第六章 关系模式规范化理论.docx
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第六章关系模式规范化理论
第6章关系模式的规范化理论
关系数据库的规范化设计是指面对一个现实问题，如何选择一个比较好的关系模式集合。
规范化设计理论对关系数据库结构的设计起着重要的作用。
关系模型有严格的数学理论基础，因此人们就以关系模型为作为讨论对象，形成了数据库逻辑设计的一个有力工具――关系数据库的规范化理论。
本章内容
（1）关系模式的冗余和异常问题。
（2）FD的定义、逻辑蕴涵、闭包、推理规则、与关键码的联系；平凡的FD；属性集的闭包；推理规则的正确性和完备性；FD集的等价；最小依赖集。
（3）无损分解的定义、性质、测试；保持依赖集的分解。
（4）关系模式的范式：
1NF，2NF，3NF，BCNF。
分解成2NF、3NF模式集的算法。
（5）MVD、4NF、5NF的定义。
一，关系模式设计中的问题
1.什么是好的数据库
构建好的，合适的数据库模式，是数据库设计的基本问题
a）体现客观世界的信息
b）无过度的冗余
c）无插入异常
d）无删除异常
e）无更新复杂
如书上的S_C_G关系。
假设需要设计一个学生学习情况数据库StuDB。
下面我们以模式S_C_G（Sno，Sname，Dname，Age，Cno，Cname，Score，Pre_cno）为例来说明该模式存在的问题。
下表是其一个实例。
3冗余度大：
每选一门课，他本人信息和有关课程信息都要重复一次。
4插入异常：
插入一门课，若没学生选修，则不能把该课程插入表中。
5删除异常：
如S11号学生的删除，有一门只有他选，会造成课程的丢失。
6更新复杂：
更新一个人的信息，则要同时更新很多条记录。
还有更新选修课时也存在这样的情况。
2.异常的原因：
数据信赖的约束
3.解决方法：
数据库设计的规范化：
分解，每个相对的独立，依赖关系比较单纯，如分解为3NF
我们采用分解的方法，将上述S_C_G分解成以下三个模式：
S（Sno，Sname，age，Dname）
C（Cno，Cname，Pre_cno）
S_C（Sno，Cno，Score）
4.规范化设计理论包括三个内容：
i>数据信赖----核心，研究数据之间的联系
ii>范式----关系模式的标准
iii>模式设计方法----自动化设计的基础
二，函数依赖（FunctionalDependency，FD）
1.函数依赖的定义：
（还有非函数的依赖？
，什么是函数？
给出一个值能唯一确定另外一个值？
映射：
一对一，多对一，一对多?
）
定义：
函数依赖是指一个或一组属性可以（唯一）决定其它属性的值。
数学的语言：
设有关系模式R（U），其中U=｛A1，A2，…，An｝是关系的属性全集，X、Y是U的属性子集，设t和u是关系R上的任意两个元组，如果t和u在X的投影t[X]=u[X]推出t[Y]=u[Y]，即：
t[X]＝u[X]=>t[Y]＝u[Y],
则称X函数决定Y，或Y函数依赖于X。
记为X→Y。
在上述的关系模式S（Sno，Sname，age，Dname）中，存在以下函数依赖：
Sno→age
Sno→Dname
...
（Sno,Cno）→Score
...
