八上一次函数难题.docx
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八上一次函数难题
1.如图，正比例函数y1x的图象与反比例函数yk（k0）在第一象
2x
限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知OAM的
面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），
且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PAPB最小.
y
A
x
OM
2．（12分）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第
三象限作等腰Rt△ABC．
（1）求C点的坐标．（4分）
y
AOx
C
B
图1
（2）如图２，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值．（4分）
y
AOE
x
D
P
图2
（3）如图3，已知点F坐标为（－2，－2），当G在y轴的负半
轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝900，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：
①m—n为定值；②m＋n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确
的结论，并求出其值．（4分）。
y
H
Ox
F
图3
G
3.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（1,0），点B在y轴正半轴上，且△AOB是等腰直角三角形，点C与点A关于y轴对称，过点C
的一条直线绕点C旋转，交y轴于点D，交直线AB于点P（x,y），
y
且点P在第二象限内.
B
（1）求B点坐标及直线AB的解析式；
OAx
（2）设△BPD的面积为S，试用x表示△BPD的面积S.
4．已知：
如图，直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，
0），B（0，－4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m>0），以AP
为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限。
（1）求直线AB的解析式；
（2）用m的代数式表示点M的坐标；
（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由。
5已知A（1，0），B（0，3），点C与点A关于坐标原点对称，经过点C的直线与y轴交于点D，与直线AB交于点E，且E点在第二象限。
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点D（0，1），过点B作BFCD于F，连接BC，求DBF的度数
及BCE的面积；
（3）若点G（G不与C重合）是动直线CD上一点，且BGBA，试探究
ABG与ACE之间满足的等量关系，并加以证明。
0，
2．
（1）过C作CM⊥x轴于M点，∠MAC＋∠OAB＝90，∠OAB＋∠OBA＝90，则∠MAC
＝∠OBA⋯⋯1分
在△MAC和△OBA中
CMAAOB900
MACOBA
ACAB
则△MAC≌△OBA（AAS）⋯⋯3分
则CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（－6，－2）⋯⋯4分
（2）过D作DQ⊥OP于Q点，则OP－DE＝PQ，∠APO＋∠QPD＝900，，∠APO＋∠OAP
0
＝90,则∠QPD＝∠OAP，⋯⋯5分
在△AOP和△PDQ中
AOPPQD900
QPDOAP
APPD
则△AOP≌△PDQ（AAS）⋯⋯7分
PQ＝OA＝2⋯⋯8分
（3）结论②是正确的，m＋n＝－4，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，
则FS＝FT＝2，∠FHS=HFT=∠FGT⋯⋯9分
在△FSH和△FTG中
FSHFTG900
FHSFGT
FSFT
则△FSH≌△FTG（AAS）⋯⋯10分
则GT＝HS，又因为GT＝－2－m，HS＝n－（－2）⋯⋯11分，则
－2－m＝n－（－2），则m＋n＝－4.⋯⋯12分
3.
（1）
解：
∵△
AOB是
等
腰
直
角
三
角
形
且
A（1,0）,
∴
B（0,1）.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1
分
∴过点
A（1,0）
、
B（0,1）
的
直
线
的
解
析式
为
y=-x+1.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
（2）解：
∵点C与点A关于y轴对称，∴C（-1,0）.
又点P在直线AB上，则P（x，-x+1）.
设过P、C两点的直线的解析式为y=kx+b.
∵C（-1,0）在直线y=kx+b上，
∴-k+b=0.∴k=b,y=bx+b.
∵点P（x，-x+1）在直线y=bx+b上，
∴bx+b=-x+1,解得b=x1.
x1
∴点D的坐标为（0，x1）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
x1
∵点P在第二象限内，∴x＜0.
①当-1＜x＜0时，如图.
y
S=1
BD
xP
=
1（b1）（x）
2
2
D
PB
COAx
1（
x
1
1）
（
x）
2
x
1
1
2x
x）
2
（
x1
x2
x
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
1
②当x＜-1时，如图.
