高三数学专题复习 仿真卷1文.docx

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高三数学专题复习仿真卷1文

2019年高三数学专题复习仿真卷

（1）文

（时间：

120分钟　满分：

160分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上）

1．复数所对应的点位于复平面内第________象限．

2．已知全集U＝{0，2，4，6，8，10}，S＝{0，6，10}，T＝{2，4，6}，则S∩（∁UT）等于________．

3．某算法流程图如图所示，若输入的n＝10，则输出的结果是________．

4．某社会调研机构对即将毕业的大学生就业期望月薪进行调查，共调查了3000名大学生，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图），则期望月薪收入在[2500，3500）的大学生有________人．

5．某市举行“希望杯”数学竞赛，现在要从进入决赛的5名选手中再经过一轮选拔选出2名特等奖．某校有甲、乙两名同学进入决赛，则在这次竞赛中该校有特等奖的概率为________．

6．已知向量a＝（2，0），b＝（1，2），c＝（3，4）．若λ为实数，（a－λb）∥c，则λ等于________．

7．在递增的等比数列{an}中，已知a1＋an＝34，a3·an－2＝64，且前n项和为Sn＝42，则n＝________．

8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．

9．设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：

①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β.其中的正确命题序号是________．

10．设a∈R，函数f（x）＝ex＋的导函数f′（x）是奇函数，若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线x－2y＋3＝0平行，则x0＝________．

11．已知动点P（x，y）在过点的圆（x－1）2＋（y＋2）2＝5的两条切线和x－y＋1＝0围成的区域内，则z＝（x＋2）2＋（y－1）2的最小值为________．

12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝＋m.若函数f（x）有5个零点，则实数m的取值范围是________．

13．已知命题p：

向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a·b＝0，且向量c与a－b共线，则|a＋c|的最小值为m；命题q：

关于x的不等式x＋≥5m，x∈（m，＋∞）（其中a＞0）恒成立．若p∧q为真命题，则实数a的取值范围为________．

14．已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ax＋b，若集合{x|f（x）＜g（x）}为空集，则ab的最大值为________．

二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若b＝1，c＝.

（1）求角C的取值范围；

（2）求4sinCcos的最小值．

16．（本小题满分16分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．

（1）设D是AB的中点，证明：

直线BC1∥平面A1DC；

（2）在△ABC中，若AC⊥BC，证明：

直线BC⊥平面ACC1A1.

17．（本小题满分14分）如图，现准备在一个海湾的半岛上建一条旅游观光长廊AB，设计AB的长为4.5km，且长廊所在直线与海岸线l的夹角为60°（海岸线看作直线），长廊上距离海岸线最近的点B到海岸线的距离BC＝4km，D为海岸线l上的一点．设CD＝xkm，点D对长廊AB的视角为θ.

（1）将tanθ表示为x的函数；

（2）求点D的位置，使得θ取得最大值．

18．（本小题满分16分）已知A，B，C是椭圆m：

＋＝1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆的中心，且·＝0，||＝2||.

（1）求椭圆m的方程；

（2）过点（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||＝||，求实数t的取值范围．

19．（本小题满分16分）已知关于x的函数f（x）＝lnx＋a（x－1）2（a∈R）．

（1）求函数f（x）在点P（1，0）处的切线方程；

（2）若函数f（x）有极小值，试求a的取值范围；

（3）若在区间[1，＋∞）上，函数f（x）不出现在直线y＝x－1的上方，试求a的最大值．

20．（本小题满分16分）数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1－an＝d，n∈N*，d为常数．数列{bn}满足bn＝S2n－1－S2n－1－1，n∈N*，S0＝0.

（1）若b1，b2，b3成等比数列，证明：

数列{bn}成等比数列；

（2）（ⅰ）若a1＝d＝1，求数列{bn}的前n项和Tn；

（ⅱ）若a1＝d＞0，证明：

＋＋＋…＋≤，n∈N*.

高考仿真卷（A卷）

1．二　[依题意，复数＝＝－＋i在复平面内对应的点的坐标是，该点位于第二象限．]

2．{0，10}　[依题意得∁UT＝{0，8，10}，S∩（∁UT）＝{0，10}．]

3．5　[该程序框图运行5次结束，所以输出的S＝10＋8＋6＋4＋2＝30，T＝9＋7＋5＋3＋1＝25，所以输出的S－T＝30－25＝5.]

4．1350　[由频率分布直方图可得期望月薪收入在[2500，3500）的频率为（0.0005＋0.0004）×500＝0.45，所以频数为3000×0.45＝1350，即期望月薪收入在[2500，3500）的大学生有1350人．]

5.　[设进入决赛的这5名选手分别为甲，乙，A，B，C，则两名特等奖的可能组合为甲乙，甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，AB，AC，BC，共10种，其中该校有特等奖的可能组合有7种，故所求概率为.]

6．－4　[依题意得a－λb＝（2－λ，－2λ），由（a－λb）∥c得3×（－2λ）－4（2－λ）＝0，由此解得λ＝－4.]

