数学六年级下沪教版长方体的再认识Ⅱ第一部分教师版.docx

1、数学六年级下沪教版长方体的再认识第一部分教师版数学学科教师辅导讲义课题长方体的再认识教学目的1 通过观察长方体中棱、面之间的位置关系，直观认识线面、面面的平行和垂直关系， 并会用数学符号表示，知道一些简单的检验方法，形成初步的空间观念2 体会数学与生活的密切联系，关心现实世界中的数学现象，激发学习数学的兴趣年 级：预初科 目：数学课时数： 3教学内容【知识梳理】1. 平面与直线垂直：如图所示，直线 PQ 垂直于平面 ABCD ，记作：直线 PQ 平面 ABCD ，读作：直线 PQ 垂直于平面 ABCD 2. 直线与平面垂直的检验方法：（ 1）“铅垂线”检验：用一根细绳，一端系一重物，另一端用手

2、提起，使重物悬空，静止后的这根细绳是垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线， 用铅垂线可以检验细棒是否垂直于水平面，如果铅垂线能与细棒紧贴， 那么细捧垂直于水平面（ 2）“三角尺” 检验： 用三角尺可以检验细棒是否垂直于墙面如果两把三角尺各有一条直角边紧贴墙面且位置相交，另一条直角边都能紧贴细棒，那么细棒垂直于墙面（ 3）“合页型折纸”检验：将一张长方形的硬纸片对折，然后张开一个角度，我们把这个制作称为合页型折纸， 如果将合页型折纸立于桌面，那么可以看到折痕垂直于桌面，若在桌面上立着一根细棒，折痕能紧贴细棒，那么细棒垂直于桌面3.直线与平面平行 :如图所示，直线 PQ 平行于平面 ABCD ，

3、记作：直线 PQ/ 平面 ABCD ，读作：直线 PQ 平行于平面 ABCD 4.直线与平面平行的检验 :（ 1）“铅垂线”检验：铅垂线检验黑板的边沿是否平行于地面从黑板边沿的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面 如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等， 那么黑板的边沿与地面平行 类似地用铅垂线法可以检验直线与水平面平行（ 2）“长方形纸片”检验：一边贴合在被检验平面内，观察另一边是否与被检验直线重合若重合，则直线与平面平行【注意】 “长方形纸片”检验充分利用了长方形一组对边平行的性质，所以也可以用具有这一性质的平行四边形纸片或梯形纸片5.平面垂直于平面 :如图所示，平

4、面 垂直于平面 ，记作：平面 平面 ，读作：平面 垂直于平面 6.平面与平面垂直的检验 :（ 1）铅垂线检验；（ 2）合页型折纸检验；（ 3）三角尺检验检验时要观察“铅垂线” 、 “折痕” 、 “三角尺的公共边”能否与另一个面紧贴，从而确定两个面的位置关系是否垂直7.平面与平面平行 :如图所示，平面 平行于平面 ，记作：平面 平面 ，读作：平面 平行于 平面 8.平面与平面平行的检验：“长方形纸片”检验： 用长方形纸片可以检验两块硬纸板是否平行，把长方形纸片放在两块硬纸板之间，按交叉的方向放两次，使纸片的一边都紧贴一块硬纸板，再观察它的对边，如果对边都能与另一块硬纸板紧贴，那么这两块硬纸板平行

5、【典型例题讲解】题型一： 直线与平面、平面与平面位置关系的理解及判断【例 l 】 如右图所示，在长方体 ABCD EFGH 中，（1）写出所有与棱 AB 垂直的面；（2） 写出所有与平面 EFGH 垂直的棱【分析】 与棱 AB 垂直的面只有两个， 分别过 A、 B 两点的面 AEHD 、 面 BFGC ,.与平面 EFGH 垂直的棱即为图中的四条高 AE 、 BF 、 CG 、 DH .【解析】 （1） 平面 AEHD 、平面 BFGC ；（2）棱 AE 、棱 BF 、棱 CG 、棱 DH .【方法总结】理解平面与直线的垂直的概念，并应用概念在直观图中进行判断2】 一个正方体的边长是 3厘米，