S=1
BDxP=
1（1
b）（
x）
2
2
1（1
x
1）
（
x）
2
x
1
x2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
x1
x2
（1
x
0）,
综上所述，S=x
1
x2
（x
1）.
x
1
4．解：
（1）设直线
AB的解析式为y=kx+b（k≠0）．
4k
b
0
k
1
则
4
，解得
4
b
b
∴直线AB的解析式为y=x－4
（2）作MN⊥y轴于点N．（见图
5）
图5
∵△APM为等腰直角三角形，
PM=PA，
∴∠APM=90°
∴∠OPA+∠NPM=90°
∵∠NMP+NPM=90°
∴∠OPA=∠NMP
又∵∠AOP=∠PNM=90°，
∴△AOP≌△PNM。
（AAS）
3分
∴OP=NM，OA=NP
①
y
P
BA
COx
D
②
2分
∵PB=m（m>0），
∴NM=m+4，ON=OP+NP=m+8．
∵点M在第四象限，
∴点M的坐标为（m+4，－m－8）
4分
（3）答：
点Q的坐标不变．
解法一：
由
（2）得NM=m+4，NB=NP+PB=m+4．
∴NB=NM
∵∠BNM=90°
∴∠MBN=45°5分
∴∠QBO=45°，∠OQB=90°－∠QBO=45°
∴OQ=OB=4
∵点M在第四象限，点
B在y轴的负半轴上，
∴点Q在x轴的负半轴上
∴无论m的值如何变化，点
Q的坐标都为（－
4，0）
6分
解法二：
设直线MB的解析式为y=nx－4（n≠0）
∵点M（m+4，－m－8）在直线MB上，
∴m8n（m4）4
整理，得（m4）n
m
4
∵m>0
∴m4
0
解得n
1
∴直线MB的解析式为y
x4
5分
∴无论m的值如何变化，点
Q的坐标都为（－
4，0）
6分
5.解：
（1）依题意，设直线AB的解析式为ykx3.
∵A（-1，0）在直线上，
∴0=-k-3.∴k=-3.
∴直线AB的解析式为y3x3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
（2）如图1，依题意，C（1，0），OC＝1.
由D（0，1）,得OD＝1.
y
在△DOC中，∠DOC＝90°，OD＝OC＝1.
可得∠CDO＝45°.
∵BF⊥CD于F,
H
E
D
∴∠BFD＝90°.
C
A
O
x
∴∠
＝90°-∠
=45°.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
DBF
CDO
F
可求得直线
的解析式为
y
x1.
图1
CD
B
由
y
3x
3，
x
2，
y
x
1，
解得
y
3.
∴直线AB与CD的交点为E（-2
，3）.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
过E作EH⊥y轴于H,
则EH＝2.
∵B（0，-3）,D（0，1）,
∴BD＝4.
1
42
1
∴
SBCESBDESBDC
41
2
2
（3）连接BC,作BM⊥CD于M.
∵AO=OC,BO⊥AC,
∴BA=BC.
∴∠ABO=∠CBO.
设∠CBO=，则∠ABO=，∠ACB=90-.
∵BG=BA，
∴BG=BC.
∵BM⊥CD,
∴∠CBM=∠GBM.
设∠CBM=，则∠GBM=，∠BCG＝90-.
（i）如图2，当点G在射线CD的反向延长线上时，
∵∠ABG=222（）,
6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
y
E
D
AO
C
x
M
G
B
图2
y
∠ECA=180（90）（90）.
∴∠ABG=2∠ECA.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
（ii）如图3，当点G在射线CD的延长线上时，
∵∠ABG=2
2
2（
）,
∠ECA=（90
）
（90
）
.
∴∠=2∠
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
ABG
ECA
综上，∠ABG=2∠ECA.
E
GDM
x
A
O
C
B
图3
图
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