高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数32对数函数321对数自我小测苏教版必修.docx
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高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数32对数函数321对数自我小测苏教版必修
2019-2020年高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数自我小测苏教版必修
1．如果lg2＝a，lg3＝b，则等于________．
2．下列结论中，正确的序号是________．
①lg2·lg3＝lg5；②lg23＝lg9；③；④若logaM＋N＝b，则M＋N＝ab（a＞0且a≠1）；⑤若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N.
3．
（1）已知loga2＝m，loga3＝n（a＞0且a≠1）则a2m－n＝________；
（2）若a＞0，，则________；
（3）若5lgx＝25，则x＝________.
4．已知lg（log2x）＝0，，则logxy＝________.
5．已知，logn8＝blogn56（m、n＞0且m≠1，n≠1），则a＋b＝________，________.
6．
（1）已知11.2a＝1000,0.0112b＝1000，则________.
（2）若2a＝5b＝10，则________.
7．求下列各式的值：
（1）2log525＋log264－2011logπ1；
（2）log155·log1545＋（log153）2；
（3）；
（4）；
（5）
；
（6）
．
8．xx年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是xx年的2倍？
（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg1.08≈0.0334，精确到1年）
参考答案
1. 解析：
∵lg2＝a，lg3＝b，
∴
2．③⑤ 解析：
由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确；当loga（M＋N）＝b时，有M＋N＝ab，∴④错；由log2M＋log3N＝log2N＋log3M，得log2M－log2N＝log3M－log3N，即，上式只有当，即M＝N时成立，∴⑤正确．
3．
（1）
（2）3 （3）100 解析：
（1）∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.
∴
（2）法一：
∵a＞0，，∴
∴，即，∴
法二：
∵a＞0，∴，∴ ∴
（3）∵5lgx＝25＝52.∴lgx＝2，x＝102＝100.
4．－3 解析：
∵lg（log2x）＝0，∴log2x＝1，∴x＝2，
又∵，
∴，∴，∴.
∴
.
5．1 56 解析：
由换底公式得.
，
∴a＋b＝log567＋log568＝log5656＝1.
∵log567＝a，∴.
∴.
6．
（1）1
（2）1 解析：
（1）法一：
用指数解：
由已知得.
，两式相除得：
，
∴.
法二：
用对数解．由题意，得a×lg11.2＝3，
b×lg0.0112＝3，∴
.
法三：
综合法解．∵11.2a＝1000,0.0112b＝1000，∴a＝log11.21000，b＝log0.01121000.∴
（2）法一：
由2a＝5b＝10，得a＝log210，b＝log510，
∴
.
法二：
对已知条件的各边取常用对数，得alg2＝blg5＝1，∴，，
∴
.
7．解：
（1）原式＝2log552＋log226－xx×0＝4＋6－0＝10.
（2）原式＝log155（1＋log153）＋（log153）2＝log155＋log153（log155＋log153）＝log155＋log153＝log1515＝1.[或原式＝（1－log153）（1＋log153）＋（log153）2＝1－（log153）2＋（log153）2＝1]
（3）原式
＝（－2）×（－4）×（－2）＝－16.
（4）设，则
＝（1＋lg2）lg7＋（lg7－1）（－lg2）＝lg7＋lg2＝lg14.∴x＝14，即.
（5）原式＝（1－lg2）（3＋3lg2）＋3lg22＋lg6－2－lg6＝3（1－lg2）（1＋lg2）＋3lg22－2＝3（1－lg22）＋3lg22－2＝3－2＝1.
（6）原式
.
8．解：
设经过x年后国民生产总值是xx年的2倍．经过1年，总产值为a（1＋8%），经过2年，总产值为a（1＋8%）2，……经过x年，总产值为a（1＋8%）x.
由题意得a（1＋8%）x＝2a，即1.08x＝2.
方法一：
两边取常用对数，得lg1.08x＝lg2，即
．
方法二：
用换底公式．∵1.08x＝2，∴
．
答：
约经过9年，国民生产总值是xx的两倍．
百尺竿头
解：
（1）∵18b＝5，∴log185＝b，又∵log189＝a，∴log182＝1－log189＝1－a.
∴
.
2）∵loga8＋log2a＝4，∴3loga2＋log2a＝4，∴，
∴（log2a－1）（log2a－3）＝0，即log2a＝1或log2a＝3，∴a＝2或a＝8.
①当a＝2时，f（x）＝x2＋3是偶函数；当a＝8时，f（x）＝x8＋3也是偶函数．
∴f（x）是偶函数．
②当a＝2时，原式
；当a＝8时，原式
.
③∵g（x）＝2x或g（x）＝8x，且2与8都大于1，∴g（x）＝ax在R上是单调增函数．
2019-2020年高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.2对数函数优化训练苏教版必修
5分钟训练（预习类训练，可用于课前）
1.函数f（x）=|log2x|的图象是（）
思路解析:
考查对数函数的图象及图象变换.注意到y=|log2x|的图象应是将y=log2x的图象位于x轴下方的部分翻折到x轴的上方，故选A.
