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微分几何学习辅导总结

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微分几何学习辅导总结

  篇一:

第四版微分几何期末复习总结

  1.求I弧长和交角.

(1)I?

du2?

sinh2udv2,求u=v的弧长.解:

u=v?

I?

du2?

sinh2udu2=(1+sinh2u)du2=cosh2udu2,设曲线u=v上两点A(u1),b(u2)?

  u1  u1u2

  u2u1

  ?

sinhu2?

sinhu1;

(2)ds2?

du2?

(u2+a2)dv2,求u+v=0与

  u-v=0的交角.

  解:

由题意得e=1,F=0,g=(u2+a2);由u+v=0与u-v=0得交点(0,0)处e=1,F=0,g=a2;由u+v=0与u-v=0得du/dv=-1=x,?

u/?

v?

1?

y?

cos?

?

[exy?

Fxy?

g]/?

[?

1?

a2]/[1?

a2]?

?

?

arccos[?

1?

a2]/[1?

a2].

  2.求曲率和挠率.

(1)题1.r=?

acosht,asinht,at?

解:

求r1,r2,r3?

r1,r1?

r2r1?

r2?

(r1,r2,r3)=a3?

k?

r1?

r2/[r1]?

1/[2acosh2t],?

=(r1,r2,r3)/(r1?

r2)2?

k;"cosh2?

sinh2?

1,cosh1?

sinh,sinh1?

cosh"

(2)题2

  .r={a(3t-t3),3at2,a(3t+t3)},(a?

0).解:

...?

r1?

2),r1?

r2?

2(1+t2),r3?

?

?

6a,0,6a?

(r1,r2,r3)=216a3?

k?

1/[3a(1+t2)2],?

=k;(3)题3.求圆柱螺线r=?

  acos?

asin?

b?

?

的k,?

;?

?

?

.解:

...?

r1?

r1?

r2?

?

  absin?

?

abcos?

a2?

r1?

r2?

?

k?

a/(a2?

b2),

  3

  ?

=b/(a?

b);切向量?

=r/r?

?

  -asin?

acos?

b?

2

  2

  1

  1

  1

  ,?

=(r1?

r2)/r1?

r2?

?

?

?

  ?

?

  bsin?

?

bcos?

a?

1

  ,

  主法?

=[(r1?

r1)r2-(r1?

r2)r1]/[r1?

r1?

r2]?

?

?

cos?

-sin?

0?

.

  3.

(1)题1.求r?

{?

(u)cos?

?

(u)sin?

?

(u)},?

(u)?

0,的高斯曲率和平均曲率.解:

求ru,r?

?

e=ru?

  ru=?

2+?

2,F=ru?

r?

=0,g=r?

?

r?

?

?

2?

  求ruu,ru?

r?

?

?

n?

[ru?

r?

]/L=n?

  ruu=-[?

?

?

?

?

m=n?

ru?

?

0,n=n?

r?

?

?

[?

?

  ]/取xoz平面上最初的曲线为x=?

(z)得z?

?

(u)?

u?

  L=-?

m?

0,n=?

因为F=m?

0,所以旋转面的坐标曲线为曲率线,并且主曲率为k1?

L/e?

?

?

/[(1?

?

2)3/2],k2?

n/g?

1/[?

高斯曲率k?

k1k2?

-?

/[?

(1?

?

2)2];平均曲率为h=[1/2](k1+k2)=[1+?

2?

?

?

]/[2?

(1?

?

2)3/2].

  

(2)题2.求正螺面

  r={ucosv,usinv,bv}的kn,K,h.解:

由题意得e=1,F=0,g=u2+b2;L=0,代入主曲率公式[L?

kne,m?

knF;m?

knF,n?

kng]T?

0解得K1?

b/[u2+b2],K2?

  ?

b/[u2+b2];K?

K1K2?

?

b2/[(u2+b2)2],h?

  [1/2](K1+K2)?

0.(3)题3.确定抛物面z=a(x2+y2)在(0,0)的主曲率.解:

由题意得p=2ax,q=2ay,r?

2a,s?

0,t?

2a在(0,0)处p0=0,q0=0,r0?

2a,s0?

0,t0?

2a;?

e=1+p2=1,F=pq=0,g=1+q2?

1,L=r/?

2a,m=s/,n=t/2a代入主曲率公式得[2a-kn,0;0,2a-kn]T?

0解得K1?

K2?

2a.“求主曲率,高斯曲率和平均曲率”

  4.证明k?

0的曲线是直线;?

