3.设R是从X到Y的一个关系,则
R(A∩B)=R(A)∩R(B).()
4.给定函数f:
X→Y,则关系f−1:
Y→X.()
5.给定X={1,2,3},则X上的关系R={(1,2),(2,3),(3,1),(2,1)}是从X到X的一个函数.()
6.考虑整数集Z上的模5等价关系,则商集[9]=[134].()
7.有理数集是可数集,无理数集的基数为ℵ.()
8.设R⊂X×Y,则称R是从X到Y的一个____________.
9.设X上的一个关系R.若△(X)⊂R,其涵义为____________,则称关系R是________________的;若R=R−1,其涵义为_______________,则称关系R是_____________的;若R◦R⊂R,其涵义为,则称关系R是_______________的.满足以上三个条件的关系称为______________.
关系.
等价关系,
商集,
自然映射.
可数集,
ℵ0.
1.设X上关系R是自反的.试证:
R是等价关系当且仅当
(a,b)∈R,(a,c)∈R⇒(b,c)∈R.
2.设X,Y是集合,f:
X→Y.试证:
R={(x1,x2)∈X×X;f(x1)=f(x2)}是X上的等价关系,而且
f˜:
X/R→Y
[x]→f(x)
是良定义的(well-defined),且是单射.
3.设A⊂B⊂C,且cardA=cardC.试证:
cardA=cardB=cardC.(提示:
利用Cantor-Bernstein定理.)
4.设f:
X→Y,A,B⊂Y.试证:
f−1(A∪B)=f−1(A)∪f−1(B).
5.设f:
X→Y,A⊂X,B⊂Y,试证:
B∩f(A)=f(f−1(B)∩A).
6.设f:
X→Y,试证:
f−1(f(A))⊃A;
f−1(f(A))=A⇔f(A)∩f(X\A)=∅.
第2章拓扑空间与连续映射
1.设X={0,1,2},下面不是X上的拓扑的集族是().
A.{∅,{1},{1,2},X}
B.{∅,{0},X}
C.{∅,{0,1},{0,2},{2},X}
D.{∅,{0},{1,2},X}
2.设X是拓扑空间,A⊂B⊂X,下面不正确的命题是()
A.d(A)⊂d(B)
B.Ao⊂Bo
C.Ac⊂Bc
D.A−⊂B−
3.设X是拓扑空间,下面不正确的命题是()
A.∅−=∅
B.X−=X
C.(A∩B)−=A−∩B−
D.(A∪B)−=A−∪B−
4.设X={a,b},T={∅,{a},X},则
d({a})=(),{a}−=(),{a}o=().
A.∅B.XC.{a}D.{b}
5.设X={a,b,c,d},
T={∅,{a},{b,c,d},X},则X的既开又闭的非空真子集的个数为().
A.1B.2C.3D.4
6.设X={a,b,c,d},T={∅,{a},{b,c,d},X},
点b的开邻域个数为().
A.1B.2C.3D.4
7.设(X,T)是拓扑空间,A⊂X,则Ao是包含于A的()开集.
A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对
8.设(X,T)是拓扑空间,A⊂X,则A−是包含A的()闭集.
A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对
9.设X是一个拓扑空间,A,B⊂X,则下列关系中错误的是()
A.d(A∪B)=d(A)∪d(B)
B.
C.d(A∩B)=d(A)∩d(B)
D.
10.离散空间的任一子集是()
A.开集B.闭集C.既开又闭D.非开非闭
11.在实数空间R中,下列集合是开集的是()
A.整数集ZB.有理数集QC.无理数集D.整数集的补集Zc
12.设(X,ρ)是拓扑空间,x∈X,A⊂X,则ρ(x,A)=0⇔x∈(),
ρ(x,Ac)=0⇔x∈(),ρ(x,A)=ρ(x,Ac)=0⇔x∈(),
ρ(x,Ac)>0⇔x∈().