2.几种类型的函数依赖
定义6.2（非平凡函数依赖、平凡函数依赖）：
一个函数依赖X→Y如果满足Y⊈X，则称此函数依赖为非平凡函数依赖，否则称之为平凡函数依赖。
例如X→Φ,X→X,XZ→X等都是平凡函数依赖。
定义6.3（完全函数依赖、部分函数依赖）：
设X、Y是关系R的不同属性集，若X→Y（Y函数依赖于X），且不存在X’⊂X，使X’→Y，则称Y完全函数依赖于X，记为
；（即不存在真子集仍然是函数依赖关系的函数依赖是完全函数依赖）。
否则则称Y部分函数依赖于X，记为
。
例如，在上例关系S中,
是完全函数依赖;
、
是部分函数依赖。
在属性Y与X之间，除了完全函数依赖和部分函数依赖关系等直接函数依赖，还存在间接函数依赖关系。
如果在关系S中增加系的电话号码Dtel，从而有Sno→Dname,Dname→Dtel，于是Sno→Dtel。
在这个函数依赖中，Dtel并不直接依赖于Sno，是通过中间属性Dname间接依赖于Sno。
这就是传递函数依赖。
定义6.4（传递函数依赖）：
设X、Y、Z是关系模式R（U）中的不同的属性集，如果X→Y，Y→X，Y→Z，则称Z传递依赖于X。
否则，称为非传递函数依赖。
举例说明：
定义6.5关键字（Key，候选键）：
在关系模式R（U）中，若K⊆U，且满足
，则称K为R的关键字。
一个包含了关键字的属性集合也能够函数决定（但不是完全函数决定，而是部分决定）属性全集，我们把这种包含了关键字的属性集合称为超关键字（SuperKey）。
例如，在上例的S（Sno，Sname，Dname，Age）、C（Cno,Cname,Pre_cno）、S_C（Sno，Cno，Score）三个关系模式中，存在以下关键字：
所以，Sno、Cno和（Sno，Cno）分别是关系模式S、C和S_C的关键字。
所以，（Sno，Sname）和（Sno，Dname）都不是关键字，而是超关键字。
3函数依赖的公理系统
（1）函数依赖的逻辑蕴涵
例如在上述的传递函数依赖中，由X→Y，Y→Z，推导出X→Z，这可以表示为：
｛X→Y，Y→Z｝⊨X→Z其中:
⊨表示逻辑蕴涵。
一般地，函数依赖的逻辑蕴涵定义如下：
定义6.6（逻辑蕴涵）：
设F是由关系模式R（U）满足的一个函数依赖集，X→Y是R的一个函数依赖，且不包含在F，如果满足F中所有函数依赖的任一具体关系r，也满足X→Y，则称函数依赖集F逻辑地蕴涵函数依赖X→Y，或称X→Y可从F推出。
可表示为：
F⊨X→Y
例：
Sno→Dname,Dname→Dtel,则：
Sno→Dtel
FX→Y
函数依赖集F的闭包F+
定义6.7：
函数依赖集F所逻辑蕴涵的函数依赖的全体称为为F的闭包（Closure），记为F+，即F+＝｛X→Y｜F⊨X→Y｝
例如，有关系R（X，Y，Z），它的函数依赖集F＝｛X→Y，Y→Z｝，则其闭包F+为：
（2）Armstrong公理系统
1）独立推理规则
即下面给出的Armstrong公理的三条推理规则是彼此独立的。
A1：
自反律（Reflexivity）
如果Y⊆X，则X→Y成立，这是一个平凡函数依赖。
根据A1可以推出X→Ф、U→X等平凡函数依赖（因为Ф⊆X⊆U）、XY→X。
A2：
增广律（Augmentation）
如果X→Y，且Z⊆W，则XW→YZ成立。
根据A2可以推出XW→Y、XZ→YZ或XW→YW、X→XY、XY→X等。
A3：
传递律（Transitivity）