?

0的曲线是平面曲线.证:

已知k?

r?

0,因而r=0,由此得到r=a(常向量),再积分r=as?

b,其中b也是常向量,即得证;若?

?

0,则?

是固定向量,但是我们已知?

?

?

=0,因而有r?

?

=0,积分后得r?

?

=a(常数),所以曲线在一个平面上。

  ?

  ?

  ?

?

  ?

?

  5.

(1)题1.证若曲面上有两族测地线的夹角为定角,则曲面是可展曲面.证:

在每族测地线任取两条,围成曲面上的曲边四边形.根据已知条件,曲边四边形的外角和为2?

.由高斯-波涅公式得?

Kd?

?

2?

?

2?

?

Kd?

?

0.若在曲面的某点p0处,K?

0,不妨设

  g

  g

  K(p0)>0,则在p0邻近K>0,从而对于围绕p0点的充分小的曲边四边形有?

Kd?

?

0得出矛盾,

  g

  K?

0,即曲面为可展曲面.

(2)若曲面s的高斯曲率处处小于零,闭测地线....证:

若存在所述闭测地线c,它所围成的曲面部分为g,由高斯-波涅公式得?

?

Kd?

?

  g

  ?

k?

  ?

g

  g

  ds?

?

(?

?

?

i)?

2?

.

  i?

1

  k

  因为K?

0,则?

?

Kd?

?

0,又后两项均为0,得出矛盾,所以不存在所述闭测地(:

微分几何学习辅导总结)线.

  g

  6.证明曲线x?

1?

3t?

3t2,y?

2?

2t?

5t2,z?

1?

t2为平面曲线,并求出所在平面方程.证:

因为r,r1,r2,r3=0?

?

=0?

平面曲线;令t=0?

r=?

1,2,,1?

r1=?

3,,-20?

因为平面曲线平面方程即密切平面?

R-r,r1,r2?

=0,所以方程为2x+3y+19z-27=0k?

0?

直线7.证明如果曲线?

:

r=r(s)为一般螺线,?

?

为?

的切线向量和主法向量,R为?

的曲率半径,证明?

:

r(s)?

R?

-?

?

ds也是一般螺线.证:

将r*=R?

-?

?

ds两边对s求微商,?

  ?

  ?

(ds/ds)=R?

所以?

*=?

?

;因为?

是一般螺线,所以存在向量p:

?

?

p=c=常数?

  *

  *

  ?

*?

p=?

?

?

p=?

c=常数.即得证?

也是一般螺线.?

k/t?

常数?

一般螺线?

  8.求切平面:

(1)圆柱面r=?

Rcos?

Rsin?

z?

.解:

求r?

rz?

(R?

r,r?

rz)?

0即xcos?

?

Ysin?

?

R=0;

(2)证明曲面r=?

u,v,a3/(uv)?

体积为常数.证:

求ru,rv?

(R?

r,ru,rv)?

0即a3/(u2v)x?

a3/(u2v)Y?

Z?

3a3/(uv)=0?

V=(1/3)(1/2)?

3u?

3v?

(3a/uv)=(9/2)a?

c

  9.三线三面:

法平面(R-r0)?

r01?

0;密切?

R-r0,r01,r02?

=0;从切?

R-r0,r01?

r02,r01?

=0;

  3

  3

  10.证明对于正螺面r?

?

ucosv,usinv,bv?

,-?

?

u?

?

?

-?

?

v?

?

?

  处处有en?

2Fm?

gL?

0.证:

由于r?

?

ucosv,usinv,bv?

;ru?

?

cosv,sinv,0?

;

  rv?

?

?

usinv,ucosv,b?

;ruu?

?

0,0,0?

;ruv?

?

?

sinv,cosv,0?

;rvv?

?

?

ucosv,?

usinv,0?

;

  22

  所以e?

1,F?

0,g?

u?

b.n?

1/sinv,?

bcosv,u.L?

0,m?

?

b,n?

0.故en?

2Fm?

gL?

0.

  11.求出抛物面z?

1/2(ax2?

by2)在(0,0)点,方向(dx,dy)的法曲率。

  解:

因为r?

?

x,y,1/2(ax2?

by2)?

所以p?

ax,q?

by.r?

a,s?

0,t?

b.在(0,0)点有p0=0,q0?

0,r0?

a,s0?

0,t0?

b,e?

1,F?

0,g?

1,L?

a,m?

0,n?

b.I?

dx2?

dy2,II?

adx2?

bdy2,故在(0,0)点沿方向(dx:

dy)的法曲率为:

k(?