7．3　[由等比数列的性质，a1·an＝a3·an－2＝64，

∴a1，an是方程x2－34x＋64＝0的两根．

又数列{an}递增，∴a1＝2，an＝32，

从而Sn＝＝＝42，则q＝4.

又an＝32＝a1·qn－1，

∴2·4n－1＝32＝25，n＝3.]

8.　[不妨设双曲线为－＝1（a>0，b>0），焦点F（－c，0），虚轴的顶点B（0，b）．又直线FB与双曲线的一条渐近线垂直，

∴·＝－1，则b2＝ac，

∴c2－a2＝ac，－－1＝0，

则e＝＝.]

9．②④　[对于①，平行于同一直线的两个平面可能是相交平面，①不正确；对于②，由m∥β得知，在平面β内必存在直线n与m平行，由m⊥α得n⊥α，又n⊂β，因此有α⊥β，②正确；对于③，直线n可能位于平面α内，此时结论不正确，③不正确；对于④，由定理“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则它与另一个平面也垂直”得知，④正确．综上所述，其中的正确命题序号是②④.]

10.　[由于f′（x）＝ex－a·e－x，故若f′（x）为奇函数，则必有f′（0）＝1－a＝0，解得a＝1，f′（x）＝ex－e－x，则据题意得f′（x0）＝ex0－e－x0＝，解得ex0＝，所以x0＝ln＝.]

11．2　[由题意得圆（x－1）2＋（y＋2）2＝5的圆心为（1，－2），过的直线方程设为y＝k－2，因为直线和圆相切，所以＝，解得k＝±2，所以两条切线的方程分别为l1：

2x－y＋1＝0，l2：

2x＋y＋5＝0.两直线和x－y＋1＝0围成的区域如图中阴影部分所示，z＝（x＋2）2＋（y－1）2的几何意义为可行域内的点到D（－2，1）的距离的平方，由图知点D到直线x－y＋1＝0的距离最短，即为＝，所以zmin＝2.]

12.　[由函数f（x）是定义在R上的奇函数得x＝0是该函数的一个零点，且x＞0和x＜0时函数有相同的零点个数，所以若函数f（x）有5个零点，则当x＞0时，f（x）＝＋m有两个零点，即方程＋m＝0在x＞0时有两解，即函数y＝（x＞0），y＝－m的图象有两个不同的交点，结合函数图象可得＜－m＜1，即－1＜m＜－.]

13．[8，＋∞）　[因为p∧q为真命题，所以p，q都是真命题．因为向量c与a－b共线，所以存在实数λ，使得c＝λ（a－b），所以|a＋c|＝|（1＋λ）a－λb|＝＝＝，当λ＝－时，|a＋c|min＝，即m＝.命题q：

关于x的不等式x＋≥5，x∈（，＋∞）（其中a＞0）恒成立，即≥5，x∈（，＋∞）．又x＋＝（x－）＋＋≥2＋，当且仅当x＝＋时取等号，所以2＋≥5，解得a≥8.]

14.　[由集合{x|f（x）＜g（x）}为空集，可得不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即y＝f（x）－g（x）≥0恒成立．当a≤0时，函数y＝ex－ax－b在R上单调递增，y≥0不恒成立，所以a≤0舍去；当a＞0时，由y′＝ex－a＝0解得x＝lna，且x＜lna时，y′＜0，函数单调递减，当x＞lna时，y′＞0，函数单调递增，所以y≥0即为ymin＝y（lna）＝a－alna－b≥0，所以b≤a－alna，ab≤a2－a2lna，a＞0.令y＝x2－x2lnx，x＞0，则y′＝2x－2xlnx－x＝x（1－2lnx），x＞0，由y′＝0解得x＝，且x∈（0，），y′＞0，函数y＝x2－x2lnx单调递增，x∈（，＋∞），y′＜0，函数y＝x2－x2lnx单调递减，所以当x＝时，函数y＝x2－x2lnx取得最大值e－e＝e，所以ab≤a2－a2lna≤e，即ab的最大值是e.]

15．解　

（1）由正弦定理得＝，即sinC＝sinB.

由0＜sinB≤1得0＜sinC≤，

又b＞c，故C为锐角，0＜C≤.

（2）4sinCcos＝4sinC

＝2sinCcosC－2sin2C

＝sin2C－（1－cos2C）

＝2sin－1，

由0＜C≤得＜2C＋≤，故sin≥，

所以4sinCcos≥0（当C＝时取到等号），

所以4sinCcos的最小值是0.

16.证明　

（1）连接AC1交A1C于点O，连接OD.

因为四边形ACC1A1为矩形，所以O为AC1的中点，

又因为D是AB的中点，所以OD为△ABC1的中位线，OD∥BC1，

因为直线OD⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC.

所以直线BC1∥平面A1DC.

（2）因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，

所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.

因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，

所以AA1⊥平面ABC.

因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.

又BC⊥AC，BC⊥AA1，AA1，

AC为平面ACC1A1内的两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.

17.解　

（1）过A分别作直线CD，BC的垂线，垂足分别为E，F.

