三角形中位线定理巩固练习.docx

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三角形中位线定理巩固练习

三角形中位线定理-巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1.某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H测量得对角线AC＝10米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（　）

A.40米B.30米C.20米D.10米

2.如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（　　）

A．5B．10C．20D．40

3.如图所示，在

ABCD中，AC与BD相交于点O，E是边BC的中点，AB＝4，则OE的长是（）．

A．2B．

C．1D．

①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．

其中会随点P的移动而变化的是（　　）

A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤

二.填空题

7.顺次连接等腰梯形各边中点得到的四边形是_________________.

8.如图,E、F分别是

ABCD的两边AB、CD的中点,AF交DE于P,BF交CE于Q,则PQ与AB的关系是.

9.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，对角线AC、BD的长分别为7和9，则四边形EFGH的周长是______.

10.如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是________.

11.（2015•铜仁市）如图，∠ACB=9O°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=

CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长为　　．

12.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论：

①∠BOC＝90°＋

∠A；

②设OD＝

，AE＋AF＝

，则

；

③EF不能成为△ABC的中位线．

其中正确的结论是_______.

三.解答题

13.（2015•巴东县模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．

（1）求证：

四边形EGFH是菱形；

（2）若AB=

，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．

14.已知：

在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD＝BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证明）；

（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？

请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

15.在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；

（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，

（1）中的其他条件不变，你在

（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】C；

【解析】四边形EFGH是边长为5米的菱形.

2.【答案】C；

【解析】根据中位线定理可得BC＝2DF，AC＝2DE，AB＝2EF，继而结合△DEF的周长为10，可得出△ABC的周长．

3.【答案】A；

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC．又∵BE＝EC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝

AB＝2．

4.【答案】D；

【解析】EF＝HG＝

BC，EH＝FG＝

AD，所以四边形EFGH是平行四边形，由勾股定理BC＝5，所以周长等于3＋3＋5＝11.

5.【答案】B；

【解析】连接MN，作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，∴BF＝CF＝

BC＝

×8＝4，在Rt△ABF中，AF＝

＝

＝3，∵M、N分别是AB，AC的中点，∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN＝8÷2＝4，∴NM＝

BC＝DE，∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，∴阴影三角形的高是

AF÷2＝1.5÷2＝0.75，∴

＝4×0.75÷2＝1.5．

6.【答案】B；

【解析】解：

∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，

∴MN是△PAB的中位线，

∴MN=

AB，

即线段MN的长度不变，故①错误；

PA、PB的长度随点P的移动而变化，

所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；

∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，

∴△PMN的面积不变，故③错误；

直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；

∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．

综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选：

B．

二.填空题

7.【答案】菱形；

8.【答案】PQ∥AB，PQ＝

AB；

【解析】P，Q分别是AF，BF的中点.

9.【答案】16；

【解析】根据三角形中位线的性质得出HG

AC，EF

AC，HE

DB，GF

BD，进而得出HE＝GF＝

BD，HG＝FE＝

AC，即可得出答案．

10.【答案】10；

【解析】∵在△ABC中，AB＝AC＝6，AE平分∠BAC，∴BE＝CE＝

BC＝4，又∵D是AB中点，∴BD＝

AB＝3，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝

AC＝3，∴△BDE的周长为BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10．

11.【答案】8；

【解析】∵点D是AB的中点，BF∥DE，

∴DE是△ABF的中位线．

∵BF=10，

∴DE=

BF=5．

∵CE=

CD，

∴

CD=5，解得CD=4．

∵△ABC是直角三角形，

∴AB=2CD=8．

12.【答案】①，③；

【解析】①根据三角形内角和定理求解；②根据△AEF的面积＝△AOE的面积＋△AOF的面积求解；③若此三角形为等边三角形，则EF即为中位线．

三.解答题

13.【解析】

（1）证明：

∵在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，

∴EG∥AB，EG=

AB，HF∥AB，HF=

AB，

∴EG∥HE，EG=HE，

∴四边形EGFH是平行四边形．

又EH=

CD，AB=CD，

∴EG=EH，

∴平行四边形EGFH是菱形；

（2）解：

∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，

∴GF∥DC，HF∥AB．

∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．

∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．

∴∠GFH=90°．

∴菱形EGFH是正方形．

∵AB=

，

∴EG=

AB=

．

∴正方形EGFH的面积=（

）2=

．

14.【解析】

解：

图1：

∠AMF＝∠ENB；图2：

∠AMF＝∠ENB；图3：

∠AMF＋∠ENB＝180°．

证明：

如图2，取AC的中点H，连接HE、HF．

∵F是DC的中点，H是AC的中点，

∴HF∥AD，HF＝

AD，

∴∠AMF＝∠HFE，

同理，HE∥CB，HE＝

CB，

∴∠ENB＝∠HEF．

∵AD＝BC，

∴HF＝HE，

∴∠HEF＝∠HFE，

∴∠ENB＝∠AMF．

如图3：

取AC的中点H，连接HE、HF．

∵F是DC的中点，H是AC的中点，

∴HF∥AD，HF＝

AD，

∴∠AMF＋∠HFE＝180°，

同理，HE∥CB，HE＝

CB，

∴∠ENB＝∠HEF．

∵AD＝BC，

∴HF＝HE，

∴∠HEF＝∠HFE，

∴∠AMF＋∠ENB＝180°．

15.【解析】

解：

（1）FH与FC的数量关系是：

FH＝FC．

证明如下：

延长DF交AB于点G，

由题意，知∠EDF＝∠ACB＝90°，DE＝DF，

∴DG∥CB，

∵点D为AC的中点，

∴点G为AB的中点，且DC＝

AC，

∴DG为△ABC的中位线，

∴DG＝

BC．

∵AC＝BC，

∴DC＝DG，

∴DC－DE＝DG－DF，

即EC＝FG．

∵∠EDF＝90°，FH⊥FC，

∴∠1＋∠CFD＝90°，∠2＋∠CFD＝90°，

∴∠1＝∠2．

∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，

∴∠DEF＝∠DGA＝45°，

∴∠CEF＝∠FGH＝135°，

∴△CEF≌△FGH，

∴CF＝FH．

（2）FH与FC仍然相等．