如果X→Y且Y→Z，则X→Z成立
其他推理规则
推论1：
合并规则（TheUnionRule）
｛X→Y，X→Z｝⊨X→YZ
推论2：
分解规则（TheDecompositionRule）
如果X→Y，Z⊆Y，则X→Z成立;（X→YZ），X→Y，X→Z
推论3：
伪传递规则（ThePseudoTransitivityRule）
｛X→Y，WY→Z｝⊨XW→Z
证：
（1）X→Y⊨X→XY （A2增广律）
X→Z⊨ XY→YZ （A2增广律）
由上可得X→YZ （A3传递律）
（2）Z⊆Y⊨Y→Z （A1自反律）
X→Y （给定条件）
由上可得X→Z （A3传递律）
（3）X→Y⊨WX→WY （A2增广律）
WY→Z （给定条件）
由上可得XW→Z （A3传递律）
例6.2：
设有关系模式R（A,B,C,D,E）及其上的函数依赖集F=｛AB→CD,A→B,D→E｝，求证F必蕴涵A→E。
证明：
∵A→B（给定条件）
∴A→AB（A2增广律）
∵AB→CD（给定条件）
∴A→CD（A3传递律）
∴A→C，A→D（分解规则）
∵D→E（给定条件）
∴A→E（A3传递律）
证毕。
一个重要定理
定理6.1：
若Ai（i=1，2，…,n）是关系模式R的属性，
则X→（A1，A2，…,An）成立的充分必要条件是X→Ai均成立
证明由分解和合并规则容易得到。
推论6.1X是候选键的充分必要条件是X→每个属性Ai。
例：
1.现有如下关系模式：
R（A＃，B＃，C，D，E），R上存在的FD有A＃B＃→E，B＃→C，C→D，求R的一个候选键。
解:
A#B#→E,得A#B#→A#B#E
又B#→C,得A#B#→A#B#CE
又C→D,得A#B#→A#B#CDE
因此A#B#是候选键。
也可以这样做：
先由B#→C出发，得B#→B#CD,还少一个A#,再加一个A#即可，得
A#B#→A#B#CDE
2.设有关系模式R（A，B，C，D），F是R上成立的FD集，F={D→A，D→B}，试写出关系模式R的候选键，并说明理由。
方法一
因为：
D→A，D→B（已知）得D→AB
D→D，得D→ABD,但D!
→C
而CD→C（A1自反律），
我们有，CD→ABCD,即CD→U
因此，CD为候选键。
也可以这样做：
方法二
D→A，D→B（已知）
D→D，但D!
→C
而CD→C（A1自反律），
我们有，CD→A,CD→B,CD→C,CD→D,由合并规则知：
CD→ABCD
因此，CD为候选键。
3.关系模式R（A，B，C，D）的函数依赖集为F={AC→B}，求R的候选键
解：
因为AC→B
所以AC→ACB
所以ACD→ABCD
所以R的候选码是ACD
4.有关系模式R（A,B,C,D,E,F）其函数依赖集为F＝｛E→D,C→B,CE→F,B→A｝,判断CE为候选键。
解
CE→D（A2增广律）
CE→B
CE→C（A1自反律）
CE→E
CE→F（给定条件）
CE→C,C→B,则CE→B,又B→A,所以有：
CE→A
由合并规则，即CE→U,为候选键
按方法一
由E→D知：
E→DE
由C→B知：
C→BC,又B→A,知：
C→ABC
由合并规则知：
CE→ABCDE，为候选键
5.设关系R={A,B,C,D,E,F}，其函数依赖集F={A→B,C→D,D→E,E→F,F→C},求R的所有候选键。
解：
C→D,C→E,C→E,C→C,C!
