
使纸片的一边都紧贴一块磋硬纸板，再观察它的对边，如果对边都能与另一块硬纸板紧
贴，那么这两块硬纸板平行．
【点拨】一定要按交叉的方向放两次，艇纸片的一边都紧贴一块硬纸板，再观察它的对边，这里的长方形纸片可
以用梯形纸片和平行四边形纸片，但放两次不能改为一次，而且一定要交叉放置．
不规则图形中的棱、面之间的位置关系，我们知道长方体由八个顶点、十二条棱、六个面构成，反过来由八个
顶点、十二条棱、六个面不一定能构成长方体．但在这些图形中也可以找到具有一组对边平行的其他图形来验证棱与面的位置关系．
【随堂练习】
1.在右图中，找出符合下列条件的棱或面：
1）与面ABCD垂直的棱有哪些？
2）与棱EF垂直的面有哪些？
3）与面ADHE平行的棱有那几条？
4）与棱EF平行的面有那几个？
5）与面DCGH垂直的平面有哪些？
6）与HGCD平行的平面有哪些？
7）数一数，长方体的6个面中，互相平行的棱有几对？
【答案】
（1）棱AE、棱BF、棱CG、棱DH；
（2）平面ADHE和平面BCGF;
（3）棱BC、棱CG、梭GF、棱BF;
（4）平面ABCD和平面DCGH；
（5）平面ABCD、平面BCGF、平面EFGH、平面ADHE；
（6）平面AEFB；
（7）三对.
2.请同学们在教室中找一下直线与平面垂直、直线与平面平行、平面与平面垂直和平面与平面平行的数学现象，并
用适当的方法检验它们是否符合标准.
【答案】教师中，直线与平面垂直的例子：
正墙面与地面的交线与侧墙面；
直线与平面平行的例子：
黑板与地面；
平面与平面垂直的例子：
正墙面与地面；
平面与平面平行的例子：
桌面与地面；
检验的方法不是唯一的，只要有理有据、可以实施就可以.
【课堂总结】
【课后作业】
解答题：
1.如右图，在长方体ABCDEFGH中，
（1）写出所有与棱AB垂直的面；
（2）写出所有与平面EFGH垂直的棱；
（3）哪些平面与面ABCD垂直？
（4）与AB平行的面有哪些？
2．右图中的小旗杆和桌面垂直吗？
可以用哪些方法检验呢？
3．如图，在长方体ABCDEFGH中
（1）与平面ABCD平行的棱有哪些？
（2）与棱BC平行的平面有哪些？
（3）与平面ADGF平行的棱有哪些？
4.如图所示，正方体的边长是5厘米，求与棱AB平行的平面的面积的总和
操作题：
5．在泥地上“竖直”地插一根木条，然后做一个简易的铅垂线，验证一下这根木条是否垂直于水平面，并写出你的验证方法．
6．下列图形中，哪些能折成长方体？
7．在如下图所示的正方体中，与平面BDHF垂直的平面有哪些？
找出用以验证的合页型折纸，并把它涂上红色．
【答案】
1.
（1）面BCGF、面ADHE；
（2）棱AE、棱BF、棱CG、棱DH；
（3）面ABFE、面BCGF、面CDHG、面ADHE；
（4）面CDHG、面BFGH.
2.不垂直.方法有：
“铅垂线”检验法、“三角尺”检验法、“合页型折纸”检验法，适当进行说明.
3.
（1）棱EF、棱HG、棱HE、棱GF；
（2）面ADHE、面EFGH、面ADGF；
（3）棱HE、棱BC.
4.2个面，50平方厘米.
5.用一根细绳，一端系一重物（钥匙、螺帽等），另一端用手提起，使重物悬空，静止后的这根细绳为铅垂线，它是
垂直于水平面的直线，用这个铅垂线靠近所插在泥地里的木条，就可以检验细棒是否垂直于水平面，如果铅垂线能与
木条紧贴，那么木条垂直于水平面，若不紧贴要进行适当的调整使二者紧贴，这样木条就与水平面保持垂直了．
6.A、B、C都可以折成长方体，但D不可以.
7.面ABCD和面EFGH.合页型折纸涂色略.
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