答案:
A
2.函数y=loga（x-2）+1（a＞0且a≠1）恒过定点____________.
思路解析:
若x-2=1，则不论a为何值，只要a＞0且a=1，都有y=1.
答案:
（3，1）
3.函数f（x）=log（a-1）x是减函数，则a的取值范围是__________.
思路解析:
考查对数函数的概念、性质.注意到a-1既受a-1＞0且a-1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a的不等式求a.
由题意知0＜a-1＜1，∴1＜a＜2.
答案:
1＜a＜2
10分钟训练（强化类训练，可用于课中）
1.下图是对数函数y=logax当底数a的值分别取，，，时所对应的图象，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次是（）
A.,,,B.,,,
C.,,,D.,,,
思路解析:
因为底数a大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a越大，图象就越靠近x轴；底数a大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a越小，图象就越靠近x轴.
答案:
A
2.若定义在（-1，0）上的函数f（x）=log2a（x+1）满足f（x）>0，则a的取值范围是（）
A.（0,）B.（0,）C.（,+∞）D.（0,+∞）
思路解析:
本题考查对数函数的基本性质.
当x∈（-1，0）时，有x+1∈（0，1），此时要满足f（x）>0，只要0<2a<1即可.
由此解得0答案:
A
3.若函数f（x）=logax（0A.B.C.D.
思路解析：
本题关键是利用f（x）的单调性确定f（x）在［a，2a］上的最大值与最小值.
f（x）=logax（0当x∈［a，2a］时，f（x）max=f（a）=1，f（x）min=f（2a）=loga2a.
根据题意，3loga2a=1，即loga2a=，
所以loga2+1=，即loga2=-.
故由=2得a=.
答案：
A
4.比较大小：
（1）log0.27和log0.29；
（2）log35和log65；
（3）（lgm）1.9和（lgm）2.1（m＞1）；（4）log85和lg4.
思路解析:
（1）直接利用对数函数的单调性；
（2）是对数函数底数变化规律的应用；（3）是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用；（4）是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0、1、2等,可通过估算加以选择.
解:
（1）log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log0.2x在（0，+∞）上单调递减，得log0.27＞log0.29.
（2）考察函数y=logax底数a＞1的底数变化规律，函数y=log3x（x＞1）的图象在函数y=log6x（x＞1）的上方，故log35＞log65.
（3）把lgm看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm＞1即m＞10，则（lgm）x在R上单调递增，
故（lgm）1.9＜（lgm）2.1.若0＜lgm＜1即1＜m＜10，则（lgm）x在R上单调递减，
故（lgm）1.9＞（lgm）2.1.
若lgm=1即m=10，则（lgm）1.9＝（lgm）2.1.
（4）因为底数8、10均大于1，且10＞8，
所以log85＞lg5＞lg4，即log85＞lg4.
5.已知函数y=lg（-x），求其定义域，并判断其奇偶性、单调性.
思路解析：
注意到+x=，即有lg（-x）=-lg（+x），
从而f（-x）=lg（+x）
=-lg（-x）=-f（x），
可知其为奇函数.
又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究（0，+∞）上的单调性.
解：
由题意-x＞0，解得x∈R，即定义域为R.
又f（-x）=lg［-（-x）］=lg（+x）=lg=lg（-x）-1=-lg（-x）=-f（x）,
∴y=lg（-x）是奇函数.
任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则＜+x1＜+x2>，
即有-x1＞-x2＞0，
∴lg（-x1）＞lg（-x2），即f（x1）＞f（x2）成立.
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数.又f（x）是定义在R上的奇函数，故f（x）在（-∞，0）上也为减函数.
6.作出下列函数的图象：
（1）y=|log4x|-1；
（2）y=|x+1|.
思路解析：
（1）y=|log4x|-1的图象可以看成由y=log4x的图象经过变换而得到：
将函数y=log4x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去，得到y=|log4x|的图象，再将y=|log4x|的图象向下平移1个单位，横坐标不变，就得到了y=|log4x|-1的图象.
（2）y=|x+1|的图象可以看成由y=x的图象经过变换而得到：
将函数y=x的图象作出右边部分关于y轴的对称图象，即得到函数y=|x|的图象，再将所得图象向左平移一个单位，就得到所求的函数y=|x+1|的图象.
解：
函数
（1）的图象作法如图①—③所示.函数
（2）的图象作法如图④—⑥所示.
快乐时光
七个男人和一个女人
朋友闲来无事，到街上遛达，看到有一录像点高挂着牌子，写着：
今晚精彩录像——《七个男人与一个女人的故事》莫失良机.朋友好奇心发作，买票进场.待人坐齐以后，开始放映.一开场屏幕上出现了真实片名《八仙过海》.
30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）
1.如下图，当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与y=logax的图象是（）
思路解析:
首先把y=a-x化为y=（）x，
∵a＞1，∴0＜＜1.
因此y=（）x，即y=a-x的图象是下降的，y=logax的图象是上升的.