由题设知∠ABF＝30°，∴CE＝AF＝，BF＝，

AE＝BC＋BF＝＋4＝.

又tan∠BDC＝，ED＝x－，tan∠ADC＝＝，∴tanθ＝tan∠ADB＝tan（∠ADC－∠BDC）＝

＝，其中x＞0，x≠，

即tanθ＝，x＞0.

（2）记tanθ＝＝f（x），由f（x）＞0可知θ是锐角．

而f′（x）＝－，x＞0，

∴f（x）在（0，6）上单调递增，（6，＋∞）上单调递减，

函数f（x）在x＝6时取得最大值f（6）＝，

而y＝tanθ在上是增函数，

所以当x＝6时，tanθ取得最大值，即θ取得最大值．

在海岸线上距离C点6km处的D点观看旅游长廊的视角最大．

18．解　

（1）∵||＝2||且BC过（0，0），则||＝||.

∵·＝0，∴∠OCA＝90°，

即C（，）．

又∵a＝2，设椭圆m的方程为＋＝1，

将C点坐标代入得＋＝1，解得c2＝8，b2＝4.

∴椭圆m的方程为＋＝1.

（2）由条件得D（0，－2），当k＝0时，显然－2＜t＜2；

当k≠0时，设l：

y＝kx＋t，

消y得（1＋3k2）x2＋6ktx＋3t2－12＝0，

由Δ＞0可得t2＜4＋12k2.①

设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点H（x0，y0），

则x0＝＝，y0＝kx0＋t＝，

∴H.

由||＝||，∴DH⊥PQ，即kDH＝－，

∴＝－，

化简得t＝1＋3k2，②

∴t＞1.将①代入②得1＜t＜4，

∴t的范围是（1，4），综上t∈（－2，4）．

19．解　

（1）f′（x）＝＋2a（x－1）（x＞0），∴f′

（1）＝1.

又f

（1）＝0，∴f（x）在点P（1，0）处的切线方程为y＝x－1.

（2）f′（x）＝（x＞0），

令g（x）＝2ax2－2ax＋1（x＞0），

（ⅰ）a＝0时，f′（x）＝0无解，f（x）无极小值；

（ⅱ）a＜0时，g（0）＝1＞0，所以g（x）＝0有两解x1，x2，且x1＜0＜x2；

0＜x＜x2时，g（x）＞0，f′（x）＞0，

x＞x2时，g（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）无极小值．

（ⅲ）a＞0时，∵g（0）＝1＞0，g（x）的对称轴为x＝，

要使函数f（x）有极小值，则Δ＞0即4a2－8a＞0.

∴a＜0或a＞2，∴a＞2.

此时g（x）＝0有两解x3，x4＞0，不妨设x3≤x4，

则x3＜x＜x4时，g（x）＜0，f′（x）＜0.

x＞x4时，g（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）有极小值f（x4）．

综上所述，a＞2.

（3）由题意，f（x）≤x－1，x≥1，

即lnx＋a（x－1）2≤x－1，x≥1.

下证：

lnx≤x－1，x＞0，

记h（x）＝lnx－（x－1）＝lnx－x＋1，x＞0，

则h′（x）＝－1＝，x＞0.

0＜x＜1时，h′（x）＞0，

x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）≤h

（1）＝0，

即lnx≤x－1，x＞0.

（ⅰ）a≤0时，f（x）≤lnx≤x－1；

（ⅱ）a＞0时，取x＞1＋，

则f（x）＝lnx＋a（x－1）（x－1）＞ln＋a（x－1）＞ln1＋x－1＝x－1，与题意矛盾．故a的最大值为0.

20．

（1）证明　因为b1，b2，b3成等比数列，所以b1＝S1＝a1≠0，b＝b1b3，所以（a2＋a3）2＝a1（a4＋a5＋a6＋a7）．

又由an＋1－an＝d，n∈N*可得数列{an}成等差数列，

所以（2a1＋3d）2＝a1（4a1＋18d），化简得3d2＝2a1d，

所以d＝0或a1＝d.

当d＝0时，bn＝（2n－1）a1－（2n－1－1）a1＝2n－1a1≠0，n∈N*，

且＝＝2为常数，所以此时数列{bn}成等比数列；

若a1＝d，则

bn＝a2n－1＋a2n－1＋1＋…＋a2n－1＝2n－1a＋

＝2n－1[a1＋（2n－1－1）d]＋

＝2n－1＝d·4n－1≠0，

且＝＝4为常数，此时数列{bn}成等比数列．

综上，若b1，b2，b3成等比数列，数列{bn}成等比数列．

（2）（ⅰ）解　若a1＝d＝1，由

（1）可得

bn＝2n－1＝×4n－2n，

所以Tn＝×（4＋42＋43＋…＋4n）－（2＋22＋23＋…＋2n）

＝×－

＝4n－2n＋1＋1.

（ⅱ）证明　若a1＝d＞0，则由

（1）可得

bn＝2n－1＝，

所以＝＝×≤×

＝×，n∈N*.

所以＋＋＋…＋≤

＝×，n∈N*.