A.AoB.A−C.∂AD.Aoc
13.拓扑空间中的开集一定不是闭集.()
14.设T1,T2都是X上的拓扑,则T1∪T2也是X上的拓扑.()(花写T)
15.在拓扑空间(X,T)中,若A⊂X,则d(A)是闭集.()
16.在实数下限拓扑空间Rl中,[0,∞)是开集.()
17.设B是拓扑空间(X,T)的一个基,B⊂B˜⊂T,则B˜也是该拓扑空间的一个基.()
18.设S是拓扑空间(X,T)的一个子基,S⊂S˜⊂T,则S˜也是该拓扑空间的一个子基.()
19.在拓扑空间(X,T)中,设x∈X,A⊂X,则x0∈d(A)蕴含
存在A\{x0}中的序列{xn}收敛于x0.()
20.在度量空间(X,T)中,设x0∈X,A⊂X,则x0∈d(A)等价于存在A\{x0}中的序列{xn}收敛于x0.()
21.设A是离散空间X的子集,则
Ao=______________,A−=_______________.
22.设X是拓扑空间,A⊂X,x∈X,如果_____________,则称x是A的凝聚点.
23.在实数空间R中,区间[0,1)的内部是______,Q的内部是_________,Q的导集是______,Q的闭包是______,Q的边界是_____________.
24点集拓扑的中心任务是研究______________.
25.设X是拓扑空间,如果_____________________,则称U⊂X是点x∈X的一个邻域.
度量空间
拓扑空间
邻域
凝聚点,导集
内点,内部
边界点,边界
基,子基
同胚映射
1.设(X,ρ)是度量空间,试证:
|ρ(x,y)−ρ(x,z)|≤ρ(y,z),∀x,y,z∈X.
2.设(X,ρ)是度量空间,
试证:
(X,ρ1),(X,ρ2)均是度量空间.
3.设
是X上的一列度量,试证:
也是X上的度量.
4.设X={a,b,c},
T1={∅,{a},{a,b},{a,c},X},
T2={∅,{b},{a,b},{b,c},X}.
试证:
T1,T2都是X上的拓扑,但T1∪T2却不是X上的拓扑.
5.设X={a,b,c},T={∅,{a},{b,c},X}.试证:
(X,T)是一个拓扑空间;再设A={b},试求d(A),并判断它是否为闭集.
6.设X是度量空间,A⊂X,试证:
d(A)是闭集
7.设X是有限补拓扑空间,A⊂X,试证:
8.设X是拓扑空间,A⊂X,试证:
Ao−o−=Ao−.
证明:
Ao−⊃Ao−o⇒Ao−⊃Ao−o−,
Ao⊂Ao−⇒Ao=Aoo⊂Ao−o
⇒Ao−⊂Ao−o−
9.设(X,TX),(Y,TY)是两个拓扑空间,f:
X→Y.试证以下条件等价:
1.f连续;
2.∃Y的基BY,B∈BY⇒f−1(B)∈TX;
3.∃Y的子基SY,S∈SY⇒f−1(S)∈TX;
4.∀x∈X,U∈Uf(x)⇒f−1(U)∈Ux;
5.∀x∈X,∃f(x)的邻域基Vf(x),V∈Vf(x)⇒f−1(V)∈Ux;
6.∀x∈X,∃f(x)的邻域子基Wf(x),∀W∈Wf(x)
⇒f−1(W)∈Ux.
第3章子空间,积空间,商空间
1.设X={1,2,3},T={∅,X,{1,2},{1,3},{1},{2}},A={2,3},
则X的子空间A的拓扑是_________________.
2.相对拓扑是使得内射连续的()的拓扑.
A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对
3.积拓扑是使积空间到每个坐标空间的自然投射都连续的()的拓扑.
A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对
4.设X=X1×···×Xn是拓扑空间X1,···,Xn的拓扑积空间,则下列哪个性质不是投射pi:
X→Xi的性质()
A.pi是满射B.pi是连续映射C.pi是闭映射D.pi是开映射
5.设X1,X2是两个拓扑空间,X1×X2是它们的积空间,A⊂X,B⊂Y.则下列命题错误的是()
A.
B.∂(A×B)=(∂A×B¯)∪(A¯×∂B)
C.∂(A×B)=∂A×∂B
D.(A×B)o=Ao×Bo
6.设(X,T)为拓扑空间,f:
X→Y,则Y上的商拓扑是使得f连续的()的拓扑.
A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对
7.离散空间的商空间一定是(),平庸空间的商空间一定是().