答案:
A
2.y=（x2-3x+2）的递增区间是（）
A.（-∞，1）B.（2，+∞）C.（-∞，）D.（，+∞）
思路解析:
首先考虑对数函数的定义域，再利用对数函数的性质.
答案:
A
3.已知函数f（x）=lg（x2-3x+2）的定义域为F，函数g（x）=lg（x-1）+lg（x-2）的定义域为G，那么（）
A.GFB.G=FC.FGD.F∩G=
思路解析:
F={x|x2-3x+2>0}={x|x>2或x<1}，G={x|x>2}.
∴GF.
答案:
A
4.已知函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在［2，+∞］上是增函数，则实数a的取值范围是（）
A.（-∞，4）B.（-4，4）
C.（-∞，-4）∪［2，+∞D.［-4，4］
思路解析:
解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数.
令u（x）=x2-ax+3a，其对称轴x=.
由题意有
解得-4答案:
B
5.已知f（x）是周期为2的奇函数,当0A.a思路解析:
由题意,a=f（）=f（-）=-f（）=-lg=lg,b=f（）=f（-）=-f（）=-lg=lg2,
c=f（）=f（）=lg,由于f（x）=lgx,在实数范围内为增函数,所以有c答案：
D
6.函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）
A.（-,+∞）B.（-,1）C.（-,）D.（-∞,-）
思路解析:
要使函数有意义,则解得-答案:
B
7.已知f（x）=loga（a>0且a≠1）.
（1）求函数的定义域；
（2）讨论函数的单调性；
（3）求使f（x）>0的x的取值范围.
解：
（1）由>0得-1∴函数的定义域为（-1，1）.
（2）对任意-1当a>1时，loga当0loga，即f（x1）>f（x2）.
∴当a>1时，f（x）为（-1，1）上的增函数；
当0（3）loga>0=loga1.
∴当a>1时，>1，即-1=>0.
∴2x（x-1）<0.∴0当0解得-1当a>1时，f（x）>0的解为（0，1）；
当00的解为（-1，0）.
8.设函数f（x）=x2-x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1），求f（log2x）的最小值及对应的x的值.
思路解析：
关键是利用已知的两个条件求出a、b的值.
解：
由已知得
即
由①得log2a=1，∴a=2.
代入②得b=2.∴f（x）=x2-x+2.
∴f（log2x）=log22x-log2x+2=（log2x-）2+.∴当log2x=时，f（log2x）取得最小值，此时x=.
9.已知f（x）=1+logx3，g（x）=2logx2，试比较f（x）与g（x）的大小.
思路解析:
要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较，作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小.因为本题中的f（x）与g（x）的正负不确定，所以采取作差比较法.
解：
f（x）和g（x）的定义域都是（0，1）∪（1，+∞）
.f（x）-g（x）=1+logx3-2logx2=1+logx3-logx4=logxx.
（1）当0＜x＜1时，若0＜x＜1，即0＜x＜，此时logxx＞0，即0＜x＜1时，f（x）＞g（x）；
（2）当x＞1时，若x＞1，即x＞，此时logxx＞0，即x＞时，f（x）＞g（x）；
若x=1，即x=，此时logxx=0，即x=时，f（x）=g（x）；
若0＜x＜1，即0＜x＜，此时logxx＜0，即1＜x＜时，f（x）＜g（x）.
综上所述，当x∈（0，1）∪（，+∞）时，f（x）＞g（x）；
当x=时，f（x）=g（x）；
当x∈（1，）时，f（x）＜g（x）.
10.已知f（x）=lg（ax-bx）（a>1>b>0）.
（1）求y=f（x）的定义域；
（2）在函数图象上是否存在不同两点，使过两点的直线平行于x轴?
思路解析：
（2）的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题.
解：
（1）由ax-bx>0，得（）x>1=（）0.
∵>1，∴x>0.
∴函数的定义域为（0，+∞）.
（2）先证明f（x）是增函数.对于任意x1>x2>0，∵a>1>b>0，∴>，<.
∴->-.
∴lg（-）>lg（-）.
∴f（x1）>f（x2）.
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数.
假设y=f（x）上存在不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），使直线AB平行于x轴，则x1≠x2，y1=y2，这与f（x）是增函数矛盾.
∴y=f（x）的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x轴.
11.xx年春节晚会的现场上无数次响起响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90.1分贝.分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级（spl）来描述声音的大小：
把一很小的声压P0=2×10-5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝（dB）.分贝值在60以下为无害区，60—110为过渡区，110以上为有害区.
（1）根据上述材料，列出分贝y与声压P的函数关系式.
（2）某地声压P=0.002帕，试问该地为以上所说的什么区?
声音环境是否优良？
思路解析：
由已知条件即可写出分贝y与声压P之间的函数关系式，然后由函数关系式求得当P=0.002帕时，分贝y的值.由此可判断所在区.
解：
（1）由已知y=（lg）×20=20·lg（其中P0=2×10-5）.
（2）将P=0.002代入函数关系y=20lg，则y=20lg=20lg102=40（分贝）.
由已知条件知40分贝小于60分贝，所以在噪音无害区，环境优良.
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