6、求与底面平行的棱长和是多少？在正方体中与一个面平行的棱有 4 条，即为该面相对的面的四条边，由于这四条边的长都是 3厘米，所以与底面平行的棱长和是 3厘米 4 12厘米 12厘米【方法总结】 理解直线与平面平行的概念，能在长方体等各种直观图中找出与平面平行的所有直线，之后可以进行相应的计算【例 3】 如图所示，在一个正方体的三个面上分别写上 1 、 2、 3，在与这三个面相对的面上依次写上 4、 5、 6 （ 1 的对面写上 4，依次类推） 如果与一个面垂直的面上的数字之和是 14，那么这个面上的数字是多少？【分析】 首先要明确与一个面垂直的面有四个其次通过分情况讨论得到最后的答案1）与 1

7、垂直的面有 4 个，分别是 3 和它的对面 6、 2 和它的对面 5，所以 3 6 2 5=l6不对（ 2）与 2 垂直的面有 4 个，分别是 1 和它的对面 4、 3 和它的对面 6，所以 1 4 3+6 14 对（ 3）类似可以求出与 3 垂直的四个面数字之和为 12. 所以只有与 2 垂直的面上数字之和为 14【解析】 2.【方法总结】 在熟练掌握长方体的各要素及其对应关系以及平面与平面垂直的概念的基础之上， 先判断出与某一平面垂直的平面有哪些，之后可以进行相关的计算 .【例 4】 举出三个平面与平面平行的生活实例【解析】 （1） 桌面与地面平行；（2）教室的前后两个墙面平行；（3）书架

8、的顶面与底面平行【借题发挥】如右图所示回答下列问题：1.在长方体 ABCD EFGH 中， 已知 AB 4厘米， AE 5厘米， AD 2厘米，那么与平面 BCGF 垂直的棱长和是多少？【答案】 与平面 BCGF垂直的棱有棱 AB、 棱 EF、 棱 CD和棱 GH， 棱长和是 4 4=16（厘米）2.在长方体 ABCD EFGH 中， 已知 AB 6厘米， AE 4厘米， AD 2厘米，求与棱 EF 垂直的平面的面积和是多少？【答案】 与棱 EF 垂直的平面有平面 ADHE 和平面 BCGF ，所以与棱 EF 垂直2 2 4=16（厘米 2） 3.在长方体 ABCD EFGH 中，已知 AB

9、6厘米， AE 4厘米， AD 4厘米，与面 EFGH 平行的棱长和是多少？【答案】 与面 EFGH 平行的棱有棱 AB 、棱 BC 、棱 CD 和棱 DA，由此可以算出棱长总和为2 6 4 =2（厘米）0 所以与面 EFGH 平行的棱长和是 20厘米 .4.在长方体 ABCD EFGH 中，已知 AB 4厘米， AE 6厘米， AD 4厘米，与棱 EF 平行的平面的面积和是多少？【答案】 与棱 EF 平行的面有面 ABCD 和面 CGHD 然后算出这两个面的面积和 4 4+6 4=40（厘米 2） 所以与棱 EF平行的平面的面积和是 40厘米 25.在长方体 ABCD EFGH 中，长、宽、

10、高分别是 6厘米、 4厘米和 3厘米，求与面 ABCD 垂直的面的面积和是多少？【答案】 与面 ABCD 垂直的面有：面 ADHE ，面 ABFE ，面 BCGF ，面 DCGH ，与面 ABCD 垂直的面的面积和是 2 3 4+2 6 3 60（厘米 2） 题型二：直线与平面、平面与平面位置关系的检验【例 5】 细棒插入黄沙堆中，检验细棒是否垂直于地面常用的方法是 （ ） A 合页型折纸检验法 B 三角尺检验法C 铅垂线检验法 D 长方形纸片检验法【分析】 由于细棒插在黄沙堆中， 不方便用合页型折纸的折痕或三角尺的一边紧贴细棒， 而铅垂线是用于检验直线与水平面的垂直关系，用于检验细棒与地面垂