A.离散空间B.平庸空间C.既不是离散空间,也不是平庸空间D.以上都不对
8.设[0,1]是实数空间R的子空间,则(0,1/2]是[0,1]中的开集.()
9.设[0,1)是实数空间R的子空间,则[0,1/2)是[0,1)中的开集.()
10.设[0,1)是实数下限拓扑空间Rl的子空间,则[1/2,1)是[0,1)中的开集.()
11.开映射的复合还是开映射.()
12.闭映射的复合还是开映射.()
13.商映射的复合还是商映射.()
14.设X,Y是两个拓扑空间,f:
X→Y是商映射,则f是满射.()
15.设X,Y是两个拓扑空间,f:
X→Y是单射,且是商映射
则f是同胚.()
16.设Y是拓扑空间X的一个开(闭)子集,则Y作为X的子空间时称为X的开(闭)子空间.试证:
1.如果Y是拓扑空间X的一个开子空间,则A⊂Y是Y中的开集⇔A是X中的开集.
2.如果Y是拓扑空间X的一个闭子空间,则A⊂Y是Y中的闭集⇔A是X中的闭集.
第4章连通性
1.设X是拓扑空间,则X中的单点子集是X的通连子集.()
2.设X是连通空间,Y⊂X,则Y是X的连通子集.()
3,设X是不连通空间,Y⊂X,则Y是X的,不连通子集.()
4.设Y是R的连通子集,则Y是区间.()
5.设I是R的区间,则Y是R的连通子集.()
7.设X,Y是拓扑空间,X是局部连通空间,f:
X→Y连续,则f(X)也是局部连通空间.()
8.设X是一拓扑空间,C为其一连通分支,若X的连通子集Y适合
Y¯∩C≠∅,则Y⊂C.()
注记:
书上的定理是这么说的:
设X是一拓扑空间,C为其一连通分支,若X的连通子集Y适合Y∩C≠∅,则Y⊂C.(狗的嘴里叼着肉就能全部吃掉它)
现在的情形是:
如果把肉放到狗嘴边,那么狗能否吃到肉呢?
注记:
这是连通分支的“吸星大法”的增强形式.
9.设X是一拓扑空间,C为其一道路连通分支,若X的道路连通子集Y适合Y∩C≠∅,则Y⊂C.()
注记.这是道路连通分支的“吸星大法”.
10.设O是Rn的开集,则O是连通的⇔O是道路连通的.()
11.设A⊂R,则A是连通的⇔A是道路连通的.()
12.设O是Rn的开集,则O的道路连通分支是它的一个连通分支.()
13.拓扑空间的连通分支可以是闭集,也可以是开集.()
提示:
考虑有理数集Q的连通分支.
14.拓扑空间的道路连通分支是闭集.()
提示:
考虑拓扑学家的正弦曲线.
15.拓扑空间的连通分支的闭包是连通的.()
16.拓扑空间的道路连通分支的闭包也是道路连通的.()
提示:
考虑拓扑学家的曲线.
1.多于一个点的离散空间是___________的.
2.平庸空间是____________的.
3.设X={a,b,c},T1={∅,{a},{b,c},X},T2={∅,{a},X},则拓扑空间(X,T1)是______________的,拓扑空间(X,T2)是_________________的.(选填:
连通,不连通).
4.R是______的;Q作为R的子空间是______的;R\Q作为R的子空间是_______________的;{代数数}作为R的子空间是_____________的;{超越数}作为R的子空间是______________的;Z作为R的子空间是___________的.(选填:
连通,不连通).
5.R\{0}是________空间,R2\{0}是________空间.(选填:
连通,不连通).
6.考虑拓扑学家的正弦曲线(thetopologist’ssinecurve)
S={(x,sinx/1);0S∪A是______________的.(选填:
连通,不连通).
证明:
这是连通的.由
sin1/x=y∈[−1,1]⇒1/x=arcsiny+2kπ
⇒x=1/(arcsiny+2kπ)
知
S∋(1/(arcsiny+2kπ),y)→(0,y)(k→∞).
于是S¯=S∪{0}×[−1,1].按照如下结论:
X为拓扑空间,Y为X的连通子集,Y⊂Z⊂Y,¯则Z连通即知结论成立.
连通性,局部连通性和道路连通性的区别和联系:
1.连通未必局部连通,比如拓扑学家的曲线.
2.连通未必道路连通空间,比如拓扑学家的曲线.
3.局部连通未必连通,比如R的子空间(0,1)∪(1,2);多于一个点的离散空间.
4.局部连通未必道路连通,比如多于一个点的离散空间.