→A,把A加上，则有
AC→A,AC→B,…AC→U
因此AC为候选键。
又因为：
D→E,D→F,D→C,D→D,同理：
AD为候选键。
同理可得：
AE,AF也为候选键。
综上所述，R的候选码为:
AC,AD,AE,AF。
关系模式R（A，B，C，D）的函数依赖集为F={AC→B}，则R的候选键为（）。
6.关系模式R（U，F），其中U＝{W,X,Y,Z},F={WX→Y,W→X,X→Z,Y→W}。
关系模式R的候选建是什么？
解法：
从函数依赖集出发，把所有属性分为4类
1、L类：
全部出现在函数依赖的左半部
2、R：
全部出现在函数依赖的右半部
3、LR：
出现在函数依赖的左右两边
4、N：
不出现在函数依赖中
可能成为候选键的有L类，LR类和N类
对于L类，求出它的闭包，若包含所有属性，则说明其为候选键，且为唯一候选键。
对于LR类，求出其闭包，若包含所有属性，则为候选键，若不包含，在找出其中一个属性结合。
对于N类，直接加至候选键即可。
L:
无
R:
Z
LR:
W，X，Y
N:
无
先排除Z
在LR中，W的闭包为{W，Y，Z，X}
X的闭包为{X，Z}
Y闭包为{Y，W}
WX的闭包为{W，X，Y，Z}
WY的闭包为{W，Y}
XY的闭包为{X，Y，Z，W}
WXY的闭包为{X，Z，Y，W}
由此可见，可能的键为{W，WZ，XY，XYW}，去掉多余的属性，得：
W，XY为候选键。
F+很大，一般不去求它。
在我们求候选键时，主要用到的是属性集的闭包。
属性集闭包
定义6.8（属性集闭包）:
设有关系模式R（U）,U={A1，A2，…,An},X是U的子集,F是U上的一个函数依赖集，则属性集X关于函数依赖集F的闭包定义为：
＝｛Ai｜Ai∈U，且X→Ai可用阿氏公理从F推出｝
即：
属性（集）闭包是那些由X用阿氏公理从F推出的属性组成的集合。
例：
设关系模式R（A,B,C）的函数依赖集为F=｛A→B,B→C｝，分别求A、B、C的闭包。
解：
若X＝A，
∵A→B,B→C （给定条件）
∴A→C（A2传递律）
∵A→A（A1自反律）
∴={A，B，C}（据定义）
若X=B
∵B→B（A1自反律）
B→C（给定条件）
∴={B，C}（据定义）
若X=C，
C→C（自反律）
∴={C}（据定义）
定理6.2:
设F是关系模式R（U）上的函数依赖集,U是属性全集，X,Y⊆U,则函数依赖X→Y是用阿氏公理从F推出的，充分必要条件是Y⊆；
反之，能用阿氏公理从F推出的所有X→Y的Y都在中。
证明：
略
这个定理告诉我们，只要Y⊆，则必有X→Y。
于是，一个函数依赖X→Y能否用阿氏公理从F推出的问题，就变成判断Y是否为子集的问题。
属性集的闭包计算
算法6.1：
求属性集X（X⊆U）关于U上的函数依赖集F的闭包 。
输入：
属性全集U,U上的函数依赖集F,以及属性集X⊆U。
输出：
X关于F的闭包。
方法：
根据下列步骤计算一系列属性集合X（0），X
（1），…
（1）令X（0）=X，i＝0；
（2）求属性集
/*在F中寻找满足条件V⊆X（i）的所有函数依赖V→W,并记属性W的并集为B*/
（3）X（i+1）＝X（i）∪B
（4）判断X（i+1）=X（i）吗？
（4）若X（i+1）≠X（i），则用i+1取代i,返回
（2）；
（5）若X（i+1）=X（i），则=X（i），结束。
定理6.3Armstrong公理是正确的，完备的。
完备性：
F所蕴涵的每个函数依赖都可由Armstrong公理从F可推出。
3函数依赖集的等价和覆盖
定义6.9（函数依赖集的等价、覆盖）：
设F和G是关系R（U）上的两个依赖集，若F+=G+，则称F与G等价，记为F=G。
也可以称F覆盖G，或G覆盖F；也可说F与G相互覆盖。
检查两个函数依赖集F和G是否等价的方法是：
第一步：
检查F中的每个函数依赖是否属于G+，若全部满足，则F⊆G+。
