初中几何各种性质及判定.docx

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初中几何各种性质及判定

相似三角形判定定理

相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等；

（2）相似三角形的对应边成比例；

（3）相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；

（4）相似三角形的周长比等于相似比；

（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方；

（6）平行三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似，如果两个三角形对应边的比相等,这2个三角形也可以说明相似；

（7）要证明△ABC∽△ABC全等要把他们的关系联系起来.相似三角形的传递性：

如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽ΔA2B2C2

相似三角形的判定定理：

判定定理1：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：

两角对应相等，两个三角形相似。

）（AA）

判定定理2：

如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：

两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

）（SAS）

判定定理3：

如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

（简叙为：

三边对应成比例，两个三角形相似。

）（SSS）

　　判定定理4：

两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

（简叙为：

三边对应平行，两个三角形相似。

）

判定定理5：

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

（简叙为：

斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

）（HL）

判定定理6：

如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：

1）（简叙为：

全等三角形相似）。

相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形

直角三角形相似的判定定理：

（1）直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似；

（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

一定相似

符合下面的情况中的任何一种的两个（或多个）三角形一定相似：

1.两个全等的三角形

全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：

1。

2.任意一个顶角或底角相等的两个等腰三角形

两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

3.两个等边三角形

两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似。

4.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形

由于斜边的高形成两个直角，再加上一个公共的角，所以相似。

[

全等三角形判定定理

经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。

全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。

全等三角形是几何中全等之一。

根据全等转换，两个全等三角形经过平移、旋转、翻折后，仍旧全等。

性质：

1．全等三角形的对应角相等。

2．全等三角形的对应边相等。

3.能够完全重合的顶点叫对应顶点。

4．全等三角形的对应边上的高对应相等。

5．全等三角形的对应角的角平分线相等。

6．全等三角形的对应边上的中线相等。

7．全等三角形面积和周长相等。

8．全等三角形的对应角的三角函数值相等。

温馨提示：

三个角对应相等的两个三角形不一定全等，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形也不一定全等。

判定

SSS（边边边）：

三边对应相等的三角形是全等三角形。

SAS（边角边）：

两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。

[

ASA（角边角）：

两角及其夹边对应相等的三角形全等。

[

AAS（角角边）：

两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。

[

RHS（直角、斜边、边）（又称HL定理（斜边、直角边））：

在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。

下列两种方法不能验证为全等三角形：

AAA（角角角）：

三角相等，不能证全等，但能证相似三角形。

SSA（边边角）：

其中一角相等，且非夹角的两边相等。

平行四边形性质定理

平行四边形的定义：

在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

平行四边形的性质：

（1）平行四边形对边平行且相等.

（2）平行四边形两条对角线互相平分.（菱形和正方形）

（3）平行四边形的对角相等,两邻角互补。

（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形.（推论）

（5）平行四边形的面积等于底和高的积.（可视为矩形）

（6）平行四边形是旋转对称图形,旋转中心是两条对角线的交点.

（7）过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形.

（8）平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点.

（9）一般的平行四边形没有对称轴，不是轴对称图形,菱形是轴对称图形.

（10）平行四边形ABCD中,AC、BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证明）.

（11）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分.

判定：

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（6）一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（7）一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形；

矩形的性质和判定

定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

性质：

1.矩形的四个叫都是直角

2.矩形的对角线相等且互相平分

3.对边相等且平行

注意：

矩形具有平行四边形的一切性质.

判定：

①有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形.

菱形的性质和判定：

菱形的定义：

在一个平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形

性质：

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：

1.边的性质：

对边平行且四边相等．

2.角的性质：

邻角互补，对角相等．

3.对角线性质：

对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

4.对称性：

菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：

其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

菱形的判定

判定①：

一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：

四边相等的四边形是菱形

正方形的性质和判定

定义：

对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

性质

1.四个角都是直角，四条边都相等

2.两条对角线相等且互相垂直平分

3.每条对角线平分一组对角

4.正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有四条对称轴

判定

1.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

2.邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

（一个角是直角的菱形）

3.有一组邻边相等的矩形。

4.既是矩形，又是菱形的四边形。

正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形！

菱形和正方形区别：

内角度数不同：

正方形均为90°,菱形只是对角相等；

对角线不同：

正方形对角线垂直且平分且相等,菱形对角线垂直平分但不等；

菱形包含正方形,即正方形是特殊的菱形,是菱形的一种.