11、直最适合【解析】 C【方法总结】 理解直线与平面垂直的三种检验方法： “铅垂线”检验、 “三角尺”检验和“合页型折纸”检验，并能结合实际情况用适当的方法进行检验，即要灵活应用三种检验方法 .【例 6】 如果检验单杠（如右图所示）是否与地面平行？请说明方法【分析】 如图所示， AB 、 CD 相当于两条铅垂线，测量线段 AB 、 CD 的长，发现 AB CD ，从而说明单杠平行于地面找一张长方形硬纸片 ( 充分大 ) ，一边紧贴地面，发现另一边能够与单杠 BD 重合，说明单杠平行于地面【解析】 平行；用铅垂线检验或长方形纸片检验【方法总结】 先利用一定的几何性质来说明直线与平面的平行关系， 之后

12、要对直线与平面的平行关系进行检验，对于所讲的两种方法： “铅垂线”检验和“长方形纸片”检验，要根据具体情况灵活应用。【例 7】 如图所示， 在长方体 ABCD EFGH 中， 写出所有垂直于平面 BCGF 的平面，并说明你是怎样检验的【分析】 找现成的“合页型折纸” ，在长方体中，长方体 ABFE 和长方形 EFGH 组成一个 “合页型折纸” ， 折痕 EF 紧贴 “平面 ABFE ”， 边 BF 、 FG 贴合在 “平面 BCGF上，所以有平面 ABFE 与平面 BCGF 垂直，其余同理【解析】 平面 ABFE 、平面 EFGH 、平面 CDHG 、平面 ABCD ;合页型折纸【方法总结】

13、理解平面与平面垂直的概念，在直观图中找出与某一个面垂直的所有平面，并会用适当的方法对其进行检验 .【例 8】 在长方体 ABCD EFGH 中(如图所示) ， (1) 与平面 ABFE 平行的平面有哪些？说明你的检验的方法(2) 互相平行的平面有几对？写出这些平面【分析】 找现成的“长方形纸片” ，把长方形纸片 BCGF 和长方形纸片 EFGH 可以看作把长方形纸片交叉放二次，边 BF 、 EF 紧贴“平面 ABFE ”，边 CG 、 GH 都紧贴“平面 DCGH ” 所以平面 ABFE 平面 DCGH .【解析】 (1) 平面 DCGH ， “长方形纸片”检验；(2) 互相平行的平面有 3

14、对，平面 ABCD 平面 EFGH 、平面 BCGF 平面 ADHE 、平面 ABFE 平面DCGH 【方法总结】 理解平面与平面的平行关系， 能从直观图中熟练地找出相互平行的平面， 并能用适当的方法对所找到的平行平面进行检验 .【借题发挥】1.怎样检验黑板的边缘是否平行于地面？【答案】 检验黑板和地面平行事实上就是检验一条直线和一个平面平行，垂线” 可以检验黑板的边沿是否平行地面 . 所以， 我们可以从黑板边沿的两个不同的点放下铅垂线，刚好接触地面， 如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，黑板的边沿是与地面平行的， 当然如果从这两个不同点到铅垂线的下端昀线段的长度不相等，那么就可

15、以说黑板的边沿是与地面不平行的【注意】 本题也可以用“长方形纸片”来检验，也可以用梯形纸片、平行四边形纸片来代替长方形纸片2.怎样检验两块硬纸板足否平行【答案】 检验两个平面是否平行的方法主要用“长方形纸片”检验所以我们可以用“长方形纸片”来检验把长方形纸片放在二两块硬纸板之问按交叉的方向放两次，使纸片的一边都紧贴一块磋硬纸板， 再观察它的对边， 如果对边都能与另一块硬纸板紧贴，那么这两块硬纸板平行【点拨】 一定要按交叉的方向放两次， 艇纸片的一边都紧贴一块硬纸板， 再观察它的对边， 这里的长方形纸片可以用梯形纸片和平行四边形纸片，但放两次不能改为一次，而且一定要交叉放置不规则图形中的棱、面之