如若有X→Y∈F,则计算,如果Y⊆,则X→Y∈G+;
第二步：
同第一步，检查是否G⊆F+;
第三步：
如果F⊆G+，且G⊆F+，则F与G等价。
由此可见,F和G等价的充分必要条件是：
F⊆G+，且G⊆F+。
引理6.1：
设G是一个函数依赖集，且其中所有依赖的右部都只有一个属性，则G覆盖任一左部与G（左部）相同的函数依赖集。
证明：
构造G＝｛X→A｜X→Y∈F且A∈Y｝
由A∈Y，X→Y∈F根据分解规则导出，从而等到G⊆F+。
反之，如果Y＝A1A2…An，而且X→A1，X→A2，…X→An在G中可根据合并律等到F⊆G+。
由此可见，F与G等价，即F被G覆盖。
一个函数依赖集F可能有若干个与其等价的函数依赖集，我们可以从中选择一个较好以便应用的函数依赖集。
标准至少是：
所有函数依赖均独立，即该函数依赖集中不存在这样的函数依赖，它可由这个集合中的别的函数依赖推导出来。
表示最简单，即每个函数依赖的右部为单个属性，左部最简单。
定义6.10（最小函数依赖集）:
函数依赖集F如果满足下列条件，则称F为最小函数覆盖，记为Fmin：
（1）F中每一个函数依赖的右部都是单个属性。
（2）对F中任一函数依赖X→A，F－｛X→A｝都不与F等价。
（3）对于F中的任一函数依赖X→A,｛F－｛X→A｝｝∪｛Z→A｝都不与F等价，其中Z为X的任一子集。
求函数依赖集F的最小覆盖的方法是：
（1）检查F中的每个函数依赖X→A,若A=A1,A2,…,Ak,则根据分解规则，用X→Ai（i=1，2，…，k）取代X→A。
（2）检查F中的每个函数依赖X→A,令G=F－｛X→A｝，
若有A∈，则从F中去掉此函数依赖。
（3）检查F中各函数依赖X→A，设X=B1,B2,…,Bm,检查Bi，
当A∈时，即以X－Bi替换X。
例6.5：
求下列函数依赖集的最小覆盖：
F＝｛AH→C，C→A，EH→C，CH→D，D→EG，CG→DH，CE→AG，ACD→H｝。
解：
（1）用分解规则将F中的所有依赖的右部变成单个属性，可以得到以下11个函数依赖：
AH→C，C→A，CH→D，ACD→H（给定）
C→E，C→G （由C→EG分解得到）
EH→C （给定）
CG→H，CG→D （由CG→DH分解得到）
CE→A，CE→G （由CE→AG分解得到）
（2）根据阿氏公理去掉F中的冗余依赖
由于从C→A可推出CE→A，从C→A、CG→D、ACD→H推出CG→H，因此CE→A和CG→H是冗余，可从F删除。
（3）用所含属性较少的依赖代替所含属性较多的依赖。
由于C→A,ACD→H中A是冗余属性，因此，可用CD→H代替ACD→H，故删除ACD→H。
最后得到F的最小覆盖为：
F＝｛AH→C，C→A，CH→D，CD→H，C→E，C→G，EH→C，CG→D，CE→G｝
6.5关系模式的规范化
一．什么是范式（NormalForms）
构造数据库必须遵循一定的规则，满足特定规则的模式称为范式。
R（U|F）
1.一个关系满足某个范式所规定的一系列条件时，它就属于该范式。
2.可以用规范化要求来设计数据库。
3.也可验证设计结果的合理性，用其来指导优化数据库设计过程。
4.关系规范化条件可分为几级，每级称为一个范式，记为第xNF（NormalForms）
1NF2NF3NFBCNF,4NF5NF
级别越高，条件越严格
5NF（4NF（BCNF（3NF（2NF（1NF.
5.范式是衡量模式优劣的标准，范式表达了模式中数据依赖之间应满足的联系。
如果关系模式R是3NF，那么R上成立的非平凡FD都应该左边是超键或右边是非主属性。
如果关系模式R是BCNF，那么R上成立的非平凡的FD都应该左边是超键。
范式的级别越高，其数据冗余和操作异常现象就越少
二，第1范式（1NF）
1.如果一个关系模式R的每个属性的域都只包含单纯值，而不是一些值的集合或元组，则称关系是第1范式，记为R∈1NF.