5.道路连通一定连通.
6.道路连通未必局部连通,比如
X={(x,y)∈R2;0≤x≤1,y=
n=1,2,···或y=0}.
连通性,局部连通性和道路连通性是否为可遗传的性质(拓扑空间X具
有,则X的子空间也具有),是否为对闭子空间可遗传的性质(拓扑空间X具
有,则X的闭子空间也具有),是否为对开子空间可遗传的性质(拓扑空间X
具有,则X的开子空间也具有):
1.连通性不是可遗传的性质.比如R连通,但R的开子空间(0,1)∪(1,2)不连通;R的闭子空间Q不连通.
2.局部连通是是对开子空间可遗传的性质,即若X为局部连通空间,Y是
X的开子空间,则Y也是局部连通空间.
3.道路连通空间不是可遗传的性质.比如R连通,但R的开子空间
(0,1)∪(1,2)不连通;R的闭子空间Q不连通.
1.设X是一拓扑空间,A,B在X中隔离,A1⊂A,B1⊂B,试证:
A1,B1在X中隔离.
2.设X是一拓扑空间,x,y∈X是连通的,E是X的一个既开又闭的子集,试证:
x,y∈E或者x,y
E.
3.设X,Y是拓扑空间,f:
X→Y连续,f(X)⊂Z⊂Y,试证:
f˜:
X→Z
x→f(x)
也连续.
注记.本题在书上第140页证明定理4.4.2时引用过.
4.考虑实数空间R的两个子空间
X={0,1,2,3,···},Y={0,1,1/2,1/3,···}
及f:
X→Y定义为
f(0)=0,f(n)=1/n(n=1,2,3,···).
试证:
1.X是离散空间;
2.X是局部连通空间;
3.f是连续的一一映射;
4.Y不是局部连通空间.
本题说明局部连通性不是在连续映射下保持不变的性质.
5.(书Page147第5题).设X是拓扑空间,若
∀x∈X,∀U∈Ux,∃道路连通V∈Ux,s.t.x∈V⊂U,
则称X是一局部道路连通空间.再设Y⊂X,若Y在相对拓扑下是局部道路
连通的,则称Y是X的局部道路连通子集.
1.局部道路连通空间是局部连通空间.
2.局部道路连通性是在开的连续映射下保持不变的性质.
3.局部道路连通性是有限可积性质.
4.设O是局部道路连通空间X的开集,则
O是X的连通子集⇔O是X的道路连通子集.
第5章有关可数性的公理
1.设(X,ρ)是度量空间,D是X的一个可数稠密子集,则{B(d,r);
d∈D,02.设X是Lindelöff空间,Y是X的闭子空间,则Y也是Lindelöff的.()
3.设X是拓扑空间,A是X不可数的Lindelöff子空间,则A∩d(A)≠∅.()
1.Rn的子空间_____________是A2空间.
2.A2空间_____________是A1空间.
3.A2空间________________是可分的.
4.可分的度量空间__________是A2空间.
5.A2空间的子空间____________可分
6.可分度量空间的子空间____________可分.(以上选填:
一定,未必)
7.设X是拓扑空间,D⊂X,若D−=X,则称D是X的______________子集;若D是可数集,则称X是__________________的.
8.在实数空间R中,Q的闭包是__________.
9..设(X,T)是拓扑空间,∞
X,令X∗=X∪{∞},T∗={A∪{∞};A∈T}∪{∅}.则在X∗中,{∞}−=______________.
10.设A是一集族,B是一集.若∪A∈AA⊃B,则称A是B的一个_________;当A是可数族时,称A是B的_______________;当A是有限族时,称A是B的__________;若∃A1⊂A,s.t.∪A∈A1A⊃B,则称A1是A的____________.
在拓扑空间X中,若A是X的子集族,B⊂X,则称A是B的__________.
11.设X是拓扑空间,它的每个开覆盖都有一个_______,则称X为Lindelöff空间.
12.A2空间________是Lindelöff的;Lindelöff空间______________是A2的,但Lindelöff的度量空间_____________是A2的.(选填:
一定,未必)
13.设X是A1空间,给定x∈X及x处的一个可数邻域基
.
1).试构造出x处的一个递减可数邻域基
.
2).任取
试证:
.
14.试给出度量空间(X,d)在x∈X处的一个可数邻域基.
15.试给出R的一个可数基.