等腰梯形的性质和判定

等腰梯形：

一组对边平行（不相等），另一组对边不平行但相等的四边形。

性质

1、等腰梯形同一底上的两个内角相等。

2、两腰相等，两底平行，对角线相等，对角互补

3、由托勒密定理可得等腰梯形ABCD，有AB*CD+BC*AD=AC*BD。

即对角线的平方等于腰的平方与上、下底积的和。

4、中位线长是上下底边长度和的一半。

5、两条对角线相等。

6、对角线分成的四个三角形有3对全等三角形，1对非全等的相似三角形。

7、等腰梯形的面积公式：

等腰梯形的面积=（上底+下底）*高*1/2。

8、特殊面积计算:

当对角线垂直时，等腰梯形的面积=（BD×AC）/2　。

9、几何语言：

∵四边形ABCD是等腰梯形∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

　　几何语言：

∵∠BAD=∠ADC，∠DCB=∠ABC　∴四边形ABCD是等腰梯形（在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）。

10、BD·AC=AB·DC+AD·BC

11、等腰梯形是轴对称图形，对称轴是通过两底中点的直线。

判定

1、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

2、一组对边平行且不等，另一组对边相等且不平行的四边形是等腰梯形。

3、对角线相等且能形成两个等腰三角形的四边形是等腰梯形。

4、对角互补的梯形是等腰梯形。

5、对角线相等的梯形是等腰梯形。

6、两腰相等的梯形是等腰梯形；。

梯形中位线定理

连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

定理定义

梯形的中位线等于梯形的上底加下底再除以二，用符号表示是L.

L=（a+b）÷2

已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积．

S梯=2Lh÷2=Lh

中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。

三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。

托勒密定理

托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：

圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

运用要点

1.等号成立的条件是（a-b）（c-d）与（a-d）（b-c）的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

2.四点不限于同一平面。

欧拉定理：

在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的着作《球面学》（Sphaerica）。

即任何一条直线截三角形的各边或其延长线，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积

定理证明

编辑

证明一

过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.则

证毕

证明二

过点C作CP∥DF交AB于P，则

两式相乘得

证明三

连结CF、AD，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。

AF：

FB=S△ADF：

S△BDF…………

（1），

BD：

DC=S△BDF：

S△CDF…………

（2），

CE：

EA=S△CDE：

S△ADE=S△FEC：

S△FEA=（S△CDE+S△FEC）：

（S△ADE+S△FEA）

=S△CDF：

S△ADF…………（3）

（1）×

（2）×（3）得

××=

×

×

证明四

过三顶点作直线DEF的垂线AA‘，BB'，CC'，如图：

充分性证明：

△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。

连接DF交CA于E'，则由充分性可得，（AF/FB）×（BD/DC）×（CE'/E'A）=1

又∵

∴有CE/EA=CE'/E'A，两点重合。

所以

共线

推论在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。

于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=-1。

（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）

此外，用该定理可使其容易理解和记忆：

第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：

若E，F，D三点共线，则

（sin∠ACF/sin∠FCB）（sin∠BAD/sin∠DAC）（sin∠CBE/sin∠ABE）=1

即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。

该形式的梅涅劳斯定理也很实用。

证明：

可用面积法推出：

第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。

第二角元形式的梅涅劳斯定理

在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB）（sin∠BOD/sin∠DOC）（sin∠COE

/sin∠AOE）=1（O不与点A、B、C重合）

定理意义

使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。

梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。

它的逆定理也成立：

若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。

利用这个逆定理，可以判断三点共线。

证明两直线互相平行得常用的定理：

1.利用角同位角相等内错角相等或同旁内角互补，两直线平行

2.利用第三线都平行或都垂直于第三线的两直线平行

3.利用比例式ABC中，如果

4.其它：

三角形的中位线平行且等于底边的一半

梯形的中位线平行于两底边且两底边和的一半

平行四边形的对边平行且相等

在三角形中证明直角的常用方法：

1.如果一个角等于其它两个角的和，那么这个角是直角

2.若一边平方等于另外两边的平方和，则这边所对的角是直角

3.若一边中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角

4.等腰三角形顶角平分线（或底边中线）是底边上的高

5.和直角三角形全等或相似的三角形是直角三角形

6.菱形的对角线互相垂直

三角形五心定理

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称

重心定理

三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）

重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

5.以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心定理

三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：

d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：

（（c2+c3）/2c，（c1+c3）/2c，（c1+c2）/2c）。

5、外心到三顶点的距离相等

垂心定理

三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Eulerline））

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明

已知：

ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F，求证：

CF⊥AB

证明：

连接DE

∵∠ADB=∠AEB=90度

∴A、B、D、E四点共圆

∴∠ADE=∠ABE

又∵∠ODC=∠OEC=90度

∴O、D、C、E四点共圆

∴∠ACF=∠ADE=∠ABE

又∵∠ABE+∠BAC=90度

∴∠ACF+∠BAC=90度

∴CF⊥AB

因此，垂心定理成立！

内心定理

三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

内心的性质：

1、三角形的三条内角平分线交于一点。

该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。

3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：

向量P0=（a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC）/（a+b+c）.

4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:

ON=AB:

BN=AC:

CN=（AB+AC）:

BC

5、（欧拉定理）⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．

6、（内角平分线分三边长度关系）

△ABC中，0为内心，∠A、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b,CP/PA=a/c,BR/RA=a/b.

7、内心到三角形三边距离相等。

旁心定理

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。

旁心的性质：

1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

2、每个三角形都有三个旁心。

3、旁心到三边的距离相等。

如图，点M就是△ABC的一个旁心。

三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。

一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

附：

三角形的中心：

只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。