16、间的位置关系，我们知道长方体由八个顶点、十二条棱、六个面构成，反过来由八个顶点、 十二条棱、 六个面不一定能构成长方体 但在这些图形中也可以找到具有一组对边平行的其他图形来验证棱与 面的位置关系【随堂练习】1.在右图中，找出符合下列条件的棱或面：1）与面 ABCD 垂直的棱有哪些？2）与棱 EF 垂直的面有哪些？3）与面 ADHE 平行的棱有那几条？4）与棱 EF 平行的面有那几个？5）与面 DCGH 垂直的平面有哪些？6）与 HGCD 平行的平面有哪些？7）数一数，长方体的 6 个面中，互相平行的棱有几对？【答案】 （ 1）棱 AE 、棱 BF 、棱 CG 、棱 DH ；（ 2）平面 ADH

17、E 和平面 BCGF ;（ 3）棱 BC 、棱 CG 、梭 GF 、棱 BF ;（ 4）平面 ABCD和平面 DCGH ；（ 5）平面 ABCD、平面 BCGF 、平面 EFGH 、平面 ADHE ；（ 6）平面 AEFB；（ 7）三对 .2.请同学们在教室中找一下直线与平面垂直、直线与平面平行、平面与平面垂直和平面与平面平行的数学现象，并用适当的方法检验它们是否符合标准 .【答案】 教师中，直线与平面垂直的例子：正墙面与地面的交线与侧墙面；直线与平面平行的例子：黑板与地面；平面与平面垂直的例子：正墙面与地面；平面与平面平行的例子：桌面与地面；检验的方法不是唯一的，只要有理有据、可以实施就可以

18、 .【课堂总结】【课后作业】解答题：1.如右图，在长方体 ABCD EFGH 中，（1）写出所有与棱 AB 垂直的面；（2）写出所有与平面 EFGH 垂直的棱；（3）哪些平面与面 ABCD 垂直？（4）与 AB 平行的面有哪些？2右图中的小旗杆和桌面垂直吗？可以用哪些方法检验呢？3如图，在长方体 ABCD EFGH 中(1)与平面 ABCD 平行的棱有哪些？(2)与棱 BC 平行的平面有哪些？(3)与平面 ADGF 平行的棱有哪些？4. 如图所示，正方体的边长是 5厘米，求与棱 AB 平行的平面的面积的总和操作题：5在泥地上“竖直”地插一根木条，然后做一个简易的铅垂线，验证一下这根木条是否垂直

19、于水平面，并写出你的 验证方法6下列图形中，哪些能折成长方体？7在如下图所示的正方体中，与平面 BDHF 垂直的平面有哪些？找出用以验证的合页型折纸，并把它涂上红色【答案】1.（ 1）面 BCGF 、面 ADHE ；（2）棱 AE 、棱 BF 、棱 CG 、棱 DH ；（3）面 ABFE 、面 BCGF 、面 CDHG 、面 ADHE ；（4）面 CDHG 、面 BFGH .2.不垂直 . 方法有： “铅垂线”检验法、 “三角尺”检验法、 “合页型折纸”检验法，适当进行说明 .3.（ 1）棱 EF 、棱 HG 、棱 HE 、棱 GF ；（ 2）面 ADHE 、面 EFGH 、面 ADGF ；（ 3）棱 HE 、棱 BC .4.2 个面， 50平方厘米 .5.用一根细绳，一端系一重物（钥匙、螺帽等） ，另一端用手提起，使重物悬空，静止后的这根细绳为铅垂线，它是垂直于水平面的直线， 用这个铅垂线靠近所插在泥地里的木条， 就可以检验细棒是否垂直于水平面， 如果铅垂线能与木条紧贴，那么木条垂直于水平面，若不紧贴要进行适当的调整使二者紧贴，这样木条就与水平面保持垂直了6.A、 B、 C都可以折成长方体，但 D 不可以 .7.面 ABCD 和面 EFGH . 合页型折纸涂色略 .