II/I?

[adx2?

bdy2]/[dx2?

dy2]?

[a(ndx:

dy)

  1212

  ?

切线R-r0=?

r1(0);主法线R-r0=?

(?

r01?

?

r0?

r0)?

;副法线?

R-r0?

=?

(r0?

r0).

  dx2dx

  )?

b]/[()2?

1]dydy

  篇二:

微分几何20XX自考辅导

  《微分几何》辅导

  一、简答题

  1.曲线r?

r(t)具有固定长度(即为以原点为球心的球面曲线)的条件是

  2.曲线r?

r(t)位于原点的平面内的条件是

  3.曲线r?

r(t)为一般螺线的条件是

  ?

?

?

?

?

?

  ?

?

?

4.直纹曲面r?

a(u)?

vb(u)为可展曲面的条件是

  ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

5.曲线r?

r(s)的三个基本矢量?

?

?

,则(?

?

?

)?

  6.下列条件中不能判定曲线为平面曲线的条件是。

  7.曲面r?

r(u,v)坐标曲线为曲率线的条件是。

  8.曲面为极小曲面的条件是其主曲率k1,k2适合。

  ?

?

  ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

)?

9.曲线r?

r(s)的三个基本矢量?

?

?

,则(?

?

  10.曲面r?

r(u,v)坐标网为渐近网的条件是

  11.圆柱螺线r?

?

acost,asint,bt?

从t?

0到t?

2?

的曲线弧长s?

  第1页共5页?

?

?

  12.曲线r?

at,bt2,ct3(a?

b?

c?

0)在t?

t0处的切线方程为

  13.曲线r?

at,bt2,ct3(a?

b?

c?

0)在t?

t0处的法平面方程为。

  14.曲面xyz?

1的平行于x?

y?

z?

0的切平面方程为

  15.曲面z?

f(x)?

g(y)上二共轭曲线网适合的微分方程为。

  16.已知曲面r?

r(u,v)上二坐标曲线构成曲率线网,则K?

,h?

(F?

m?

0)?

?

?

?

?

?

?

?

  17.曲面z?

  三、计算题1(ax2?

by2)沿曲线x?

y方向在(0,0)处的法曲率kn?

2

  1.求曲线r?

t,t,t?

?

23?

在t?

1处的法平面,密切平面,从切平面的方程。

  ?

2222.计算曲线计算曲线r?

?

acht,asht,at?

的曲率k和挠率?

.或r?

3t?

t,3t,3t?

t的曲率k?

?

  和挠率?

.

  3.求曲面r?

?

a(u?

v),b(u?

v),2uv?

上曲率线的方程。

?

  dv2

  e

  L?

dudvdu2Fmg?

0n

  4.求曲面z?

axy(a?

0)在点(0,0)处的高斯曲率和平均曲率。

  (eg?

F2)kn?

(en?

gL?

2Fm)kn?

(Ln?

m2)?

0

  5.求曲面z?

xy或z?

xy上的渐近曲线。

  四、证明题:

(每小题10分,共20分)

  1.证明曲线r?

{acost,asint,2bt}是一般螺线。

  2.证明曲面x?

cosv?

(u?

v)sinv,y?

sinv?

(u?

v)cosv,z?

u?

2v为可展曲面。

  3.证明曲面r?

?

vcosu,vsinu,au?

b?

不是可展曲面22222

  第2页共5页

  篇三:

20XX.doc教学总结

  20XX-20XX年度第一学期

  教学工作总结

  姓名:

王爱梅

  日期:

20XX-12-24

  高中数学教学工作总结

  作为一个普通的高中数学老师,我就根据切身体会在高中数学教学过程,对自己工作情况

  做个小结。

  一、工作总结。

  我坚持正确的政治方向,拥护党的领导。

认真学习邓小平理论、党的十五大报告、《第

  三次全国教育会议精神》、江总书记的“三个代表”理论,不断加强自身的政治理论修养。

  热我平时加强理论学习。

理论来源于实践,然而实践离不开理论的指导。

,以“问题”作

  为数学的教学起点,顺应学生的思维方式进行教学。

尽管如此,理论水平还远远不够,以后

  我更要加强理论学习和理论研究。

  在教学活动的设计中,发觉以概念作为教学的起点的方法,与数学思维活动的顺序相反,丝毫引不起学生的学习数学的兴趣。

因此在教学中采用多种形式的教学,提高学生学习数学

  的兴趣。

  我能遵守学校的各项规章制度,积极参加学校组织的各项活动。

踏踏实实、认认真真地

  搞好日常教学工作的环节:

精心备课,认真上课,仔细批改作业,并认真评讲,积极做好

  课外辅导和补差工作。

  在教学工作中,我能积极贯彻素质教育方针,把提高素质,发展能力放在首位。

因为我

  们的学生底子较差,课前、课后、课上的效率都不太高,针对这种情况,课堂教学我采用多

  种教学形式,尽量的将一些枯燥无味的东西讲得形象生动一些,提高他们学习数学的兴趣。

最高兴的就是听到学生说他现在开绐对数学有兴趣了。

  二、教学心得

  1、认知数学教育的重要

  高中数学教育是一门基础性自然科学,在人生的知识教育中起承前启后的作用,也是学

  习物理、化学、计算机等学科基础,对培养学生的创新意识和应用意识,认识数学的科学和

  文化价值,形成理性思维有着不可替代的作用。

  2、依教学大纲,科学制教学目标

  高中阶段,学生需要学好代数、几何、概率统计、微积分初步的基础知识、基本技能,

  以及其中的数学思想方法。

  数学教学过程中,注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力,发展

  学生的创新意识和应用意识,提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力,进一

  步发展学生的数学实践能力。

  3、教学首先要拉近师生间的距离

  学生作为学习的主体,能否发挥他们的积极性和创造性,是教学成败的首要因素。

因此,在教学中,首先对学生进行德育教育,显得尤为重要。

第一,就是消除学生与老师的距离感,使学生对老师产生信任,建立友谊的师生关系,这是学生学习动力的源泉;第二、要真心关

  心学生的生活,让他们感受亲人般的温暖,改掉老师威严般的面孔,让学生更愿意接近老师,

  接近老师所教的学科;第三、对犯错的学生绝不姑息,但方法一定要合适,让学生感到你批

  评他是为他好,这样才乐于接受你的批评,改正自己的错误。

  4、教学要时刻面向全体学生

  面向全体学生就是要促进每一个学生的发展,既要为所有的学生打好共同基础,也要注

  意发展学生的个性和特长。

学生在入学之前,因各种不同的因素,在数学知识、技能、能力

  方面以及数学经验、志趣上存在很大的差异,特别是我校生源的实际问题——个性突出、基

  础知识相对薄弱,因此在教学过程中,既要尊重学生的人格,关注个体差异,又要因材施教,

  因势利导,发挥他们的特长和潜能,通过多种途径和方法,调动所有学生学习数学的积极性,

  改进教学策略,满足学生的不同学习需求,发展学生的数学才能。

  今年我担任高三两个班的数学课。

这我第一次带高三,所以在教学上,我花了较多的时

  间钻研教材,弄清教材的重点和难点,尽可能的用形象的语言化难为易。

我教的班学生的基

  础较差,要让他们的成绩有所提高,不是一件很容易的事,这让我感觉压力较大,但是我没

  三、几点反思

  很遗撼的是:

这半年我们班的成绩上升得不快。

我对此分析出几点原因:

(1)由于底子

  薄,而我有时上课选的例题难度系数比较大,他们难以接受;

(2)难度大了,就忽略了基础

  知识的掌握,所以学生学得不够踏实。

(3)虽然改了以往的只讲思路,不讲过程的情况,上

  课能够将详细的解题过程写出,但学生在听课时只顾着做笔记,没有听讲解方法,以至于思

  想方法不理解,就不能举一反三了。

(4)学生对教师的依赖性太大,动手能力差,遇到问题

  不去思考,不去分析,更别谈进行逻缉推理。

(5)自觉性不高,课后练习不能保质保量的完

  成,有时还出现抄袭现象。

  针对这个现象,我决定对于我教的两个班,特别是很多数学底子很薄弱的学生,不能指

  望他们能在高考中拿到后面的提高分,只要能够将基础的70%就够了,所以我决定从最基

  础的知识下手,每天做几道最简单的题,巩固基础知识。

  同时我还认识到我有以下不足:

①作为一名党员,没能发挥其应该发挥的带头作用;②

  自己的教育教学理论知识很缺乏;③对于“一专多能”的目标还相差很远。

  这是我对一年来教学的总结,也是我的一些心得和体会,在以后的教学中我会加倍努力,

  加强自己的专业知识,扩充自己的知识面,完善知识结构,改正自己在教学上的错误方法,

  努力探索,争做一名优秀的人民教师。

  

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