或：
如果关系模式R的每个关系r的属性值都是不可分的原子值，那么称R是第一范式
（理解：
每个元组的每个属性只含有一个单纯值，即要求属性是原子的。
）
这是关系模式的基本要求，条件是最松的，只要你不硬把两个属性塞到一个字段中去。
如果不满足1NF，就不是关系数据库。
字段1
字段2
字段3
属性1
属性2
2.把一个非规范化的模式变为1NF有两种方法：
1）把不含单纯值的属性分解为多个属性，使它们仅含有单纯值。
例：
通讯方式：
电话、手机，邮编，地址等。
通讯方式分开：
电话，邮编，通讯地址。
例：
NameFirstName,LastName
2）把关系模式分解，并使每个关系都符合1NF
学生（学生信息）
3.原子属性：
列的：
每个字段不再分割成多个属性。
行的：
每个元组在表可只出现一次。
4.第一范式中一般情况下都会存在着数据的冗余和异常现象，因此关系模式需要进一步的规范化。
三，第2范式（2NF）
它是在1NF的基础上建立起来的。
如果关系模式R∈1NF，且它的任一非主属性都完全函数依赖于任一候选关键字，则称R满足第2范式，记为R∈2NF.
（理解：
不存在非主属性对关键字的部分函数依赖）
例：
学生（sno,cno,score,credit）是否属于2NF？
（sno,cno）-fScore
但（sno,cno）-pcredit
因此，学生∈1NF。
例：
S（sno,sname,age,dname,dtel）
因为每个非主属性对关键字S都是完全函数依赖的，S∈2NF.
由上例，2NF依然可有过多冗余（dtel）。
继续分解，提高条件。
四，第3范式（3NF）
如果R∈2NF，且每一个非主属性不传递依赖于任一候选关键字，则称R∈3NF.
（理解：
任一属性不依赖于其它非主属性）
例：
S（sno,sname,age,dname,dtel）
因为dtel属性对关键字sno是传递函数依赖的，S！
∈3NF.
分解：
S（sno,sname,age,dname）
D（dname,dtel）
注：
一个R∈3NF它个每个非主属性既不部分依赖也不传递依赖于候选关键字。
例：
S_C_G（U）是第几范式？
2NF
五，BCNF（Boyce-Codd）
在第3范式的基础上，设有R，及其函数依赖集F，X和A是R的属性集合，且A！
（X，如果只要R满足XA，X就包含R的一个候选关键字，则称R满足BCNF，记为：
理解：
表可不存在任何字段（主属性和非主属性）对任一候选关键字的完全函数依赖则符合BCNF.
（1）所有非主属性A对键都是完全函数依赖的（R∈2NF）。
（2）没有属性完全函数依赖于非键的任何属性组（R∈3NF）。
（3）所有主属性对不包含它的键是完全函数依赖的（新增加条件）。
例，模式S（NAME，SEX，BIRTH，ADDR，DNAME）的主属性为：
NAME,SEX,BIRTH和ADDR，候选关键字为：
（NAME,SEX）、（NAME,BIRTH）以及（NAME，ADDR）。
定义中的A为（ADDR,DNAME）。
显然有：
例6.13：
关系模式STC（SNO，TNO，CNO），SNO表示学号，TNO表示教师编号，CNO表示课程号。
每一个教师只教一门课，每门课有若干教师，某一个学生选定某门课，就对应一个固定教师。
试判断ST的最高范式。
解 由语义可得到如下的函数依赖：
（SNO，CNO）→TNO，（SNO，TNO）→CNO，TNO→CNO
这里（SNO，CNO），（SNO，TNO）都是侯选关键字。
因为没有任何非主属性对侯选关键字部分依赖，所以STC∈2NF。
没有任何非主属性对侯选关键字传递依赖，所以STC∈3NF。
但在F中有TNO→CNO，而TNO不包含侯选关键字，所以STC不是BCNF关系
这里我们可以将STC（SNO，TNO，CNO）分解成ST（SNO，TNO）和TC（TNO，CNO），它们都是BCNF。
范式之间的关系
例：
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